Fra likninger til funksjoner

En likning To uttrykk er like Ett eller flere ukjente tall Vi stiller opp en likning ut fra et problem ved å sette navn på den/de ukjente (x er vanlig) Løser en likning ved å omforme til stadig enklere likninger Til slutt sitter vi igjen med x = …

Ekvivalens Forståelsen av likhetstegnet som et ekvivalenstegn er avgjørende for å forstå hvordan man løser opp en likning Uttrykket på venstre side av likhetstegnet skal ha SAMME VERDI som uttrykket på høyre side Funksjonsvippen – løs oppgaver Se side 35 og 36 i BV2

Omforming: Å gjøre samme regneoperasjon på begge sider av likhetstegnet Eksempel på forenkling: ”Å flytte over og bytte fortegn” Erstatter den opprinnelige likningen med en ny som har samme løsning

Oppgaver Løs likningene: 12x + 4 = -20 5x + 4 = 2x + 1 x+5 = -3x - 3

Ulikheter I likninger er to uttrykk like store I ulikheter er det ene uttrykket større enn det andre Ulikhetstegnene < og > brukes for å vise hvilket uttrykk som er størst Flere tall som gjør det ene uttrykket større enn det andre

x + 4 > 5 Løsning: Alle tall som er større enn 1

Regneregler For ulikheter gjelder de samme regnereglene som for likninger UNNTAK: Når vi multipliserer eller dividerer begge sider i en ulikhet med et negativt tall, må vi snu ulikhetstegnet! Eks. -3x < 12 NB! Vis med tallinje! x > - 4

Oppgave Løs ulikheten 2x – 5 < 5x + 4 Vis på en tallinje hvilke verdier for x som gjør at uttrykket på venstre side av ulikhetstegnet er mindre enn uttrykket på høyre side Forklar naboen din hvorfor vi må snu ulikhetstegnet når vi dividerer og multipliserer med et negativt tall Se side 117 i Se side 117 i Grunntall 10

Likninger med flere ukjente Det er til sammen 58 griser og gjess på en gård Kan si at det er x = antall griser og y = ant. gjess Kan da lage likningen: x + y = 58 Hva er x og y? Denne likningen kan ha mange løsninger Tilleggsinformasjon: Dyra har til sammen 182 bein 4x + 2y = 182

Likningssett Samler vi de to likningene fra forrige side får vi 1. x + y = 58 4x + 2y = 182 Har vi samme antall likninger som ukjente, har likningssettet bare én løsning

Måter å løse likningssett på Innsetting Addisjon Grafisk LØS oppgaven med griser og gjess!!!

Innsettingsmetoden Vi omformer den ene av likningene og setter den så inn i den andre I. y = 10 – x II. 4x – 2y = 4 I. inn i II. 4x – 2(10 - x) = 4 Da finner vi x Så setter vi verdien av x inn i I. og finner y

Addisjonsmetoden Kvitte oss med en av de ukjente ved å legge likningene sammen Regn ut med den ene ukjente du sitter igjen med – sett svaret inn i opprinnelig likning x + y = 10 (ganger med 2) 4x – 2y = 4 Hvorfor kan vi gjøre dette??? Se side 382 i Grunntall 10 Så lenge likningen vi gjør noe med beholder sin likevekt er det helt greit!

Grafisk For å kunne løse et likningssett grafisk, må likningene gjøres om til funksjoner (dvs. y = f(x)) Funksjonene tegnes inn i samme koordinatsystem Skjæringspunktet mellom de to funksjonene (grafene) gir oss løsningen på likningen

Koordinatsystemet To tallinjer som referanselinjer En vannrett, en loddrett. De skjærer hverandre i begges nullpunkt – origo Fire kvadranter Et punkt P har to koordinater (x,y) (i et todimensjonalt koordinatssystem)

Sammenhengen mellom to tall kan vises i et koordinatsystem Dersom vi kjenner alle tall kan vi plotte dem rett inn, ved å først definere hva y-aksen og x-aksen står for. Eks. antall kroner per dollar. Når vi følger samme kurs stiger grafen lineært Kjenner vi ikke verdiene, definerer x- og y-aksen presis x og y – derav y lik funksjonen av x y = f(x) som forteller at y avhenger av x

Dagligdags funksjonstale Dagligtale Hva er de forskjellige elementene sin funksjon? Eks. tunnel som maler bilen blå… Skriv disse som funksjonsuttrykk "Når x betyr en variabel størrelse så heter alle størrelser, som på en eller annen måte avhenger eller bestemmes av x, funksjoner av x.” Leonard Euler

