Kombinatorikk for lærerstudenter Så enkelt eller så vanskelig?

Kombinatorikk Signe Holm Knudtzon, Høgskolen i Vestfold På hvor mange måter? Denne parallellsesjonen er spesielt beregnet på relativt nyansatte i lærerutdanningen og som har fått i oppgave å undervise lærerstudenter i kombinatorikk og sannsynlighet for første gang. Men alle andre er også velkommen! Jeg har laget et arbeidsark som heter ”På hvor mange måter?” og vil fortelle om hvordan vi arbeider med kombinatorikk med utgangspunkt i det. Kombinatorikk som er så enkelt, men allikevel så vanskelig - eller var det omvendt?

oppvarming På hvor mange måter kan Lillegutt ta på seg badebuksen? Anta at begge beina går inn ett hull og ut hvert sitt hull.

Ett arbeidsark Arbeid hjemme 3 – 7 timer oppgave 1- 7 prioriteres. (noen ganger har jeg ikke med de siste spørsmålene første gang) På skolen: sitt sammen i smågrupper, hvordan har dere tenkt, har dere tenkt forskjellig? I hel klasse gjennomgår vi arket. Jeg tar inn litt annet underveis f. eks elevers arbeid med å finne hvor mange forskjellige firesifrete tall de kan lage.

Hvor mange måter? 1 2 3 Vi har tre tallkort, og skal kombinere dem, flytte om på dem, hvor mange forskjellige tall kan vi lage?

Hvor mange måter? Bruk en eske med de tre sifferkortene 1, 2 og 3 , ett eksemplar av hvert siffer. 1 Du tar opp ett og ett kort uten å legge tilbake. Slik lager du et tresifret tall. Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages på denne måten? 2 Nå tar du isteden opp ett kort, noterer tallet, legger kortet tilbake, og trekker ett nytt, osv. Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages på denne måten?

3 Bruk metoden i 1 (dvs uten tilbakelegging). Legg nå også sifferkortene 4 og 5 i esken. (Bruk altså fem kort i esken.) 3 Bruk metoden i 1 (dvs uten tilbakelegging). Hvor mange tresifrede tall kan du nå lage? 4 Bruk metoden i 2 (dvs med tilbakelegging). 5 Ta ut tre av de fem kortene og hold dem i handa. Hvor mange mulige slike kombinasjoner (utvalg) kan du få, når du ser bort fra rekkefølgen?

6 Sammenlikn situasjonene i a-d nedenfor med oppgavene 1-5. a Hvor mange tre bokstavers kodeord kan lages med bokstavene C T G A ? (Anta at hver bokstav kan brukes flere ganger.) b Tre barn skal stå i kø. Hvor mange forskjellige køer kan lages? c Du har bokstavkort - ett for hver bokstav i alfabetet vårt. Hvor mange trebokstaversord kan du lage av denne "kortstokken"? d Hvis tre av bokstavkortene skal velges ut, hvor mange slike ulike utvalg fins det? (Da er f.eks CKF samme utvalg som KFC, dvs rekkefølgen er uvesentlig.)

7 I en eske med logiske brikker er det tykke og tynne brikker, store og små brikker, røde, gule og blå brikker av sirkler, kvadrater, trekanter og rektangler. Hvor mange forskjellige brikker kan det da være?

Generalisering Prøv nedenfor å beskrive hvordan beregningene generelt kan foregå. Ta gjerne utgangspunkt i egne eksempler med konkrete tall, og forklar (med egne ord?) hvordan metodene generaliseres. Forsøk også å lage (matematiske) uttrykk/formler for utregningsmetodene. 8 La antall forskjellige kort du har i esken være n. Hvor mange rekkefølger av m kort kan du lage - uten tilbakelegging? 9 Som i 8, men med tilbakelegging. (Skriver av bokstaven og legger tilbake.) 10 Hva skjer hvis m = n i oppgavene 8 og 9? 11 Hvor mange måter kan du ta m kort av n hvis rekkefølgen ikke har noe å si? (Se oppgave 6d!)

I 6. klasse Elevene hadde fått beskjed om å ta fram tallkortene: Hva kan man gjøre med de? 7 8 9

Vi kan lage firesifrete tall og legge dem med papirpengene våre Vi kan lage det største tallet og trekke fra det minste tallet Vi kan se hvor mange firesifrete tall vi kan lage.

Her er ring rundt de to som er like

Hvor mange? 24 mange fikk 24, ofte etter flere forsøk 18 hvis vi ikke kan ha null først blir det ”bare 18” Hva er dette en øvelse i? System i tallene, orden, noe mer? Det er avhengig av læreren hva det blir, ser hun noe mer?

Noen ville prøve med fem siffer Vet du det? spurte han meg Noen ville prøve med fem siffer

Noen ville prøve med fem siffer Hvordan tenkte han? Ni tallet kan stå på fem forskjellige steder

13579 Fem siffer Han tenkte det er 24 med 9 først, da må det være 24 med hvert av de andre tallene først. Da blir det 24x5=120 En annen måte å tenke på: Ni tallet kan stå på fem forskjellige steder Da blir det fem av hver av de 24 vi hadde når vi hadde fire siffer 5x24=120

En gutt hadde hånden oppe Jeg spurte ham hva det var Får jeg lov å prøve med syv?

Han hadde funnet 120 muligheter med 5 siffer, finner nå 840 muligheter med 7 siffer Hvordan har han tenkt? Hva sier du som lærer? Hvis du ikke forstår det sier du antagelig ingenting, hvis du kan dette spør du kanskje hva han får med 6 siffer..

Vi bruker fakultet For eksempel fem kort: 5!= 1x2x3x4x5=120 Antall rekkefølger av fem tallkort med forskjellig siffer (permutasjoner, omstokkinger) Vi bruker fakultet For eksempel fem kort: 5!= 1x2x3x4x5=120 Skal du sortere fem siffer har du 5 å velge mellom første gang, 4 å velge mellom andre gang, 3 å velge mellom tredje gang, to å velge mellom fjerde gang og bare en å velge mellom femte gang 5x4x3x2x1=120 og n kort gir n!

Hvor mange måter? 1 2 3 Vi har tre tallkort, og skal kombinere dem, flytte om på dem, hvor mange forskjellige tall kan vi lage?

Oppgave 1 Hvor mange forskjellige tall kan du lage med tre tallkort Oppgave 1 Hvor mange forskjellige tall kan du lage med tre tallkort? (Kombinasjoner av 3) 1 2 3 2 3 1 1 3 2 3 1 2 Permutasjoner av tre 3 * 2 * 1 = 3! = 6 2 1 3 3 2 1

Oppgave 2 Tre tall, kan gjentas, hvor mange tresifrede tall kan lages? 111 222 333 112 121 211 122 212 221 113 131 311 133 313 331 223 232 322 233 323 332 123 132 213 312 321 Tenk deg at tallkortene er lagt i en hatt, ta ut ett, skriv ned, legg tilbake, trekk igjen 27 forskjellige måter 3 * 3* 3 = 27

Oppgave 3 Hva hvis du hadde fem tallkort, hvor mange tresifrede tall kunne du lage? 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345 Hver av disse kan produsere seks forskjellig kombinasjoner 6 x 10 = 60

Oppgave4 Har du fem forskjellige sifferkort i hatten, hvor mange tresifrede tall kan du lage? med tilbakelegging (du kan bruke samme siffer flere ganger)

Jeg stopper der denne gang Hilsen Signe