Gjenfinningssystemer og verktøy II Vektorer Jon Anjer

Punkter i planet Punkter i planet angis ved koordinater i et aksekors, der vi har en x-akse (vannrett) og en y-akse (loddrett) P = (3, 2) P

Avstand mellom punkter i planet Avstand mellom punkter i planet regnes ut ved hjelp av Pytagoras setning Q c b a P

Avstand mellom P og Q Vi har to punkter P = (p1, p2) og Q = (q1, q2) Da blir: a = q1 - p1 = 5 - 1 = 4 b = q2 - p2 = 4 - 1 = 3 Q = (5, 4) c b P = (1, 1) a

Punkter i rommet Punkter i det tredimensjonale rommet angis ved koordinater langs en x–akse (vannrett), en y–akse (loddrett), og en z–akse på tvers av disse to: P = (p1, p2, p3) Tilsvarende defineres punkter i flerdimensjonale rom. Her er det vanskelig å forestille seg rommet: P = (p1, p2, p3, ...., pn)

Avstand mellom P og Q Hvis vi har to punkter i planet P = (p1, p2) og Q = (q1, q2), blir avstanden mellom dem: Generelt: Hvis vi har to punkter P = (p1, p2, ... pn) og Q = (q1, q2, ... qn) , blir avstanden mellom dem:

Hva er en vektor? En vektor er et linjestykke med retning Lengden og retningen bestemmer vektoren, slik at to vektorer med samme retning og lengde regnes som like:

Hva brukes vektorer til? I fysikken fart (den har størrelse og retning) akselerasjon (størrelse og retning) I bibliotekfag dokumenter (angivelse av indekstermer, med vekting) søkespørsmål (angivelse av indekstermer, med vekting)

Vektor i planet (samme vektor) Q P Origo

Uttrykke vektorer Vektorer har ingen éntydig plassering, men vektoren som starter i origo, er standardplasseringen. Vektorer skrives vanligvis med en pil over, og uttrykkes ved koordinatene til punktet der den ender, hvis den starter i origo:

Lengden av en vektor i planet Lengden av en vektor regnes ut på samme måte som avstand mellom to punkter. Vektoren [a, b] starter i origo og går til punktet (a, b). Som vi så tidligere blir lengden Eksempel, der [a, b] = [4, 3]: (a, b) c b a (0, 0)

Trigonometriske funksjoner I en rettvinklet trekant er sinus til en vinkel forholdet mellom motstående katet og hypotenusen cosinus til en vinkel forholdet mellom hosliggende katet og hypotenusen c b a v

Inverse funksjoner Inverse eller motsatte funksjoner har den egenskapen at dersom funksjonsverdien er gitt, kan man finne argumentet. Eksempel: Hvis vi vet at cosinus til en vinkel er 0,5 kan vi finne vinkelen som cos-1 0,5 c b a v

Inverse funksjoner To inverse funksjoner opphever hverandre. Eksempler: Gange med 2, dele på 2 Legge til 4, trekke fra 4 Finne cosinus til vinkel, finne vinkel når cosinus er gitt Trekke ut kvadratrot, opphøye i andre potens

Kalkulator Det er nødvendig med kalkulator somhar cos-1 Kalkulatoren på nettet har dette (ligger under felles programmer, tilbehør)

Kalkulator Kalkulatoren regner ut funksjonen cos-1 slik: Skriv inn cosinus-verdien Klikk på boksen foran ”Inv” Klikk på cos cos -1 0,5 = 60°

Lengden av en vektor i rommet Lengden av en vektor i det tredimensjonale rommet regnes ut på samme måte som avstand mellom to punkter. Vektoren [a1, a2, a3] starter i origo og går til punktet (a1, a2, a3). Lengden blir: Tilsvarende for flere dimensjoner:

Det generelle tegnet for summering Tegnet  er en stor gresk S, Sigma, og betyr at man skal summere. F.eks. betyr ” a” summen av alle aktuelle a-er. For å gjøre det helt klart hvilke ”a-er” som skal summeres, vises det eksplisitt. Uttrykket nedenfor leses ”Summen av ai fra og med i er lik 1 til og med n”

