Anvendelse av den deriverte --- ekstremalverdier Definisjon La f være en funksjon med definisjonsområde D. f(c) vil være absolutt maksimum på D hvis f(x)<=f(c) for alle x i D absolutt minimum på D hvis f(x)>=f(c) for alle x i D Absolutte maksimalverdier kalles også globale maksimalverdier Lokale maksima eller minima er ekstremalverdier i et område

Teorem 2 Hvis f har et lokalt ekstremalpunkt i et indre punkt c i sitt definisjonsområde er enten f`(c) = 0 f`(c) eksisterer ikke Et ekstremalpunkt kan også være i enden av definisjonsområdet Et slikt punkt kalles et kritisk punkt La c være et indre punkt i definisjonsområdet, D til f. I et åpent intervall rundt x=c vil f(c) være et lokalt maksimumsverdi hvis f(c)>=f(x) lokalt minimumsverdi hvis f(c)<=f(x)

------------------------------------------- 3.2 Middelverditeoremet Teorem 3 – Rolls teorem Anta at y=f(x) er kontinuerlig i [a,b] og deriverbar i (a,b). Hvis f(a)=f(b)=0. Da er det minst et tall c i (a,b) hvor f`(c)=0 ------------------------------------------- Teorem 4 – Middelverditeoremet Anta at y=f(x) er kontinuerlig i [a,b] og deriverbar i (a,b). Da er det minst et punkt c i (a,b) hvor Hvis f`(x)=0 i alle pkt i (a,b), da er f(x)=C Hvis f`(x)=g`(x) vil f(x)=g(x)+C

Eksempel middelverdisetn Finn f(x) når f`(x)=sinx og grafen passerer gjennom (0,2). f har samme derivert som g`(x)= sinx og g(x)=-cosx da er f(x)=-cosx+C f(0)=2 -cos0+C=2  C=3 f(x)=-cosx+3

f er kontinuerlig i [a,b] og deriverbar i i (a,b) 3.3 Funksjonsdrøfting f er kontinuerlig i [a,b] og deriverbar i i (a,b) Hvis f`(x)>0 i hvert punkt på (a,b) så er f stigende på [a,b] Hvis f`(x)<0 i hvert punkt på (a,b) så er f synkende på [a,b] Første derivert testen for lokale ekstremalverdier f har lokalt minimum når f`endres fra negativt til positivt f har lokalt maksimum når f`endres fra positiv til negativ f har ingen lokal ekstremalverdi hvis f`har samme tegn på begge sider av c

f er deriverbar. Da er på et intervall I, når 3.3 Funksjonsdrøfting II Konkavitet f er deriverbar. Da er på et intervall I, når f`øker på I, kurven konkav oppover f`synker på I, kurven konkav nedover Annen derivert testen Grafen til en 2. ganger deriverbar funksjon y=f(x) konkav oppover når y``>0 konkav nedover når y``<0 Vendepunkt – point of inflection Et punkt hvor grafen til en funksjon har en tangent og hvor konkavitet endre er et vendepunkt

3.3 Funksjonsdrøfting - III Annen derivert testen lokale ekstremalverdier Hvis f`(c)=0 og f``(c)<0, da har f et lokalt maks for x=c Hvis f`(c)=0 og f``(c)>0, da har f et lokalt min for x= c Kan ikke si noe hvis f`` =0 i c, eller hvis den ikke eksisterer

3.6 Lineærisering Tangent til y=f(x) i punktet a hvor f(x) er deriverbar passerer gjennom punktet (a, f(a)). Tangentlinja blir y-f(a)= f`(a)(x-a) eller y=f(a)+ f`(a)(x-a) Tangentlinja er graf til den lineære funksjonen L(x) = f(a)+ f`(a)(x-a) I et intervall rundt x=a er L(x) tilnærmet lik f(x). Dette kalles lineærisering av f(x) ved a

3.6 Differensial La y=f(x) være deriverbar. Differensialet dx er en uavhengig variabel. Differensialet dy er dy=f`(x)dx Differensialet kan gi et anslag over endring i funksjonsverdi La f(x) være deriverbar i x=a. En tilnærmet endring i funksjonsverdien f når x endres fra a til a+dx blir df=f`(a)dx Virkelig Anslått Absolutt endring Δf=f(a+dx)-f(a) df=f`(a)dx Relativ endring Δf/f(a) df/f(a) Prosentvis endring Δf/f(a) *100 df/f(a) *100