Funksjonsmaskinen Jeg tenker på en spesiell funksjon Gi meg et tall Jeg spytter ut svaret Gjett hva slags funksjonsmaskin jeg er Funksjonsmaskin

Funksjonens navn En funksjon forteller hvordan du skal behandle en bestemt tallverdi Man navngir gjerne funksjonene f, g, h osv, men kan i prinsippet kalle dem hva som helst Dersom den variable er x og funksjonens navn f, skriver man f(x) (leses f av x). Er tid den variable – f(t)

Funksjonssuttrykk Funksjonen f(x) = 2x + 5 har funksjonsuttrykket 2x + 5. Uttrykket forteller hva som skal gjøres med tallet som skal inn i funksjonen. I dette tilfellet skal tallet multipliseres med 2 og 5 legges til Tips: Tenk ”funksjonsmaskin”

Definisjonsmengde Hvilke verdi den variable kan ha i funksjonen bestemmes av definisjonsmengden D. Dersom funksjonens navn er f, brukes notasjonen Df

Funksjoner y = 4x + 2 f(x) = 4x + 2 y = f(x) = funksjonen av x (y er det x bestemmer at den er) en verdi av y for hver verdi av x Hva er selve funksjonen? Regelen eller ”spørsmålet” som knytter den avhengige variable til den uavhengige variable. Tid – temperatur. HVA ER HVA??? Tilbake til eksempel fra s. 46

Grafisk Lag verditabell til hver funksjon Sett inn tallparene i et koordinatsystem. Tegn opp grafene – en til hver funksjon Der grafene skjærer hverandre er løsningssettet (x,y) Graftegner Se ”Matematikkregler” side 45-47

Verditabell Måten vi tegner grafen til en funksjon på er at vi lager en verditabell, dvs. en tabell som har X- og Y-verdier Vi velger selv X verdier. Når vi har valgt en X-verdi setter vi den inn for X i funksjonstrykket. Da får vi en Y-verdi som hører til X-verdien Disse resultatene setter vi inn i en tabell, som vist nedenfor. Ut i fra disse verdiene tegner vi grafen. I vårt eksempel kan verditabellen se slik ut:

Verditabell y = x + 2 el. f(x)= x + 2 Og grafen ser slik ut: x -1 1 2 1 2 y 3 4

Oppgave Et borettslag skal ha noen med traktor og snøfreser til å måke snø. De har fått to tilbud. Strand skal ha 7000 kr fast og 500 kr for hver time. Magnussen skal ha 13000 kr fast og 350 kr for hver time. Lag en funksjon som viser hvor mye Strand skal ha, y kr, når jobben tar x timer Lag en liknende funksjon for Magnussen Tegn grafene inn i samme koordinatsystem. Les av hvor mange timer de må jobbe for de må jobbe for å tjene like mye. Hvor mye vil snømåkingen koste da? Kontroller løsningen ved å sette de to funksjonsuttrykkene lik hverandre og løs likningen. Løs likningssettet fra b. og c. ved hjelp av innsetting. Sett prøve på svarene.

Løs likningssett i Excel Eksempel

Lineær funksjon Hvis grafen av en funksjon blir en rett linje, kaller vi funksjonen en lineær funksjon Alle lineære funksjoner er på formen: y = ax + b a er stigningstallet a = (y2 - y1) / (x2 - x1) og b er der grafen krysser y-aksen (konstantleddet), fordi vi ser at om vi setter X lik null inn i funksjonsutrykket får vi Y = b (se på et koordinatsystem) Se: Sinus

Finn likningen for denne lineære funksjonen Y = 2x – 3 Y2 – y1 = 3 – 1 = 2 X2 – x1 = 3-2 = 1 2/1 = 2

Polynom Et polynom er et algebraisk, flerleddet uttrykk, som kun er forbundet gjennom subtraksjon, addisjon, multiplikasjon og positive heltallseksponenter Derfor er et polynom, men er ikke et polynom Hentet fra «http://no.wikipedia.org/wiki/Polynom»

Polynomfunksjon En funksjon der funksjonsuttrykket er et polynom, kalles en polynomfunksjon Får navn etter polynomets grad: førstegradsfunksjon, andregradsfunksjon osv. Som generelle skrivemåter for førstegradsfunksjoner og andregradsfunksjoner bruker vi f(x) = ax + b og f(x) = ax² + bx + c

Førstegradsfunksjon En funksjon der funksjonsuttrykket er av første grad (f(x) = ax + b) Grafen til en førstegradsfunksjon er en rett linje En førstegradsfunksjon kalles også en lineær funksjon

