Oppgave 1: Terningsutfall På en kubisk terning er det 1/6 sannsynlighet for hver type utfall fra 1 til 6. Ved to terninger, er utfallene antatt uavhengig. Hva er sannsynligheten for å få et spesifikt utfall på to terninger, f.eks. sannsynligheten for å få 5 på første terning og 2 på andre? Hva blir da sannsynligheten for å få sum=2 på de to terningene? Gjenta for sum=3, sum=4, sum=5, sum=6 , sum=7, sum=8. Hva er sannsynligheten for å få sum<=4? Hva er sannsynligheten for to like? Hva er sannsynligheten for å få to like og sum<=4? Hva er sannsynligheten for enten å få sum<=4 eller to like terninger? Du kan bruke svaret fra c, d og e. Både fra regelen for betinget sannsynlighet og fra listen av utfall der sum<=4, hva blir sannsynligheten for to like gitt sum<=4? Regn ut sannsynligheten for sum<=4 gitt to like, både fra liste av mulige utfall og fra Bayes formel.

Oppgave 2 – betingete sannsynligheter Hobbitun-rådet har avgjort at man skal ekspandere hobbit-landen vestover. Dessverre viser det seg at landene vestover er infisert av drager! Av de 10kmx10km arealene som er studert så langt, var 70% av dem drage-infisert. En standard-protokoll for område-undersøkelse ble lagt. Et standardisert testområde av mindre størrelse, inne i området man undersøker, blir finkjemmet av feltbiologer. Hobbitun biologiske avdeling har funnet at sannsynligheten for å finne drager i et testområde hvis området det er i er infisert av drager, er 50% Hvis det ikke er noen drage i området, blir det selvfølgelig ingen deteksjon i testområdet. Hobbit Dragon No dragons Here be dragons ? ?

Drager i området Drager i området Drager i området Oppgave 2 forts. Modell: Områdets drage-status (L)  Sanns. for drage detektert i testområde (D) Hva er (marginal) sannsynlighet for å finne en drage, hvis du ikke vet om området er infisert eller ikke? (Hint: Loven om total sannsynlighet) Vis med Bayes formel at sannsynligheten for å at et område er infisert av drager, gitt at du fant en drage i testområdet, er 100%. Finn sannsynligheten for at det er drager i området gitt at du ikke fant noen. Kunne du forvente at sannsynligheten minsket fra originalsannsynligheten (70%) selv uten å vite deteksjons-sannsynligheten? eller Drager i området Ingen drager Drager funnet Drager funnet og er i området Drager i området Drager i området Ingen drager Drager funnet Ingen drager

Oppgave 3: På Blindern er det slik at det er 33.9% sjanse for at det regner en dag, hvis det regnet gårsdagen, og 12.9% sjanse for at det regner en dag hvis det ikke regnet gårsdagen. PS: Antar stasjonaritet, altså at alle sannsynligheter er de samme uavhengig av tidspunkt, under de samme forutsetningene. Hva er sannsynligheten for at det regner en tilfeldig dag? (I.e. hva er marginalsannsynligheten for regn?) Tips: P(regn i dag)=P(regn i dag og regn i går)+P(regn i dag men ikke i går). Hvorfor er sjansen for at det regnet i går gitt at det regner i dag også 33.9%? (Tips: Bayes formel)

Ekstraoppgave 1 Skal teste store talls lov og sentralgrenseteoremet Kode finner du her: http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/storetallslov.R Trekk n=10000 ganger fra Poisson-fordelingen med forventingsverdi =0.3. Beregn så gjennomsnittet og se hvor mye eller lite det avviker fra forventningsverdien og gjenta et par ganger. Hvorfor blir resultatene som de blir? Se på histogrammet og sammenlign med sannsynlighetsfordelingen. Skal nå se på fordelingen til snittet av n=10000 trekninger fra Poisson-fordelingen. Trekk N=1000 slike snitt. Se på histogram og sammenlign med normalfordelingen som er det sentralgrense-teoremet sier snittfordelingen skal begynne å ligne på. Sjekk også kumulativt histogram vs kumulativ fordeling. Sjekk QQ-plott. Hva skjer hvis snittet er over et fåtall trekninger, n=10. Øk N til 100000. Er det da en merkbar forskjell på snittet og normalfordelingen?

Denne koden skal gi svar på følgende: Oppgave 4: Utfør R-koden på http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/hoelen1.R Denne koden skal gi svar på følgende: Ta en titt på årsvannføringer (snitt) fra Hølen. Se på histogram sammen med en normalfordeling med samme snitt (forventing) og varians som data (momentestimat). Se om dataene ser noenlunde normalfordelt ut. Gjør et QQ-plott for også å sjekke data mot normalfordelingen. Gjør det samme som i b og c, men bruk lognormalfordelingen i stedet, der log-snitt og log-varians er den samme som i data (log-moment-estimat). Gjenta b-d for døgnvannføring også (finnes på http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/TrendDognHoelen.txt). Hvis konklusjonene blir litt ulike, hva er grunnen?

