Determination of Forward and Futures Prices Chapter 5

Futures og forward priser Hittil har vi ikke sett på hvordan futures prisene bestemmes. I dette kapitlet skal vi gå inn på prisdannelsen på disse instrumentene og sammenheng mellom spotpriser og futures priser Det er nær sammenheng mellom terminpriser og futures priser Vi skal først se på finansielle aktiva og deretter varer (commodities)

Konsum- vs investeringsgoder Investeringsgoder (investment assets) kjøpes av mange investorer for å oppnå avkastning (Eksempler: gull og sølv) Konsumgoder (consumption assets) eies vanligvis for å brukes (Eksempler: kobber, olje) I noen tilfeller er grenseovergangene uklare Vi kan bruke arbitrasjerelasjoner for å finne prisene på investeringsgodene men ikke for konsumgodene

Short Selling (Page 104-105) Arbitrasje kan innebære short salg “Short selling” betyr å selge noe man ikke eier Man kan for eksempel selge aksjer man ikke eier (de må i mellomtiden lånes av andre) og håpe at kursen faller På et eller annet tidspunkt må aksjene kjøpes tilbake for å tilbakeleveres til eier Avkastning som utbytte o.l. tilfaller eier

Short sale, eksempel En investor shorter 500 aksjer i april når kursen er 120 og stenger posisjonen i juli ved å kjøpe aksjene tilbake, kurs 100 I mai betales dividende på 1 pr. aksje, totalt 500 Hva er netto gevinst? 60 000 – 500 – 50 000 = 9 500

Forutsetninger og notasjon For å forenkle analysen noe må vi ta noen forutsetninger som gjelder for i alle fall noen investorer Ingen transaksjonskostnader ved kjøp og salg Identisk skattesats for alle investorer Lån eller plassering kan skje til risikofri rente Arbitrasjemuligheter kan utnyttes når de oppstår

Notasjon S0: Spotpris i dag F0: Futurespris eller terminpris i dag T: Tid til leveringsdag termin/future r: Risikofri rente p.a.(kontinuerlig beregnet) i tidsrom til T

Terminpris for investeringsgode For enkelthets skyld skal vi starte med en eiendel som ikke gir inntekt, for eksempel aksjer som ikke gir utbytte, eller gull Anta at en aksje som ikke gir utbytte kan kjøpes på termin for levering om 3 mnd. Kurs nå er 40, risikofri rente 5 % og terminpris 43. Er dette mulig? En investor kan låne 40 i 3 mnd til 5 % rente, kjøpe aksjen spot og selge den på termin. Lånet inkludert renter utgjør 40e0.05●3/12 = 40.50, slik at det oppstår en risikofri profitt på 2.50

Terminpris for investeringsgode Hva hvis terminprisen er 39? En investor kan shorte aksjen, plassere salgssummen i 3 mnd til 5 % rente, og inngå en long avtale på aksjen Salgssummen vokser til 40e0.05●3/12 = 40.50 Om 3 mnd kjøper investoren aksjen for 39 Gevinst er 40,50 – 39 = 1,50 Hva er riktig terminpris på aksjen?

Generelt uttrykk for terminpris Hvis en eiendel ikke gir inntekt finnes terminprisen på denne måten (cost of carry): Hvis kan arbitrasjører kjøpe eiendelen og shorte terminkontrakter og hvis kan arbitrasjører shorte eiendelen og kjøpe long kontrakter på eiendelen. Riktig pris på termin-kontrakten for å eliminere arbitrasje er 40e0.05●3/12 = 40.50

Hva hvis eiendelen gir inntekt? Vi skal nå anta at eiendelen gir en sikker inntekt, for eksempel en aksje som gir utbytte eller renter på en obligasjon Anta at det eksisterer en terminkontrakt på en obligasjon som forfaller om 9 mnd. Kurs nå er 900 og obligasjonen gir rente på 40 om 4 mnd. Vi antar at 4 mnd og 9 mnd risikofri rente er 3 % og 4 % p.a. Hva er riktig pris på obligasjonen? Er 910 en riktig pris?

Obligasjon som gir rente En investor kan kjøpe obligasjonen nå for 900 og shorte terminkontrakten. Obligasjonen gir en rente på 40, nåverdi 40e0.03●4/12 = 39.60 Investoren låner derfor 39.60 til 3 % rente og resten (900 – 39.60) = 860.40 til 4 % rente. Lånet på 39.60 tilbakebetales med dividenden om 3 mnd og det andre lånet tilbakebetales med 860.40e0.04 ● 9/12 = 886.60 om 9 mnd Sikker gevinst er 910 – 886.60 = 23.40 Terminprisen på 910 er for høy

Obligasjon som gir rente Kan 870 være en riktig terminpris? Obligasjonen kan shortes nå for 900 og investoren inngår en long for obligasjonen. Av salgssummen plasseres 39.60 til 3 % for å betale renten og resten (900 – 39.60) = 860.40 til 4 % rente, som vokser til 860.40e0.04 ● 9/12 = 886.40 om 9 mnd Sikker gevinst er 886.60 – 870 = 16.60 Terminprisen på 870 er for lav

