Grunnleggende matematikk Første bolk SOS3003/JFRYE

’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt SOS3003/JFRYE

’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt Fagspråk: I gjennomsnitt øker inntektsnivået med b ('ukjent') kroner for hvert år utdanning man har SOS3003/JFRYE

’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt Fagspråk: I gjennomsnitt øker inntektsnivået med b ('ukjent') kroner for hvert år utdanning man har Matematisk 1: inntekt = 'grunnbeløp i kr.' + (økning i kr. per år utdanning * antall år) SOS3003/JFRYE

’Normalspråk’: Utdanning gir høyere inntekt Fagspråk: I gjennomsnitt øker inntektsnivået med b ('ukjent') kroner for hvert år utdanning man har Matematisk 1: inntekt = 'grunnbeløp i kr.' + (økning i kr. per år utdanning * antall år) Matematisk 2: y = a + (b * x) der y = inntekt der a = 'grunnbeløpet' der b = økning i kroner per år utdanning (effekten av utdanning) der x = antall år utdanning SOS3003/JFRYE

y = a + (b * x) 100.000 = a + (b * 0) 100.000 = a a = 100.000 y (inntekt) 100.000 120.000 140.000 160.000 x (utdanning) 2 4 6 y = a + (b * x) 100.000 = a + (b * 0) 100.000 = a a = 100.000 120.000 = a + (b * 0) 120.000 = 100.000 + (b * 2) 120.000 – 100.000 = (b * 2) 20.000 = b * 2 20.000 / 2 = b b = 10.000 140.000 = a + (b * 0) 140.000 = 100.000 + (b * 4) 140.000 – 100.000 = (b * 4) 40.000 = b * 4 40.000 / 4 = b b = 10.000 SOS3003/JFRYE

Dermed: y = 100.000 + (10.000 * x) SOS3003/JFRYE

Matematikk er et analytisk verktøy Gjør det mulig å ’presist’ (kvantitativt) beskrive fenomener beregne relasjonen mellom fenomener Gjør det mulig å presentere fortettet informasjon Utfordringen er å ’oversette’ mellom fagspråk og matematisk språk SOS3003/JFRYE

NB: Matematikk er ikke vanskelig! Erling Berge uttrykte det slik:  lett å lære å lese  litt vanskeligere å forstå det man leser  enda litt vanskeligere å skrive selv Ulike dialekter: vi bruker 'regresjonsdialekten' SOS3003/JFRYE

 Algebra  Funksjoner  Likninger SOS3003/JFRYE

Algebra Regning med 'bokstaver' (der bokstavene representerer vilkårlige tallstørrelser) SOS3003/JFRYE

Algebra – regneregler I  addisjon: a + b = b + a  subtraksjon: a – b = -b + a  multiplikasjon: a * b = b * a  divisjon a / b = a * (1/b) SOS3003/JFRYE

Algebra – regneregler II Algebraiske uttrykk kan settes opp i parenteser. Det som står inne i parentesen, skal behandles som ett tall  a * (b + c) = (a * b) + (a * c)  (a + b) * (c + d) = a * (c + d) + b * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * c NB: Stryker gangetegnene av praktiske årsaker: = ac + ad + bc + bd SOS3003/JFRYE

Algebra – regneregler III  ax  a * a * a * a * a = a5  a * a = a2 a2 * a = a3 NB: a = a1  a * a * a * a *.... a(n ganger) = an SOS3003/JFRYE

Algebra – regneregler IV  -22 = -(22)  √22 = 2  a0,5 = √a  a0 = 1  a–2 = 1/a2  a1/n = n√a SOS3003/JFRYE

Funksjoner En funksjon er en regel som angir relasjonen mellom to (sett av) algebraiske uttrykk y = a + bx hvordan endrer y seg når x endres? f(x) = a + bx NB: y = f(x) SOS3003/JFRYE

y = a + (10.000 * x) SOS3003/JFRYE

f(x) = 2x x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 8 10 12 14 SOS3003/JFRYE

f(x) = x2 x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 9 16 25 36 49 SOS3003/JFRYE

Ligninger En ligning er en påstand om at to algebraiske uttrykk (eller også to funksjoner, eller et algebraisk uttrykk og en funksjon) er like. NB: En funksjon er derfor bestandig en ligning! SOS3003/JFRYE

Ligninger  a = b  y = x  y = f(x)  y = a + bx (ligningen for en rett linje)  f(x) = a + bx + cx2 (andregradsligningen) y = a + bx + cw + e (regresjonsligningen med 2 x-variabler) SOS3003/JFRYE

Ligninger Man kan addere eller subtrahere med samme tall på begge sider av likhetstegning: y = x tilsvarer y + 1 = x + 1 y = x tilsvarer y – 1 = x – 1 Man kan multiplisere eller dividere med samme tall på begge sider av likhetstegning: y = x tilsvarer y * 10 = x * 10 y = x tilsvarer y / 10 = x / 10 Hensikten er som regel å få y alene på venstresiden av likhetstegnet, ettersom dette letter det videre arbeidet SOS3003/JFRYE

Konvensjoner Parametre/konstanter: Uttrykk i funksjonen som er lik for alle enheter Parameter: verdien for populasjonen Konstant (parameter-estimat): verdien for utvalget Variabler: Uttrykk i funksjonen som varierer for alle enheter SOS3003/JFRYE

Ulike typer bokstaver til ulike typer uttrykk konstanter (parameter-estimat) (romerske bokstaver) a, b, c, d, e, p, q, r, s, t,...  variabler (romerske bokstaver): x, y, z regresjonskonstanter b0 b1 b2.... regresjonsvariabler x1, x2, x3…  parametre for populasjon (greske bokstaver) α (alfa) β (beta) µ (my) γ (ypsilon) ε (epsilon) regresjonsparametre (for populasjonen): β0 β1 β2 β3  indekser for variabler nytter gjerne i, j, k, l, m, n...  funksjoner vil ofte bli gitt symbolene f(), g(), .... SOS3003/JFRYE

 Både tall og bokstavtall: f1, fa Indeksering  Brukes til å skille uttrykk av samme type, for eksempel funksjoner: fi, f2...  Vanligvis som subskrift etter uttrykket, men kan også settes over eller foran, spesielt når det trengs flere presiseringer: 1f2, eller 1f1  Både tall og bokstavtall: f1, fa  Brukes også til å beskrive enkelte enheter (case), parametrer eller variabler a1, a2, a3, x1, x2, x3, b1, b2, b3, β1, β2, β3,  Hvis man skal si noe om alle casene, parametrene eller variablene bruker man gjerne i, j, k. ai, xi, bi, βi  Noen ganger stryker man (alle eller noen av) indeksene når det er 'åpenbart' hva symbolene betyr SOS3003/JFRYE

Matematiske operatorer Summasjon: Σ a1 + a2 + a3 + a4 .... + an = Σiai Multiplikasjon: Π a1 * a2 * a3 * a4 .... + an = Πiai SOS3003/JFRYE

Tre avsluttende ’tester’ yi = β0 + β1x1i + εi yi = β0 + β1x1i + β2x2i + β3x3i + β4x4i + ... + βnxni + εi yi = β0 + Σk(βkxki) + εi SOS3003/JFRYE