Fourier

Transformation Car Hjem Bilverksted

Music - Digital Ren tone Reell tone Digitalisering Tabell Analog Digital Ren tone Reell tone Digitalisering Tabell FourierTransform Sammensetn av rene toner Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Integrasjon Derivasjon

Transformation Computing Rom 1 Rom 2 4 + 16 = 20 2 + 8 = 10 Transformasjon Newtons 2.lov står sentralt i fysikk. Loven lyder: F = ma . Loven sier følgende: Summen av alle ytre krefter som virker på et system er lik massen av systemet multiplisert med akselerasjonen til systemet. Hvis systemet har utstrekning, vil vi med akselerasjonen til systemet mene akselerasjonen til systemets massemiddelpunkt.

Transformation Computing - Logarithm Rom 1 y Rom 2 x 8 * 32 = 256 3 + 5 = 8 Transformasjon

Transformation Theory F(u) = T[f(x)] Transformasjon f(x) F(u) Room 1 Room 2 f(x) = T-1(F(u))

Transformation Theory Integral Transformation F(…) = T[f(…)] f(…) F(…) Room 1 Room 2 f(…) = T-1(F(…))

Transformation Theory Integral Transformation Wavelet - Laplace - Fourier Wavelet Laplace f(…) F(…) Fourier

Transformation-theory Transformasjon f(x) F(u) Fourier Laplace Wavelet

Definition of The Continuous Wavelet Transform CWT The continuous-time wavelet transform (CWT) of f(x) with respect to a wavelet (x): L2(R)

Wavelets Kreftsvulster Bomring Video-komprimering Fjerner lav-frekv. W Fjerner høy-frekv. W Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Kreftsvulster Bomring Video-komprimering

The Norwegian Radiumhospital Mammography

Mexican Hat - 3 Dim

Image processing III Wavelet-transformation

Original Compress 1:50 JPEG Wavelet

Ultrasound Image - Edge detection SINTEF – Unimed – Ultrasound - Trondheim - Ultrasound Images - Egde Detection - Noise Removal - Egde Sharpening - Edge Detection

Arthritis Measure of bone Morlet Arthritis Measure of bone External part External part E/I bone edge E/I bone edge

Wavelet Transform Morlet Wavelet - Non-visible Oscillation [1/2]

ECG

Seismic trace

Laplace transformasjon Diff./Integral.lign. Laplace transformasjon ’Ordinær’ ligning

Fourier Transformation Transformasjon f(x) F(u)

Continuous Fourier Transform Def The Fourier transform of a one-dimentional function f(x) The Inverse Fourier Transform Fourier Transformasjon f(x) F(u)

Continuous Fourier Transform Example - cos(2ft)

Signals and Fourier Transform Frequency Information FT FT Øverst vises funksjonen y1 = sin(w1*t), dvs en funksjon med en gitt frekvens w1. Den Fourier-transformerte funksjonen viser en enkelt topp svarende til denne ene frekvensen. I midten vises funksjonen y2 = sin(w2*t) med en gitt frekvens w2 hvor w2 > w1. Den Fourier-transformerte funksjonen viser en enkelt topp svarende til denne ene frekvensen, men vi ser at denne toppen er plassert lenger til høyre enn den toppen i den forrige Fourier-transformerte, svarende til at vi nå har en høyere frekvens. Nederst vises en funksjon y3 = sin(w1*t) + sin(w2*t), dvs en funksjon som inneholder to gitte frekvenser. Dette gjenspeiles i den Fourier-transformerte som to topper i diagrammet, de to toppene fra de to foregående Fourier-transformerte. FT

Stationary / Non-stationary signals FT Non stationary FT Øverst vises en funksjon y3 = sin(w1*t) + sin(w2*t), dvs en funksjon som inneholder to gitte frekvenser (samme som siste figur på foregående slide), samt den Fourier-transformerte som inneholder to topper svarende til de to frekvensene. Legg merke til at de to frekvensene opptrer samtidig hele tiden i tid-rommet. Nederst vises en grein-funksjon y4 hvor de to frekvensene ikke lengre opptrer samtidig i tid. Først opptrer frekvensen w1, deretter overtar frekvensen w2. Legg merke til at De to Fourier-transformerte funksjonene er like, dvs en Fourier-transformasjon kan plukke ut de enkelte frekvensene, men klarer ikke å plassere disse i tid. The stationary and the non-stationary signal both have the same FT. FT is not suitable to take care of non-stationary signals to give information about time.

