MET 2211 Statistikk og dataanalyse

Presentasjon om: "MET 2211 Statistikk og dataanalyse"— Utskrift av presentasjonen:

1 MET 2211 Statistikk og dataanalyse
Forelesning Kapittel 6: Sannsynlighetsfordelinger

2 Ordnet utvalg med tilbakelegning
n kuler kan trekkes fra en urne med N kuler på N n ulike måter hvis vi Observerer rekkefølgen Legger dem tilbake etterhvert Eksempel: N = 5, n = 2, N n = 25. Vi kan altså velge ut 2 kuler fra 5 på 25 måter hvis vi legger den første tilbake og bryr oss om rekkefølgen. ŒŒ Œ ŒŽ Œ Œ Œ  Ž   ŽŒ Ž ŽŽ Ž Ž Œ  Ž   Œ  Ž   MET Fred Wenstøp

3 Viktige formler i kombinatorikk
Fakultet: n! = n´(n-1)´(n-2)´..2´1 5! = 5´4´3´2´1 = 120 Excel: =FACT(5) Permutasjoner: PNn= N´(N-1)´(N-2)´.. i alt n ledd P52= 5´4 = 20 Excel: = PERMUT(5;2) Kombinasjoner: CNn= PNn /n! C52= 5´4 / 2! = 10 Excel: = COMBIN(5;2) MET Fred Wenstøp

4 Ordnet utvalg uten tilbakelegning
n kuler kan trekkes fra en urne med N kuler på PnN ulike måter hvis vi Observerer rekkefølgen Ikke legger dem tilbake etterhvert Eksempel: N = 5, n = 2, PnN = 5´4 = 20 Vi kan altså velge ut 2 kuler fra 5 på 20 måter hvis vi ikke legger den første tilbake, men bryr oss om rekkefølgen. ŒŒ Œ ŒŽ Œ Œ Œ  Ž   ŽŒ Ž ŽŽ Ž Ž Œ  Ž   Œ  Ž   MET Fred Wenstøp

5 Permutasjoner n personer kan stå i Pnn = n! rekkefølger
n! = n ´(n-1) ´(n-2) ´ … ´ 2 ´ 1 Eksempel: 20 skolebarn kan komme inn i klasserommet i 20! ulike rekkefølger 20! = 20 ´ 19 ´ 18 ´ 17 ´ … ´ 1 = = 2,432 trillioner MET Fred Wenstøp

6 Uordnet utvalg uten tilbakelegning
n kuler kan trekkes fra en urne med N kuler på CnN ulike måter hvis vi: Ikke observerer rekkefølgen Ikke legger dem tilbake etterhvert Eksempel: N = 5, n = 2, CnN = 5´4/2! = 10 Vi kan altså velge ut 2 kuler fra 5 på 10 måter hvis vi hverken legger den første tilbake eller bryr oss om rekkefølgen ŒŒ Œ ŒŽ Œ Œ Œ  Ž   ŽŒ Ž ŽŽ Ž Ž Œ  Ž   Œ  Ž   MET Fred Wenstøp

7 Sannsynlighets- regning
Vi har i alt m mulige utvalg Av de m mulige er g spesielle Alle m er like sannsynlige, og vi velger ett tilfeldig Sannsynligheten for et spesielt utvalg: P = g/m Eksempel: Hva er sannsynligheten for 12 rette i tipping når man bare gjetter? N = 3 (H U B) n = 12 (kamper) g = 1 (det riktige) m = 312 Svar: 1/312 = 0, MET Fred Wenstøp

8 Oversikt over utvalgsmetodene
Like sannsynlige utvalg Ordnet, med tilbakelegging Tipping Ordnet, uten tilbakelegging Velg leder og nestleder Uordnet, uten tilbakelegging Lotto Utvalg som ikke er like sannsynlige Uordnet, med tilbakelegging Uordnet utvalg med tilbakelegging Eksempel: Barnefødsler N = 2 kjønn (P G) n = 3 fødsler (trekninger) Mulige uordnete resultater: 3J, 2J1G, 1J2G, 3G m = 4 Er de like sannsynlige? MET Fred Wenstøp

9 Eksempel: Barnefødsler
Vi kan finne sannsynlighetene ved å gå veien om ordnete utvalg En litt større barneflokk: Vi har N = 2 kjønn (P,G) og Vi trekker n = 5 ganger, ordnet og med tilbakelegging. Det gir m = 25 = 32 mulige utvalg La oss si at et spesielt utvalg har 3 jenter Spørsmål: Hvor mange er spesielle ? Hva er g ? MET Fred Wenstøp

10 3 jenter i ordnete barneflokker på n = 5
PPPPP PGPPP GPGPP GGPPP PPPPG PGPPG GPPPG GGPPG PPPGP PGPGP GPPGP GGPGP PPPGG PGGPP GPPGG GGPGG PPGGP PGPGG GPPPP GGGPP PPGPG PGGPG GPGPG GGGPG PPGPP PGGGP GPGGP GGGGP PPGGG PGGGG GPGGG GGGGG MET Fred Wenstøp

11 På vei mot binomialfordelingen
Hvordan kunne vi funnet g uten å liste opp alle de ordnete utvalgene ? g er antall måter vi kunne ha valgt ut de 3 jenteplassene fra de 5 plassene på Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegging n = 3 N = 5 g = C53 = 10 P(3J) = g/m = 10/25 = 10(½)5 = 10/32 = 0,3125 MET Fred Wenstøp

12 Binomialfordelingen eksempel
Jenter og gutter er ikke like sannsynlige P(jente) = p = 0,48 n = 5 forsøk a = antall vellykkete (jenter) P(a = 3) = C53pa(1-p)n-a = 10´0,483´0,522 = =BINOMDIST(3;5;0,48;0) = 0,2999 MET Fred Wenstøp

13 Binomialfordelingen Sannsynligheten for å få nøyaktig a vellykkete utfall i en serie på n identiske og uavhengige forsøk der sannsynligheten for at et tilfeldig forsøk skal bli vellykket er p MET Fred Wenstøp

14 Den hypergeo- metriske fordeling
n elementer trekkes uordnet og uten tilbakelegning fra en populasjon med N elementer hvorav A er Riktige og resten Gale. Sannsynligheten for å få nøyaktig a Riktige i utvalget er: MET Fred Wenstøp

15 Eksempel på hyper- geometrisk sannsynlighet
Hva er sannsynligheten for å få 6 rette i Lotto n = 7, N=34, a = 6, A = 7 MET Fred Wenstøp