Kap 08 Kontinuerlige stokastiske variable I de to foregående kapitlene så vi på såkalte diskrete stokastiske variable. Dette er variable hvor verdien x til en stokastisk variabel X kan anta diskrete verdier, dvs verdimengden Vx til X antar diskrete separate verdier. For kontinuerlige stokastiske variable derimot, vil verdimengden Vx til en stokastisk variabel typisk være et intervall.

Eksempel - Rulettpil 1 - Diskret modell 3 2 VX = {1,2,3,…,n} P(X=x) = 1/n x = 1,2,3,…,n 1 n Vi tenker oss at vi har en sirkelrund skive delt inn i n nummererte sektorer 1,2,3,...,n. Vi kaster piler mot denne skiven og antar at sannsynligheten for treff innenfor en sektor er lik for alle sektorene. Vi lar X være den stokastiske variable som angir nummeret for truffet sektor. Verdimengden Vx til X vil da være Vx = {1,2,3,...,n} og sannsynligheten P(X=x) for treff innenfor hver av disse sektorene vil være P(X=x) = 1/n. Forventet sektortreff E(X) vil da være (n+1)/2.  = E(X) = xP(X=x) = 1P(X=1) + 2P(X=x) + … + nP(X=n) = (n+1)/2

Eksempel - Rulettpil 2 - Kontinuerlig modell Sirkel med omkrets 10 2.5 VX = <0,10] P(X=x) = g/m = 0 x <0,10] x 5.0 Sannsynlighetsfordelingen er uhensiktsmessig ved kontinuerlige stokastiske variable. I stedet benytter vi oss av fordelingsfunksjonen. 7.5 La oss nå tenke oss at vi istedet for inndeling i sektorer 1,2,3,...,n setter av et mål x fra 0 til n langs buen. Med n=10 får vi x-verdier som vist på figuren. Ved å la den stokastiske variable X være x-verdien ved et treff, ser vi at x kan anta alle reelle verdier mellom 0 og n (her 0 og 10). X vil nå være en kontinuerlig stokastisk variabel og verdimengden Vx til X vil være intervallet Vx = <0,10]. Hvis vi betrakter alle x-verdier som like sannsynlige og benytter sannsynligheten som gunstige på mulige, så vil jo sannsynligheten for treff for en gitt x-verdi alltid bli null (antall mulige vil jo være uendelig, det finnes uendelig mange reelle tall mellom 0 og 10.) Til beregning av sannsynligheter for kontinuerlig stokastiske variable vil sannsynligheten P(X=x) være lite hensiktsmessig å benytte siden denne alltid vil være lik 0. Istedet vil det være mer hensiktsmessig å benytte fordelingsfunksjonen F(x) = P(X<=x). Fordelingsfunksjon

Eksempel - Rulettpil 3 - Kontinuerlig modell VX = <0,10] Sirkel med omkrets 10 2.5 x Fordelingsfunksjon 5.0 Ved å benytte fordelingsfunksjonen F(x) = P(X<=x) ser vi av figuren at følgende gjelder: F(2.5) = P(X<=2.5) = 1/4 F(5.0) = P(X<=5.0) = 1/2 F(7.5) = P(X<=7.5) = 3/4 F(10.0) = P(X<=10.0) = 1 Med bruk av fordelingsfunksjonen ser vi at vi kan beregne sannsynligheten for at et treff gjelder en x-verdi som er mindre enn eller lik en oppgitt verdi. 7.5

Eksempel - Rulettpil 4 - Kontinuerlig modell 2.5 Sirkel med omkrets 10 x VX = <0,10] Fordelingsfunksjon 5.0 7.5 F(x) Fra betraktningene på forrige side ser vi raskt at F(x) er proporsjonal med x, dvs F(x) = P(X<=x) = kx. k kan nå beregnes ved innsetting av en gitt x-verdi, f.eks. x = 5.0. Dette gir k = 1/10 og vi får fordelingsfunksjonen F(x) som vist på figuren. Legg merke til at fordelingsfunksjonen blir en kontinuerlig funksjon i motsetning til fordelingsfunksjoner for diskrete variable. 1 10.0 x