Summere vektorer: Starte med den første, fortsette med neste

Subtrahere vektorer: Starte med den første, fortsette med neste i motsatt retning

Summere vektorer Vektorer summeres ved å legge sammen koordinatene: Eksempel: Tilsvarende legges koordinatene sammen ved summering av vektorer i flere dimensjoner

Multiplisere vektorer med tall: Vektor som har samme retning, men lengden avgjøres av tallet

Multiplisere vektorer med tall Vektorer multipliseres med tall ved å multiplisere tallet med hver av koordinatene: Eksempel:

Multiplisere to vektorer med hverandre Vektorer multipliseres med hverandre ved å multiplisere samsvarende koordinater med hverandre og summere Eksempel:

Skalarprodukt Resultatet når vi multipliserer samsvarende koordinater med hverandre og summerer, kalles skalarprodukt Nytt eksempel:

Vinkelen mellom to vektorer Sammenheng mellom lengder, skalarprodukt og vinkel:

Vinkelen mellom to vektorer Eksempel

Vinkelen mellom to vektorer Eksempel (forts)

Dokumentvektorer og søkevektorer I bibliotekfag brukes særlig vektor-typene dokumentvektorer (angivelse av indekstermer, evt. med vekting) søkevektorer (angivelse av indekstermer, evt. med vekting) Hver av koordinatene angir om indekstermen er aktuell for vedkommende dokument/søkespørsmål Ved vekting angis vekten (evt. negativ vekt i søkevektor), men det vanligste er å angi forekomst av indekstermen med 1, ikke forekomst med 0

Dokumenter og termer La oss anta at vi har en database der disse termene er brukt Sauer Term 1 Geiter Term 2 Fôring Term 3 Norge Term 4 Sykdommer Term 5 Dette gir dokumentvektorene: Fôring av geiter [0, 1, 1, 0, 0] Sykdommer hos sauer og geiter [1, 1, 0, 0, 1] Norske sauer [1, 0, 0, 1, 0] Fôring av syke sauer [1, 0, 1, 0, 1] Fôring av sauer og geiter [1, 1, 1, 0, 0]

Likhet mellom dokumenter og termer I databasen finnes disse termene: Sauer, Geiter, Fôring, Norge, Sykdommer Dessuten dokumenter (med tilhørende dokumentvektorer) Fôring av geiter [0, 1, 1, 0, 0] (dokument 1) Sykdommer hos sauer og geiter [1, 1, 0, 0, 1] (dokument 2) Norske sauer [1, 0, 0, 1, 0] (dokument 3) Fôring av syke sauer [1, 0, 1, 0, 1] (dokument 4) Fôring av sauer og geiter [1, 1, 1, 0, 0] (dokument 5) La oss søke etter dokumenter om fôring av geiter. Dette gir søkevektoren: [0, 1, 1, 0, 0] Skalarproduktet mellom søkevektor og dokumentvektorene blir: Dokument 1: [0, 1, 1, 0, 0] • [0, 1, 1, 0, 0] = 2 (i både dokument- og søkevektor) Dokument 2: [1, 1, 0, 0, 1] • [0, 1, 1, 0, 0] = 1 Dokument 3: [1, 0, 0, 1, 0] • [0, 1, 1, 0, 0] = 0 Dokument 4: [1, 0, 1, 0, 1] • [0, 1, 1, 0, 0] = 1 Dokument 5: [1, 1, 1, 0, 0] • [0, 1, 1, 0, 0] = 2

Likhet mellom dokumenter og termer Skalarproduktet gir likhet mellom dokumentvektor og søkevektor i form av hvor mye de har felles Vi kan også regne vinkelen mellom vektorene, og de gir et bilde av forskjellene (termer som finnes i den ene, men ikke i den andre) La oss se på dokumentvektoren for Fôring av sauer og geiter [1, 1, 1, 0, 0] (dokument 5) Søkevektoren dekker: Fôring av geiter [0, 1, 1, 0, 0] Lengden av søkevektoren Lengden av dokumentvektoren Skalarproduktet har vi regnet ut som: [1, 1, 1, 0, 0] • [0, 1, 1, 0, 0] = 2 Vinkelen blir: