Mean-Variance Analysis continued Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Context of risk-return portfolio optimization Implementation performance Dynamics New information risk Market data Statistical processing TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Hovedpunkter Utvidelse av standard modellen Begrensninger for størrelse på handel, lån og transaksjonskostnader Formulere faktor-modeller TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Risikofrie lån Short salg ikke tillatt, men lov å låne til risikofri rente Lånebeløp: , Forventet utbytte: Varians: uendret fordi lånerenten er risikofri TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Risikofrie lån til ulike rentesatser Kan låne til renten for beløp opp til Rente for beløp opp til Lånebeløp Restriksjoner: Forventet utbytte:  over null kun når TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Størrelse på posisjoner, transaksjonskostnader Mange små posisjoner uønsket fordi Mange posisjoner  høyere transaksjons-kostnader når porteføljen reviseres Mer omfattende overvåkning  høyere driftskostnader TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Max-grense for antall aktiva i porteføljen, min-grense på posisjonsstørrelser Begrenser antall aktiva i porteføljen til κ Minste beholdning av aktiva (hvis ikke null): Mean-variance-efficient portfolios with trading size limits: Min s.t. for alle i=1,…,n TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Transaksjonskostnader Effektivt forventet utbytte = Forventet utbytte – kostnader For små transaksjoner: skalafordel konkav trans.kost.funksjon For store transaksjoner: innlikviditetskostnadene øker  konveks Tilnærminger: Trans.kostnader prop. med trans.størrelse Konstante trans.kostnad inntil en viss mengde, deretter lineær TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Lineær kostnadsfunksjon C0 Konstant kostnad for mengder opp til Forventet utbytte: TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Konstant for små transaksjoner, lineær for store transaksjoner C0: Konstant kostnad for størrelser opp til C1: Prop. kostnader for større transaksjoner transaksjoner opp til transaksjoner over hvis aktiva i er inkludert med fast kostnad C0 ellers TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Konstant for små transaksjoner, lineær for store transaksjoner (forts.) Forventet utbytte: Restriksjoner: TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Mean-variance efficient portfolio with transaction costs Min s.t. TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Portefølje revisjon Porteføljeoptimering innebærer ofte revisjon av en eksisterende portefølje. Dette involverer både kjøp og salg, og transakjsonskostnader må taes med. Den gjeldende kost funksjonen er symmetrisk om x0. TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Portefølje rev., restriksjoner Restriksjoner på handelsstørrelse tar formen zero-or-range. Dvs. enten skjer det ingen trading eller så skjer den ved enten kjøp eller salg. Restriksjonsområdene er gitt ved og For å modellere disse restriksjonene introduserer vi to ikke-negative variabler y+1 og y-1 for kjøp og salg av aktiva i, slik at vi får xi = x0i + y+i – y-i TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Introduserer også to binærvariabler som følger: Zsi = 1 hvis eksponeringen av aktiva i blir redusert gjennom salg, 0 ellers Zpi = 1 hvis eksponeringen av aktiva i øker gjennom kjøp, 0 ellers Ved revisjon blir det ofte også brukt en restriksjon på total endring i antall aktiva kalt portfolio turnover Denne restriksjonen blir ilagt det totale kjøpet og ser slik ut: TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Mean-variance efficient portfolio revision Minimize subject to }for alle i TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

3.4 Factor models of return Implementasjon av mean-variance optimeringsmodeller krever estimat av vektorerne for middelverdi og varians og kovariansmatrisen Krever ofte veldig mange parametere. Eksempel: Et kapitalforvaltnigsproblem hos S&P500 krever estimering av 1000 forventede avkastninger og 124750 kovarianser. TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Factor models, forts. Skal her se på både en-faktor og multi-faktor modeller En-faktor modellen kom først og er forløperen til CAPM Multi-faktor modellen førte etter hvert til Arbitrage Pricing Theory TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management 3.4.1 En-faktor modellen Avkastningen på det i’te verdipapiret er relatert til den enkle faktoren gjennom den lineære relasjonen: Variansen er gitt ved σ2M og er normalfordelt med middelverdi 0 og varianse σ2εi rM er avkastningen fra en markedsindeks TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Sensitiviteten til avkastningen er gitt med β, som kalles factor loading Følgende antagelser ligger til grunn: Kovariansen mellom det security specific restuttrykket og faktoren er 0, dvs. for alle i. Kovariansen for restuttrykket er 0, dvs. for alle i ≠ i’. Ved å bruke denne e-faktor modellen kan vi nå utlede parameterene som trengs i mean-variance modellen. TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Forventet avkastning fra verdipapiret: Variansen til det i’te verdipapiret er gitt ved: Setter inn ri fra faktor modellen og får: TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Kovariansen mellom verdipapir i og i’ er gitt ved: Setter inn ri fra faktor modellen og får Av forutsetningene er de 3 siste leddene lik 0 TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Mean-variance optimization with single-factor models Bruker resultatene fra det vi har gjort hittil til å lage en modell for effektive porteføljer. Forventet avkastning blir: TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management Porteføljevariansen blir: Her er antallet parametere 3n+2, som er mye mindre enn dersom vi hadde regnet direkte med kovarians matrisen. TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Mean-variance efficient portfolios with single factor models Minimize subject to TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Systematisk og ikke-systematisk risiko Skriver variansen som: Snur om og får: TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

Systematisk og ikke-systematisk risiko Porteføljebetaen βp reflekterer sensitiviteten av avkastningen mot faktoren. Dette medfører at ved store antall investeringer i porteføljen vil den ikke-systematiske risikoen kunne diversifiseres bort. TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management

En-faktor modeller og CAPM Dersom vi skriver en-faktor modellen som en lineær relasjon mellom avkastningen som er større enn markedsfaktoren og overskuddet mellom markedsfaktoren og den risikofrie faktoren og fjerner restleddet ε får vi: Noe som er identisk med CAPM bortsett fra αi som, ifølge CAPM, skal være lik 0. TIØ4317 Empirical Finance: Financial Optimization and Risk Management