Terminpris for eiendel som gir inntekt Dersom eiendelen gir en sikker inntekt med nåverdi på I i løpet av kontraktstiden, er riktig terminpris Dette gir i vårt eksempel at riktig terminpris er

Terminpris for eiendel som gir en sikker avkastning Vi skal nå anta at eiendelen gir en bestemt avkastning eller yield q i løpet av kontraktstiden, og ikke et fast beløp I. Terminprisen blir da Anta at yield 4 % med halvårlig renteberegning eller 3.96 % med kontinuerlig rente, S0 = 25, r = 0.10 og T = 0.5 F0 = 25e(0.10 – 0.0396)*0.5 = 25.77

Verdsetting av terminkontrakter Page 111 Når en kontrakt inngås er forventet verdi 0, men det kan endres i løpet av kontrakttiden fordi de underliggende størrelsene endres. Anta at K leveransepris i kontrakten F0 er terminpris som ville blitt brukt i dag Verdien på en long forward kontrakt, ƒ, er ƒ = (F0 – K )e–rT evt. ƒ = S0 – K e–rT På samme måte er verdien på en short kontrakt (K – F0 )e–rT Se også oppsummering tabell 5.6 side 127

Eksempel – verdsetting termin En long kontrakt på en aksje som ikke betaler utbytte ble inngått for en tid siden. Det er nå 6 mnd igjen av kontraktsperioden. Risikofri rente er 10 %, aksjekurs 25 og terminpris 24. Hva er verdien av kontrakten, ƒ?

F0 = S0 e(r–q )T Aksjeindekser(Page 115) Aksjeindekser kan ses på som en eiendel som gir avkastning (yield q) Sammenhengen mellom spotpris og termin er dermed F0 = S0 e(r–q )T

Indeksarbitrasje Hvis F0 > S0e(r-q)T vil en arbitrasjør kjøpe aksjene i indeksen og selge futures Hvis F0 < S0e(r-q)T vil en arbitrasjør kjøpe futures og shorte eller selge aksjene i indeksen Dette kalles indeksarbitrasje

Futures og terminer på valuta (Page 116-120) En fremmed valuta er analogt med et verdipapir som gir en sikker dividende ved at det er mulig å opptjene rente på et valutainnskudd Det følger da at hvis rf er utenlandsk risikofri rente er terminpris eller terminkurs

Renteparitet Figure 5.1, page 117

Renteparitet Anta at to-års rente i Australia og USA er hhv 5 % og 7 % og spotkurs er 0.62$/A$ Terminkurs er 0.62e(0.07 – 0.05) ● 2 = 0.6453 Anta at en bank gir en terminkurs på 0.63. Hvordan kan man tjene penger på arbitrasje?

Arbitrasjegevinst

Futures på varer (commodities) Først skal vi se på investeringsvarer og deretter skal vi se på konsumvarer. Det prinsipielt nye er at det kan være lagringskostnader på varer, som prinsipielt er en negativ inntekt. Hvis U er nåverdien av lagringskostnadene har vi følgende cost of carry Hvis lagringskostnadene er proporsjonale med prisen

Eksempel gull Anta at gull ikke gir inntekt og at det koster 2 pr. unse å lagre gull og at lagringskostnadene betales etterskuddsvis. Spotpris = 600, risikofri rente 5 % og T = 1. Hva er riktig futures pris? Hva hvis futures pris for eksempel er 700 eller 610?

Futures på konsumvarer Konsumvarer gir normalt ingen inntekt men lagringskostnadene kan være høye. Cost of carry modellen kan igjen brukes. Hva skjer dersom:

Futures på konsumvarer I noen tilfeller kan det være en fordel å faktisk ha en vare på lager enn å ha en long futures. Denne gevinsten kalles en ”convenience yield”. Hvis lagringskostnaden har en kjent nåverdi U defineres convenience yield y slik eller hvis lagringskostnaden er proporsjonal med pris u

Cost of Carry (Page 123) Cost of carry, c, er lagringskostnad pluss rentekostnad minus inntekt fra eiendelen For et investeringsgode F0 = S0ecT For et konsumgode F0  S0ecT Convenience yield på et konsumgode, y, defineres slik at F0 = S0 e(c–y )T

Futurespriser og forventede spotpriser (Page 124-125) Anta at k er forventet avkastning på en eiendel Vi kan investere F0e–r T nå og få ST tilbake når futureskontrakten løper ut Dermed har vi at F0 = E (ST )e(r–k )T

Futurespriser og forventede spotpriser Hvis eiendelen har Ingen systematisk risiko, er k = r og F0 er en forventningsrett estimator på ST positiv systematisk risiko, da er k > r og F0 < E (ST ) negativ systematisk risiko, da er k < r og F0 > E (ST )