Transient Signal Frequency Information Constant function in [-3,3]. Dominating frequency  = 0 and some freequency because of edges. Transient signal resulting in extra frequencies > 0. Narrower transient signal resulting in extra higher frequencies pushed away from origin.

Transient Signal No Information about Position Moving the transient part of the signal to a new position does not result in any change in the transformed signal. Conclusion: The Fourier transformation contains information of a transient part of a signal, but only the frequency not the position.

Signals and Fourier Transform Frequency Information FT FT FT Øverst vises funksjonen y1 = sin(w1*t), dvs en funksjon med en gitt frekvens w1. Den Fourier-transformerte funksjonen viser en enkelt topp svarende til denne ene frekvensen. I midten vises funksjonen y2 = sin(w2*t) med en gitt frekvens w2 hvor w2 > w1. Den Fourier-transformerte funksjonen viser en enkelt topp svarende til denne ene frekvensen, men vi ser at denne toppen er plassert lenger til høyre enn den toppen i den forrige Fourier-transformerte, svarende til at vi nå har en høyere frekvens. Nederst vises en funksjon y3 = sin(w1*t) + sin(w2*t), dvs en funksjon som inneholder to gitte frekvenser. Dette gjenspeiles i den Fourier-transformerte som to topper i diagrammet, de to toppene fra de to foregående Fourier-transformerte.

The Fourier Series Expansion an,bn coefficients Transformasjon f(x) f(x) F(u)

Pulse Train approximated by Fourier Serie f(x) square wave (T=2) N=1 N=2 N=10

Fourier Series Zig tag Zig tag approximated by Fourier Serie N = 1

Fourier Series Negative sinus function approximated by Fourier Serie N = 1 N = 2 N = 5 N = 10

Fourier Series Truncated sinus function approximated by Fourier Serie N = 1 N = 2 N = 5 N = 10

Fourier Series Line Line approximated by Fourier Serie N = 1 N = 2

Fourier Series Simulation

The Two-Dimensional DFT and Its Inverse Fourier Transformasjon f(x) F(u)

Fourier Sampling - Digitalisering Analog Digital Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier Sampling - Digitalisering Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier Sampling - Digitalisering Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier Sampling - Digitalisering Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier Anvendelse Svingninger Bølger Varmetransport Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. F(t) f(x) g(x) f(x) Disse funksjonene kan være kompliserte. Problemene kan løses vha Fourier

Fourier Motivasjon Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier Motivasjon - Eks 1 - Eksakt løsning Svingninger F = 4t Ytre påtrykt kraft k m Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier Motivasjon - Eks 1 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F = 4t Ytre påtrykt kraft k m Eksakt løsning 1 Løsning vha Fourier Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier Motivasjon - Eks 2 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Odde funksjon med periode 2L

Fourier Motivasjon - Eks 2 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m F 10 Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2 1 2 t -10 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier Motivasjon - Eks 2 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2 1 2 Hvis det finnes et ikke-null ledd i Fourier-rekken til F(t) med så vil dette leddet forårsake resonans. Grunnen er at ligningen mx’’ + kx = Bnsin0t har resonans-løsning: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Løsning:

Fourier Motivasjon - Eks 3 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F = 5t Ytre påtrykt kraft k m Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2L = 4 2 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier Motivasjon - Eks 4 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m cv Demping Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2L og skriver F(t) som en Fourier-rekke: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Løsningen finnes nå vha superposisjon:

Fourier Motivasjon - Eks 5 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m cv Demping Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2L = 2 og skriver F(t) som en Fourier-rekke: Løsningen finnes nå vha superposisjon: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier Transformation Transformasjon f(x) F(u)

Continuous Fourier Transform Def The Fourier transform of a one-dimentional function f(x) The Inverse Fourier Transform

Fourier-rekke Def f(t) Stykkevis kontinuerlig funksjon med periode 2L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier-rekke Eks 1 1 2 4 6 2L = 4 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier-rekke Eks 2 3 5 10 15 2L = 10 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier-rekke Eks 3 2 4 6 2L = 2 Alternativ form med c = 0 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier-rekke Even - Odd Def Symmetrisk om y-aksen Odd Symmetrisk om origo Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier-rekke Even Bevis Symmetrisk om y-aksen Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier-rekke Odd Bevis Symmetrisk om origo Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier-rekke Even - Odd Utvidelse - Def f(t) definert for 0 < t < L Even utvidelse med periode 2L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Odd utvidelse med periode 2L

Fourier-rekke Even - Odd Periodisk - Eks Periode 2L = 10 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Periode 2L = 2

Fourier-rekke Even - Odd Utvidelse - Eks Utvid f(t) = sint 0 < t <  til en Fourier cos serie Utvid f(t) = t 0 < t < 2 til en Fourier sin serie Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Utvid f(t) = t 0 < t < 2 og en Fourier cos serie

Fourier-rekke Pulstog - Odd 1 2 4 6 2L = 4 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Diff.lign. Innledning - Benyttes til å beskrive prosessendringer Typer av diff.lign. ODE Ordinære Endringer mht en enkelt variabel PDE Partielle Endringer mht flere variabler Newtons 2.lov Radioaktivitet Kvantefysikk SHM Varmetransport Bølger Elektrisk krets Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Diff.lign. Radioaktivitet Antall atomer som desintegrerer er proporsjonal med antall atomer som vi har i øyeblikket. N0 Antall atomer ved tiden t = 0 N Antall atomer ved tiden t N0 N N0/2 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.  t Halveringstid  : Tiden det tar før halvparten av atomene er desintegrert.

Diff.lign. Separabel Separabel: Oppsplitting slik at venstre side er en funksjon av kun y, høyre side er en funksjon av kun x. For en 1.ordens ordinær diff.lign. vil den generelle løsningen inneholde en vilkårlig konstant. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Diff.lign. Integrerende faktor Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Diff.lign. 2.ordens diff.lign. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Diff.lign. Oversikt Diff.lign. Lineær Ikke-lineær u1 og u2 løsninger  u = Au1 + Bu2 løsning Den generelle løsning inneholder alle løsninger En partikulær løsning er en spesiell løsning En løsning som ikke kan genereres fra den generelle løsningen kalles en singulær løsning ODE PDE Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. En generell løsning vil inneholde like mange vilkårlige konstanter som graden av diff.lign. En generell løsning vil inneholde like mange vilkårlige, uavhengige funksjoner som graden av diff.lign.

Part.diff.lign. Eks 1 - Bølgeligning Vis at er en løsning av den part.diff.lign. hvor Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part.diff.lign. Eks 2 - Varmeligning Vis at er en løsning av følgende initialverdiproblem: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part.diff.lign. Eks 3 - Varmeligning Løsning av følgende initialverdiproblem: (1) (2) (3) Mulige løsninger av (1) Generelt må vi forvente en superposisjon av uendelig mange ledd for å oppfylle inertialverdi-problemet Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Oppfyller (1) + (2) Oppfyller (1) + (2) + (3)

Part.diff.lign. Superposisjon av løsninger 1. u(x,t) 0 < x < L t > 0 Kontinuerlig og leddvis deriverbar 2. 3. u(x,t) 0  x  L t  0 Kontinuerlig u(x,t) Entydig løsning av initialverdi-problemet Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part.diff.lign. Eks 4 - Løsningsmetoder a) Løs ligningen: b) Finn en partikulær løsning som oppfyller: a) b) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part.diff.lign. Eks 5 - Separasjon av variable Løs initialverdiproblemet: vha separasjon av variable Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part. diff. lign. Svingeligning Generell løsning av 2. ordens diff Part.diff.lign. Svingeligning Generell løsning av 2.ordens diff.lign. m/konst. koeff. F Ytre påtrykt kraft k m cv Demping ax’’ + bx’ + cx = f(t) 0 < t < L x(0) = x(L) = 0 1. Finn den generelle løsning xc = c1x1 + c2x2 av den assosierte homogene diff.lign. 2. Finn en partikulær løsning xp av den inhomogene lign. 3. Bestem konstantene c1 og c2 slik at x = xc + xp tilfredsstiller randbetingelsene. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part.diff.lign. Svingeligning - Diff.lign. F Ytre påtrykt kraft k m cv Demping Newtons 2.lov anvendt på klossen (horisontalt) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part.diff.lign. Svingeligning - Fri, udempet svingning c = 0 F = 0 F Ytre påtrykt kraft k m cv Demping Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part.diff.lign. Svingeligning - Fri, dempet svingning F = 0 F Ytre påtrykt kraft k m cv Demping Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part.diff.lign. Svingeligning - Tvungen svingning F Ytre påtrykt kraft k m cv Demping Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Løsning av homogen ligning F = 0 Partikulær løsning Steady state

Part.diff.lign. Bølgeligning - SHM (x,y) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part.diff.lign. Bølgeligning - Utledning 1 F2y F2 (x,y) F F F1y F1 x x + x Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part.diff.lign. Bølgeligning - Utledning 2 T(x,t) (x,y) T(x0,t) x0 x 1 + yx T Ty yx Tx 1 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Heat Partiell derivasjon Fourier

Part.diff.lign. Varmeligning - Innledning Lengde L Temperatur Temperatur T1 T2 Tverrsnitt A Termisk konduktivitet K Varmeledning (energioverføring (varme)) pr tidsenhet H Proporsjonal med tverrsnitt A Proporsjonal med temperaturdifferens T1 – T2 Omvendt proporsjonal med lengden L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Fluks = Varmeledning pr areal

Part.diff.lign. Varmeligning - Fluks / Varme i x-retning C Masse m Tetthet  Spesifikk varmekapasitet c Temperatur u z H G z A(x,y,z) B y x x E y F Fluks Varme Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Netto varme inn i x-retning

Part.diff.lign. Varmeligning - Netto varme inn C Masse m Tetthet  Spesifikk varmekapasitet c Temperatur u z H G z A(x,y,z) B y x x E y F Netto varme inn i x-retning Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Netto varme inn

Part.diff.lign. Varmeligning - Formel C Masse m Tetthet  Spesifikk varmekapasitet c Temperatur u z H G z A(x,y,z) B y x x E y F Kalorimetri Netto varme inn Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Diffusivitet

Part.diff.lign. Varmeligning - Alternativ utledning Masse m Tetthet  Spesifikk varmekapasitet c Temperatur u z D y x Kalorimetri Energi Energi-endring Varme Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Varme-fluks over randen Divergens-teoremet

Diff.lign. - Fourier Anvendelse Svingninger Varmeledning Bølger Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. F(t) f(x) f(x) g(x) Disse funksjonene kan være kompliserte. Problemene kan løses vha Fourier

Diff.lign. Spesielle løsninger Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. cosh sinh cos sin

Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning F Ytre påtrykt kraft k m mx’’ + kx = F(t) 0 < t < L x(0) = x(L) = 0 Generell løsning x(t) = x0 + xp Fourierutvikling av F Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Fourierutvikling av x Fouriersinusutvikling ivaretar tilleggsbetingelsene x(0)=x(L)=0

Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 01 - Eksakt løsning F Ytre påtrykt kraft k m x’’ + 4x = 4t 0 < t < 1 x(0) = x(1) = 0 Løsning av homogen ligning: Generell løsning: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Partikulær løsning:

Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 01 - Løsning vha Fourier F Ytre påtrykt kraft k m x’’ + 4x = 4t 0 < t < 1 x(0) = x(1) = 0 Fouriersinusutvikling av F(t) = 4t Fouriersinusutvikling av x(t) 2L = 2 Innsatt i diff.lign. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Løsning

Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 01 - Oppsummering F Ytre påtrykt kraft k m x’’ + 4x = 4t 0 < t < 1 x(0) = x(1) = 0 Eksakt løsning Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Fourierløsning

Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 02 - Løsning vha Fourier F Ytre påtrykt kraft +10 0<t<1 Odde periodisk 2x’’ + 32x = F(t) F(t) = med periode 2 -10 1<t<2 k m Fouriersinusutvikling av F(t) Fouriersinusutvikling av x(t) Innsatt i diff.lign. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Løsning

Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Resonans F Ytre påtrykt kraft mx’’ + kx = F(t) k m Diff.lign. Det finnes et ledd nr N i Fourierrekken til F som svarer til systemets egenfrekvens 0 Diff.lign. når F har samme frekvens som systemets egenfrekvens 0 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Løsning når F har samme frekvens som systemets egenfrekvens 0 |x(t)|   pga faktoren t Løsning når F har ett ledd med samme frekvens som systemets egenfrekvens 0

Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 03 - Resonans F Ytre påtrykt kraft 2x’’ + 32x = F(t) Odde periodisk k m Ingen ren resonans Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Ren resonans

Part.diff.lign. Svingeligning - Ingen dempning Eks 04 - Tilnærmet resonans F Ytre påtrykt kraft k m x’’ + 10x = F(t) F(t) = 5t -2<t<2 med periode 2L = 4 Fouriersinusutvikling av F(t) Fouriersinusutvikling av x(t) Innsatt i diff.lign. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Løsning Stor amplitude

Part.diff.lign. Svingeligning - Dempning F Ytre påtrykt kraft k m mx’’ + cx’ + kx = F(t) Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. Hvis ytre påtrykt kraft er periodisk med kun en frekvens, vil systemet etter hvert påtvinges denne ytre påtrykte frekvensen.

Part.diff.lign. Svingeligning - Dempning Eks 05 F Ytre påtrykt kraft k m 3x’’ + 0.02x’ + 27x = F(t) F(t) = t-t2 Odde periodisk 2 Fouriersinusutvikling av F(t) Superposisjon Ledd nr 2 dominerer pga tilnærmet samme frekvens som det udempede systemets egenfrekvens. Systemets frekvens er 3 ganger ’frekvens’ til ytre påtrykt kraft. Løsning Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part. diff. lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part. diff Part.diff.lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 1 Lengde L Bestem temperaturen u i staven som funksjon av posisjonen x og tiden t x = 0 x = L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part. diff. lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part. diff Part.diff.lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 2 Lengde L Bestem temperaturen u i staven som funksjon av posisjonen x og tiden t x = 0 x = L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part. diff. lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part. diff Part.diff.lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 3 Egenverdi-problem med ikke-trivielle løsninger Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. cosh sinh cos sin

Part. diff. lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part. diff Part.diff.lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 4 Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part. diff. lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part. diff Part.diff.lign. Varmetransport i en stav - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 5 Lengde L Bestem temperaturen u i staven som funksjon av posisjonen x og tiden t x = 0 x = L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part.diff.lign. Varmetransport i en stav - Eks 1 [1/2] Lengde L x = 0 x = L En jernstav (k = 0.15 cm2/s) med lengde = 50 cm holdes i vanndamp inntil temperaturen i hele staven er 100 0C. Ved tiden t = 0 isoleres overflaten og de to endepunktene omgis av is med temperatur 0 0C. Bestem temperaturen i stavens midtpunkt etter en halv time. Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part.diff.lign. Varmetransport i en stav - Eks 1 [2/2] Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Fourier Heat Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part. diff. lign. Bølgeligning - Løsning av part. diff. lign Part.diff.lign. Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 1 Bestem bølgeutslaget i strengen som funksjon av posisjonen x og tiden t x = 0 x = L Problem A: Problem B: Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part. diff. lign. Bølgeligning - Løsning av part. diff. lign Part.diff.lign. Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 2 Problem A Bestem bølgeutslaget i strengen som funksjon av posisjonen x og tiden t x = 0 x = L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part. diff. lign. Bølgeligning - Løsning av part. diff. lign Part.diff.lign. Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 3 Problem A Egenverdi-problem med ikke-trivielle løsninger Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast. cosh sinh cos sin

Part. diff. lign. Bølgeligning - Løsning av part. diff. lign Part.diff.lign. Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 4 Problem A Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part. diff. lign. Bølgeligning - Løsning av part. diff. lign Part.diff.lign. Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 5 Problem A - Eks Bestem bølgeutslaget i strengen som funksjon av posisjonen x og tiden t x = 0 x = L/2 x = L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part. diff. lign. Bølgeligning - Løsning av part. diff. lign Part.diff.lign. Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 6 Problem B Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

Part. diff. lign. Bølgeligning - Løsning av part. diff. lign Part.diff.lign. Bølgeligning - Løsning av part.diff.lign. m/Fourier - 7 Problem B - Eks Bestem bølgeutslaget i strengen som funksjon av posisjonen x og tiden t x = 0 x = L Studier av svingninger (spesielt resonans) for å hindre at f.eks. bruer kollapser under påvirkning av vindkast.

END