Kontinuerlig stokastisk variabel - Def Fordelingsfunksjon En stokastisk variabel X er kontinuerlig dersom fordelingsfunksjonen F(x) er en kontinuerlig funksjon. Med betraktningene fra forrige side kan vi si at en stokastisk variabel X er kontinuerlig dersom fordelingsfunksjon F(x) = P(X<=x) er en kontinuerlig funksjon. Det kan nå være av interesse å bestemme P(a<X<=b) hvor a<b, dvs det kan være av interesse å bestemme sannsynligheten for at et treff gir en x-verdi i et gitt intervall <a,b]. Vi har P(X<=b) = P(X<=a) + P(a<X<=b) som er det samme som: F(b) = F(a) + P(a<X<=b). Herav får vi: P(a<X<=b) = F(b) - F(a) Konklusjon: Sannsynligheten for at en kontinuerlig stokastisk variabel antar en verdi i et intervall<A,B] F(a). Fortsatt har vi P(X=x) = 0 og betaktninger omkring eventuelle endepunkter er uten betydning. F(x) = P(X<=x)

Sannsynlighetstetthet - Def Fordelingsfunksjon For en stokastisk variabel X med fordelingsfunksjon F(x) definerer vi sannsynlighetstettheten til X som den deriverte av fordelingsfunksjonen: Til videre beregninger av sannsynligheter er det hensiktsmessig å definere hva vi kaller sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig stokastisk variabel X: Sannsynlighetstettheten til X er definert som den deriverte til fordelingsfunksjonen: f(x) = F'(x)

Sannsynlighetstetthet Fordelingsfunksjon F(x) Sannsynlighetstetthet f(x) x Fra forrige side her vi: F(x) = P(X<=x) f(x) = F'(x) Herav får vi at fordelingsfunksjonen F er integralet av f fra minus uendelig til x. Videre følger at integralet av f fra minus uendelig til pluss uendelig er lik 1. Sannsynligheten for at x ligger i et intervall<A,B] b. Analogt med diskrete variable er forventning og varians definert som henholdsvis integralet av xf(x) og integralet av (x-E(X))^2f(x) fra minus uendelig til pluss uendelig Forventning Varians

Eksempel - Rulettpil 5 - Kontinuerlig modell F(x) f(x) 1 1/10 10.0 x 10.0 x Sannsynlighet for treff mellom 2.5 og 7.0 Varians For vårt kontinuerlige rulettpil-spill med F(x) = 1/10*x og f(x) = F'(x) = 1/19 får vi sannsynligheten for at et treff gir en x-verdi i intervallet <2.5,7.0] som integralet av 1/10 fra 2.5 til 7.0. Videre får vi at forventning og varians blir henholdsvis 5.0 og 2.89^2. Forventning

Oppsummering Diskret / Kontinuerlig modell VX={x1, x2, …} Kontinuerlig VX=[a,b> x1 x2 ... a b 1 F(x) x1 x2 ... a b x Punktsannsynlighet Sannsynlighetstetthet f Figuren viser en oppsummering og en sammenligning av diskrete og kontinuerlige stokastiske variable. Diskrete stokastiske variable: - Diskret verdimengde - Grafen til fordelingsfunksjonen F er en trappefunksjon - Punktsannsynligheten vil grafisk være stolpediagram med sum høyde lik 1 - Uttrykkene for forventing og varians vil inneholde summering Kontinuerlige stokastiske variable: - Verdimengden vil typisk være et intevall - Grafen til fordelingsfunksjonen F er en kontinuerlig funksjon - Sannsynlighetstettheten vil grafisk være en funksjon med areal lik 1 - Uttrykkene for forventning og varians vil inneholde integraler

Oppsummering Diskret / Kontinuerlig modell Sammenligning diskret og kontinuerlig modell: Diskret - Kontinuerlig ----------------------------- Punktsannsynlighet P - Sannsynlighetstetthet f Fordelingsfunksjon som sum - Fordelingsfunksjon som integral Sannsynlighet for en hendelse som sum - Sannsynlighet for en hendelse som integral Sum av punktsannsynlighet = 1 - Integral av sannsynlighetstetthet lik 1 P som differens av F - f som derivert av F Forventning om sum - Forventning som integral Varians som sum - Varians som integral

END