Chapter 03 Multiresolution Analysis (MRA) V0  V1  V2

Multiresolution Gjennomsnitt V0 V1 V2 V3 V4 Differens W0 W1 W2 W3 Bildet 'Lena' er mye brukt i litteraturen i tilknytning til bildebehandling. Bildet er et gråtonebilde (eller et fargebilde hvor alle tre RGB-verdiene er like). Vi tenker oss at bildet er delt opp i pixler (punkter). På bildet vises en rad av pixler (pixlene er noe forstørret for å kunne vise prinsippet). Nederst er tegnet et søylediagram som viser gråtoneverdien (i intervallet [0,255]) for hvert pixel i denne pixel-raden. Høy søyle svarer her til høy pixel-verdi eller lys gråtone, mens lav søyle svarer til lav pixel-verdi eller mørk gråtone. Dette søylediagrammet kan gi oss en del informasjon om denne pixel-raden: Høy søyle svarer til lys gråtone. Lav søyle svarer til mørk gråtone. Tilnærmet like høye søyler plassert ved siden av hverandre: Dette svarer til tilnærmet samme gråtone, kanskje kan disse på en eller annen måte erstattes av en 'fellessøyle' og på den måten gi mulighet for komprimering av bildet, dvs fjerne noe data fra bildet uten at nevneverdig informasjon går tapt. Lav søyle ved siden av en høy søyle: Skarp overgang mellom lys/mørk del av bildet, informasjon som kanskje kan hjelpe oss til å finne ulike objekter i et bilde. V1 V2 V3 V4 Differens W0 W1 W2 W3

Analysis /Synthesis Example J=5 Antall samplinger: 2J = 32 Analysis /Synthesis Example

Analysis Synthesis J=5 Sampling: 25 = 32

Scaling function Example 1 1 1 2 1 3 n n+1

Scaling function that span V0 V0  L2(R)

Scaling Function that span V0 Example 1 1 2 3 4 5 5 1 1 2 3 4 5

Scaling Function (unnormalized) that span Vj 1 1 Dilation Translation 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Scaling Function (normalized) that span Vj 1 1 Dilation Translation 2 1/2 2 1/2 2 2 2 2

Scaling functions (normalized) V0  V1  V2

Normalization of scaling functions Inner product Norm Scaling functions (Orthonormal)

Haar Scaling Functions (unnormalized) that span Vj k 1 2 3 j 1 1 For hver j: Basisfunksjoner: (2jt-k) k = 0,…2 j-1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1

Haar Scaling Functions (normalized) that span Vj k 1 2 3 j 1 1 For hver j: Basisfunksjoner: j,k(t) k = 0,…2 j-1 2 1/2 2 1/2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3/2 2 3/2 2 3/2 2 3/2 3 1 1 1 1

Scaling Function that span V1 and V2 V1  V2 Scaling Function that span V1 and V2 1 1

Haar Scaling Functions that span Vj j = 0,1,2,3 1 2 3 k 1 2 3 4 5 6 7

Relation between V0 and V1 Haar Wavelet - Triangle Wavelet V0  V1 Relation between V0 and V1 Haar Wavelet - Triangle Wavelet Scaling function

Properties of the h-coefficients (1/5) V0  V1

Properties of the h-coefficients (2/5) V0  V1

Properties of the h-coefficients (3/5)

Properties of the h-coefficients (5/5)

Examples of h-coefficients D2 Haar scaling function n=3 n odd --> one coefficient = 0 n=4 D4 Daubechies four-tap solution One degree of freedom

Examples of h-coefficients One degree of freedom D2 D4

Examples of h-coefficients

Examples of h-coefficients D6 D8

Daubechies Vanishing moments The continuous wavelet transform (CWT) Taylor series at t=0 until order n (b=0 for simplicity) Moments of the Wavelet

Daubechies Vanishing moments Wavelet until Daubechies: - Haar Compact support, but discontinuous - Shannon Smooth, but extend the whole real line - Linear spline Continuous, but infinite support Daubechies: Hierarchy of Wavelets: n = 2 : Haar Compact support, discontinuous M0 = 0 n = 4 : D4 Compact support, continuous, not diff. Mi = 0 i=0..n/2-1 n = 6 : D6 Compact support, continuous, 1 diff. Mi = 0 i=0..n/2-1 n = 8 : D8 Compact support, continuous, 2 diff. Mi = 0 i=0..n/2-1 ...

Wavelet functions Scaling function V0  V1  V2 W0 W1 Wavelet function

Properties of the g-coefficients Scaling function V0  V1  V2 W0 Wavelet function W1

Decomposition of V3 = V0 + W0 + W1 + W2

Analysis - From Fine Scale to Coarse Scale j=5 j=4

Analysis - From Fine Scale to Coarse Scale Synthesis - From Coarse Scale to Fine Scale

Dirac Delta Function (Standard Time Domain Basis)

Fourier (Standard Frequency Domain Basis)

Two-band Wavelet Basis f t

Analysis /Synthesis Example J=5 Antall samplinger: 2J = 32 Analysis /Synthesis Example

Analysis Synthesis J=5 Sampling: 25 = 32

END