Andregradsfunksjoner En andregradsfunksjon er en funksjon som kan skrives på formen  f(x) = ax² + bx + c        (a ≠ 0)   der a, b og c er kjente tall Uttrykket ax² + bx + c kalles et andregradsuttrykk a, b og c kalles parametere (rett og slett for å skille disse fra de ukjente) Hentet fra: www.lokus.no

NB! Forskjellen på polynomfunksjoner og eksponentialfunksjoner: I polynomfunksjoner er grunntallet en variabel I eksponentialfunksjoner er eksponenten en variabel

Når vi arbeider med den rette linja tenker vi additivt (vi legger til like stor verdi for like lange tidsintervaller (x-verdier)) I en eksponentiell modell tenker vi multiplikasjon. Vi multipliserer med like stor verdi for like lange tidsintervall (x-verdier) At noe vokser med en fast prosent er det samme som at det vokser eksponentielt. Vi finner det neste tallet i tabellen ved å gange med et fast tall. Eks. musefamile

Eksponentialfunksjoner F(x) = a · b^x

Vekstfaktor Hvis noe øker med for eksempel 10 % i måneden, vil vekstfaktoren være 1,10 (1+10/100 =1 + 0,10 = 1,10) Oppg. Hvor mye har du på sparekontoen din etter 10 år dersom renta er 5 % og innskuddet er 10 000 kr? Etter 1 år: 10 000 kr · 1,05 Etter 2 år: 10500 kr· 1,05 Etter 3 år: 11025 kr· 1,05 Etter 4 år: 11576,25 kr · 1,05 Etter 5 år: 12155,0625 kr · 1,05 Etter 5 år: 10 000 kr · 1,05 · 1,05 · 1,05 · 1,05 · 1,05 Samme som: Generell formel:

Oppgave Eks. i Sinusoppgaver

Praktisk tilnærming til eksponensialfunksjoner Papirbretting Musefamile (s. 82 i Algebra og funksjonslære)

Proporsjonal vekst I en lineær funksjon har vi proporsjonal vekst (direkte proporsjonalitet) Stigningstallet forteller oss hvor mye grafen stiger til en hver tid (f(x)= 2x + 5)

Omvendt proporsjonalitet En omvendt proporsjonalitet mellom to størrelser x og y er en sammenheng gitt på disse måtene: og x · y = a En rasjonal funksjon uttrykkes slik: der p(x) og q(x) er polynomer i x Grafen til en slik funksjon kalles hyperbel Se eks. s. 106 i BV2

Derivasjon Sentralt område i matematisk analyse I en lineær funksjon er faktoren vi multipliserer den variable med det som gir stigningsforholdet (eks. 2x gir oss 2 – dette er det samme som den deriverte av 2x!) For å finne stigningsforholdet for en graf gitt av en ikke-lineær funksjon, så må vi finne stigningsforholdet for en tangent i et gitt punkt på grafen stigningstallet til f i punktet x lik stigningstallet til tangenten til f i x Derivasjonsregler For forklaring, se BV2 side 122-124

Kvadratet og kvadratroten av et tall Def. på kvadrat: ”En firkant der alle sider er like lange, og vinklene er 90º” Når vi ganger et tall med seg selv finner vi kvadratet av tallet. Eks. 5 · 5 = 5² = 25 Når vi kjenner arealet av et kvadrat, kan vi finne lengden av sidene ved å ta kvadratroten av det Kvadratroten av et tall er det positive tallet som multiplisert med seg selv, blir det tallet som vi skal finne kvadratroten av. Eks.

Annengradslikninger Def.: ”Likninger der den ukjente er i andre potens, x², kaller vi en andregradslikning” Eks. x² + 7 = 43 En annengradslikning har to løsninger - en positiv og en negativ. Her: Se al-Kwarizmi sitt geometriske bevis for løsning (s. 55 i BV2) Se generalisering side 57

Kvadratsetningene (a + b)² = (a + b)·(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Algebra i besøkssenteret algebra-oversikt.doc

Excel http://www.lu.hio.no/IT/grunnutdanning/0506/undervisningsmateriale/a04/regneark/funksjonsoppg.xls http://home.online.no/~djvedvik/excel/ 

Faktorisering Alle sammensatte tall kan vi faktorisere Sammensatte tall: Produkt av to eller flere primtall Faktorisere: Skrive det sammensatte tallet om til et multiplikasjonsstykke av så mange tall som mulig (Selstød & Smeland) – så mange faktorer som mulig. Tallene i multiplikasjonsstykket skal være primtall (tall større enn 1, som bare er delelig med 1 og seg selv)