Forelesning 3 HSTAT1101 Ola Haug Norsk Regnesentral 01.09.2004

Husker du? Komplementregelen: Addisjonsregelen: Spesialtilfelle: A og B disjunkte begivenheter Stokastisk uavhengighet:

Dagens temaer Betinget sannsynlighet Oppdeling av utfallsrommet - total sannsynlighet Bayes’ lov Diagnostiske tester (Kombinatorikk)

Betinget sannsynlighet Betinging: Hvordan tilleggsinformasjon påvirker sannsynligheten for en begivenhet Betinget sannsynlighet for A gitt B skrives P(A|B) og er gitt ved formelen (definisjon) Skjematisk:

Eksempel - kreft Kreft rammer oftere eldre mennesker enn yngre Definer følgende begivenheter for en tilfeldig utvalgt person: A: Personen får kreft i løpet av et år B: Personen tilhører aldersgruppen 70-79 år Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at en vilkårlig person i aldersgruppen 70-79 år får kreft i løpet av et år, mao. hva er P(A|B)?

Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsregelen: Uavhengighet: Merk at for uavhengige begivenheter A og B så er P(A|B) = P(A), dvs. tilleggsopplysningen ”B har inntruffet” endrer ikke den ubetingede sannsynligheten. Da blir

Eksempel - fargeblindhet Menn Kvinner Totalt Fargeblinde 37 7 44 Ikke fargeblinde 495 461 956 532 468 1000 Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig mann er fargeblind? Hva er sannsynligheten for at en person som vi vet ikke er fargeblind er kvinne?

Oppdeling av utfallsrommet - total sannsynlighet Ved to disjunkte hendelser og , sier loven om total sannsynlighet at Generelt: Hvis utfallsrommet deles inn i n disjunkte hendelser B1, B2,…, Bn gjelder at Spesielt (n=3):

Eksempel - doping Vi har tre (disjunkte!) kategorier av idrettsutøvere: De som doper seg nå (2%) De som har dopet seg tidligere (14%) De som aldri har dopet seg (84%) Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig dopingtest skal være positiv?

Bayes’ lov Fra siste del av multiplikasjonsregelen: og uttrykket for total sannsynlighet: kan vi nå avlede Bayes’ lov: Bayes’ lov spiller en sentral rolle i beregning av usikkerhet i diagnostiske tester

Eksempel – doping (forts.) Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at en idrettsutøver som avlegger positiv dopingtest, virkelig er dopet?

Diagnostiske tester Bakgrunn: Diagnostiske tester (HIV-test, graviditetstest, røntgen, ...) er beheftet med usikkerhet Falske positive (indikerer sykdom hos frisk person) Falske negative (fanger ikke opp sykdom hos syk person) Ex. HIV-test: Oppdager antistoffer mot HIV Positiv test: det er antistoffer i prøvematerialet Negativ test: det er ikke antistoffer i prøvematerialet Falsk positiv: det er antistoffer i prøven mot et beslektet virus Falsk negativ: antistoffer mot HIV er ennå ikke dannet

Diagnostiske tester Viktige begreper I Sensitivitet: Sannsynligheten for at en test slår ut positivt, gitt at personen er syk (evne til å avdekke sykdom hos syke). P(+ test | virkelig syk) Ex. HIV-test: 98.0% Mammografi 98.0% Spesifisitet: Sannsynligheten for at en test slår ut negativt, gitt at personen er frisk (evne til å utelukke sykdom hos friske). P(- test | frisk) Ex. HIV-test: 99.8% Mammografi 95.0%

Diagnostiske tester Viktige begreper II Positiv prediktiv verdi: Sannsynligheten for at en person med positiv test virkelig er syk P(syk | + test) Negativ prediktiv verdi: Sannsynligheten for at en person med negativ test faktisk er frisk P(frisk | - test)

Eksempel – positiv prediktiv verdi Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at en person med positiv HIV-test virkelig er HIV-smittet (positiv prediktiv verdi)?

Diagnostiske tester Avhengighet av prevalens Positiv prediktiv verdi (PPV) kan være veldig avhengig av prevalensen. Tabellen nedenfor viser hvordan PPV fra eksempelet med HIV-testen endrer seg med prevalensen: OBS! For sjeldne sykdommer/tilstander gir dette et problem ved masseundersøkelser: De fleste av personene med positiv prøve kan faktisk være friske! Prevalens PPV P(ikke HIV | +) 1 / 10 000 5 % 0.95 1 / 1000 33 % 0.67 1 / 100 83 % 0.17 1 / 10 98 % 0.02

Kombinatorikk Læresetninger som tallfester mulige utfall i et eksperiment (nyttig ved bruk av gunstige/mulige-metoden på store utvalg) Modell: Trekker s kuler fra en urne med n (nummererte/merkede) kuler og teller opp antall mulige utfall av en slik trekning Ulike måter å trekke på: Med eller uten tilbakelegging Ulike måter å organisere de uttrukne kulene på Ordnede eller ikke-ordnede utvalg

Kombinatorikk Trekking med tilbakelegging Trekking uten tilbakelegging Etter at en kule er trukket ut, legges den tilbake i urnen igjen og har dermed samme sjanse som de øvrige kulene til å bli trukket ut på nytt. Merk at her kan s > n. Trekking uten tilbakelegging Uttrukne kuler legges ikke tilbake i urnen. Enhver kule kan dermed trekkes ut kun én gang.

Kombinatorikk Ikke-ordnede utvalg Ordnede utvalg Betrakter kun de s kulene i det uttrukne utvalget og tar ikke hensyn til rekkefølgen de trekkes i Ordnede utvalg Skiller mellom utvalg som inneholder de samme s kulene, men hvor kulene er trukket ut i forskjellig rekkefølge

Kombinatorikk Læresetninger: Antall ordnede utvalg når s kuler trekkes blant n kuler med tilbakelegging: Antall ikke-ordnede utvalg når s kuler trekkes blant n kuler uten tilbakelegging: leses ”n over s” og kalles binomialkoeffisienten

Eksempel - Lotto Spørsmål: Hvor mange forskjellige lottorekker fins det? I Lotto trekkes s=7 kuler(!) ut fra totalt n=34. Trekkingen skjer uten tilbakelegging. Rekkefølgen kulene trekkes ut i er uten betydning, dvs. vi kan se på et ikke-ordnet utvalg. Antall mulige utvalg (=rekker) er da

Eksempel - tipperekker Spørsmål: Hva er antall mulige rekker man kan føre opp på en tippekupong? En tipperekke kan tenkes å ha fremkommet ved at n=3 kuler merket ”H”, ”U” og ”B” trekkes s=12 ganger, dvs. vi trekker med tilbakelegging Kamprekkefølgen tas hensyn til gjennom å se på ordnede utvalg (HUU… gir en annen tipperekke enn UHU…) Antall mulige rekker: 312 = 531 441

Eksempel – tilfeldig utvalg En gruppe studenter består av 5 gutter og 6 jenter Trekker et utvalg på 4 personer tilfeldig fra gruppen Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at utvalget blir sammensatt av kun jenter?

Kommentar Utfordring: Tips Vi har et sett av regneregler for sannsynligheten av hendelser, men utfordringen er ofte å spesifisere ”hensiktsmessige” hendelser slik at vi kan anvende formelverket Tips Prøv å bryte informasjonen som er gitt ned i hendelser med kjent sannsynlighet. Bygg deretter opp mer komplekse sannsynligheter ut fra disse + regnereglene