Oppgave 5: Er forventingsverdien til årsvannføringer fra Hølen 10m3/s? http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/hoelen2.R Estimer forventningsverdien. Sjekk om forventingen er 10m3/s ved en t-test (tar hensyn til usikkerheten i estimert varians). Bruk gjerne 5% signifikansnivå (konfidens 95%). Vis data sammen med konfidensintervallet. Er det en bekymring at såpass masse års-snitt ligger utenfor konfidensintervallet? Er det 95% sannsynlighet for at egentlig forventingsverdi ligger innefor det spesifikke konfidensintervallet? Kunne vi gjort a-c for døgndata også? Skal nå foreta samme analyse der vi bruker lognormal-fordelingen hellers enn normalfordelingen. Kjør en bootstrap-analyse som angir 95% konfidensintervall. Hva sier dette om antagelsen forventing=10m3/s?

Oppgave 6: Forveningsverdien til årsvannføringer fra Hølen – Bayesiansk analyse http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/hoelen3.R Antar at data er normalfordelt. Har en vag men informativ prior for vannførings-forventningen, 0==10, se slide 17-18. Antar vi kjenner =2.83. Minner om formlene når alt er normalt: Likelihood: A’ priorifordeling, velger: A’ posteriori-fordeling: Hvordan blir a’ posteriorifordelingen i dette tilfelle? Estimer vannførings-forventningen fra dette. Er dette veldig forskjellig fra det du fikk i oppgave 5a? Lag et 95% troverdighetsintervall for vannførings-forventningen (Tips: 95% av sannsynlighetsmassen befinner seg innenfor +/-1.96 standardavvik fra forventningsverdien i en normalfordeling). Ble dette mye forskjellig fra 5b? Kan du fra dette konkludere noe angående antagelsen vannførings-forventning=10m3/s.

Oppgave 6 –forts: Forveningsverdien til årsvannføringer fra Hølen – Bayesiansk analyse http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/hoelen3.R Antar at data er normalfordelt. Har en vag men informativ prior for vannførings-forventningen, 0==10, se slide 17-18. Antar vi kjenner =2.83. Marginal sanns.tetthet: c) Skal nå teste antagelsen vannførings-forventning=10m3/s Bayesiansk. Sammenlign marginalsannsynlighetstettheten for de data vi fikk vs sannsynlighetstettheten når =10. Hva antyder dette? d) Skal nå bruke resultatet fra c til å regne på modellsannsynligheter. Modell 0 har =10 mens modell 1 er slik som spesifisert ovenfor. Bruk og anta at a’ priori-sannsynligheten for hver modell er 50%. Hva blir konklusjonen? e) Lag et plott over marginalfordelingen gitt ulike utfall og sammenlign med sannsynlighetstettheten nå =10 (likelihood under modell 0). Hva sier dette om hvilke utfall som ville være evidens for modell 0 og 1?

Oppgave 7: Bayesiansk gjentaksanalyse for bestemt nivå i kontinuerlig tid. Skal se på faren for å overgå en spesifikk vannførings-verdi. Antar slike hendelser foregår uavhengig i tid. Altså at antall hendelser innefor en tidsperiode er Poisson-fordelt. Bruker gjentaks-intervall, T, som parameter i denne fordelingen. Da får vi Antar invers-gamma-fordeling (siden det er matematisk behagelig å gjøre det) for gjentaksintervallet Får da at marginalfordelingen blir: (dette er den såkalte negativ binomiske fordelingen).

Oppgave 7 (forts. ): Kode finnes på http://folk. uio Stasjonen Gryta har hatt vannføring>1.5m3/s y=27 ganger i løpet av t=44 år. Plott a’ priori-fordeling og marginalfordeling hvis du bruker ==1 som førkunnskap. Hva blir det generelle uttrykket for a’ posteriori-fordelingen til T? Plott den for Gryta for ==1 sammen med a’ priori-fordelingen. Forsøk også ==0.5 og til og med ==0 (ikke-informativt) . Ble det noen stor forskjell i a’ posteriori-fordelingen? Sammenlign med klassisk estimat: TML=t/y=1.63 år. Kan du finne prediksjons-fordelingen til antall nye flommer på Gryta de neste hundre år? Plott i så tilfelle denne. Sammenlign med Poisson-fordeling hvis man tar ML-parameteren for gitt. Hvorfor er sistnevnte fordeling skarpere enn den Bayesianske prediksjonsfordelingen? Kjør en enkel MCMC-algoritme fra a’ posteriori-fordelingen. Se etter når trekningen stabiliserer seg (burn-in) og hvor mange trekninger som trenges før du få en trekning som er ca. uavhengig (spacing). Hent 1000 uavhengige trekninger etter burn-in. Sammenlign med teoretisk a’ posteriori-fordeling (histogram og qq-plott). Foreta ny MCMC-trekning men bruk nå a’ priori som er f(T)=lognormal(=0,=2). (Dette kan ikke løses analytisk). Sammenlign med de trekningene du fikk i d.

Oppgave 8: Ekstremverdi-analyse på Bulken (rundt 120 år med data). Kode: http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/bulken_ekstrem.R Data: : http://folk.uio.no/trondr/nvekurs/bulken_max.txt Skal bruke Gumbel-fordelingen som fordelings-kandidat her: Foreta et ekstremplott, det vil si sorter vannføringene og plott dem mot estimert gjentakintervall der n er antall år og i er en løpe-indeks fra n til 1. Foreta en ekstremverditilpasning via første to l-momenter, 1 og 2. Sammenlign med det du får fra DAGUT. Parameterne forholder seg til l-momentene som = 2/log(29, = 1-0.57721. Estimater for 1 og 2 fås som Plott flomstørrelse som funksjon av gjentaksintervall gitt l-moment-estimatene sammen med data (a). Foreta ML-estimering av parameterne. Plott flomstørrelse som funksjon av gjentaksintervall gitt ML-estimatene. (Obs: hvis dette blir for mystisk, slutt her.) Foreta Bayesiansk analyse med flat prior. Foreta 1000 MCMC-trekninger (burnin=1000, spacing=1000). Sammenlign. Bruk også prediksjonsfordelingen (altså der du tar parameterusikkerheten med i betraktningen) til å foreta samme plott som i a, c og e. Sorterte data

Oppgave 9: Sjekk om årsmiddel-data for stasjon Hølen har en lineær tidstrend. Kode: http://folk.uio.no/trondr/statkurs/hoelen_detrend.R Tilpass en lineær regresjon til årsmiddel-dataene og tolk resultatet. Plott data og tilpasning. Ser det rimelig ut? De-trend data’ene, d.v.s. fjern den lineære trenden. Se på residualene, og vurder om forutsetningene for regresjonen var tilfredstilte. Ekstra: Se på samme tilpasning når vi ser på log-vannføring hellers enn vannføring.

Oppgave 10: Se på sesong-trenden til døgnmiddel-data for stasjon Hølen. Kode: http://folk.uio.no/trondr/statkurs/hoelen_sesong.R Tilpass en multilineær regresjon av døgnmiddel-dataene mot tid pluss 4 sett trigonometriske funksjoner (sinus og cosinus) og tolk resultatet. Plott data og tilpasning. Ser det rimelig ut? Se på residualene, og vurder om forutsetningene for regresjonen var tilfredstilte. Gjenta etter log-transform av vannføringene. Ble det bedre?

Kode: http://folk.uio.no/trondr/statkurs/gryta.R Oppgave 11: Skal kjøre power-law-regresjon av vannstand mot vannføring for vannføringsmålinger på Gryta (altså lineær regresjon på log-skala). Kode: http://folk.uio.no/trondr/statkurs/gryta.R Plott data, både på original-skala og log-skala Kjør en lineær regresjon av log-vannføring mot log-vannstand. Fortolk resultatet. Er det en signifikant sammenheng? Hva blir formelen for vannføring vs vannstand? Plott dette. Sjekk om det er noe galt med residualene (trend eller ikke normalfordelt) Ekstra: Gjør lineærtilpasning på original-skala og se hvordan denne tilpasningen er også. (PS: R-kode ikke lagd).

Kode: http://folk.uio.no/trondr/statkurs/gryta2.R Oppgave 12: Skal kjøre power-law-regresjon av vannstand mot vannføring for vannføringsmålinger på Gryta (altså lineær regresjon på log-skala), men nå med ukjent bunnvannstand, h0. Kode: http://folk.uio.no/trondr/statkurs/gryta2.R Kjør en lineær regresjon for et sett av kandidat-verdier for h0. Se på likelihood som en funksjon av kandidatverdiene. Hva blir beste estimat for h0? Ekstra (kode ikke med): En test kalt likelihood-ratio-testen sier at en null-hypotese blir forkastet med 95% konfidens når (lfull-l0)>1.92 (NB: for en parameter). Test om h0=0.

Oppgave 13: Skal nå kjøre ARMA-tilpasning av døgndata fra Hølen. Kode: http://folk.uio.no/trondr/statkurs/hoelen_arima.R Plott data De-trend (fjern lineær tids-trend og sesonvariasjon). Se på autokorrelsjon (og partiell autokorrelasjon). Tilpass en AR(1)-modell (PS: pacf antyder at AR(2) er bedre). Se om estimert parameter er lik noe du så i 13c. Lag analytiske plott av residualene. Hva sier de? Forsøk så med en ARMA(1,1)-modell. Se igjen på residualene. Hva sier de nå?