TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-Variance Analysis.

Presentasjon om: "TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-Variance Analysis."— Utskrift av presentasjonen:

1 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-Variance Analysis

2 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Hovedpunkter Studere (performance) for porteføljer med hensyn på utbytte (forventet profitt) og risiko (varians) Formulere klassisk kvadratisk programmeringsmodell Begrensninger for størrelse på handel, lån og transaksjonskostnader Formulere faktor-modeller

3 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management 3.2 Mean-Variance Optimering Markowitz 1952 Trade-off mellom porteføljens utbytte og risiko Basis for mange risk management verktøy brukt i dag Mean-Variance analyse som –positivt verktøy: Støtter hypotese om hvordan finansielle markeder eller inverstorer oppfører seg. Eksempel: CAPM –normativt verktøy: Beslutningsstøtte, konstruksjon av effektive porteføljer

4 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Effektiv portefølje Maximalt forventet utbytte gitt en øvre begrensning for risiko eller Minimal risiko for et gitt forventet utbytte

5 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management 3.2.1 Kanonisk formulering Bestem optimal proporsjonal allokering xi for aktiva nr. i hvor slik at krav for effektiv portefølje er tilfredsstilt Forventet utbytte for portefølje: Varians: Matriseform:

6 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Maksimer forventet utbytte Max s.t. ω: øvre grense for risiko Ikke-lineær restriksjon  vanskelig å løse

7 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Minimer varians Min s.t. μ: nedre restriksjon for forventet utbytte Lineære restriksjoner

8 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Minimer varians (forts.) Analytisk løsning ved kvadratisk programmering: Lagrange-multiplikator for restriksjon for forventet utbytte Lagrange-multiplikator for normaliseringsskranken Variering av μ tilsvarer generering av ulike porteføljer

9 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Minimer varians (forts.) Efficient frontier: Porteføljen med lavest varians: Global minimum variance portfolio

10 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Minimering av varians ved risikofritt aktiva Min s.t. x f : beholdning av risikofritt aktiva Analytisk løsning:

11 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Minimering av varians ved risikofritt aktiva One-fund Theorem: Når det finnes et risikofritt aktiva i mengden av mulige investeringsmuligheter, vil enhver effektiv portefølje bli representert ved en kombinasjon av det risikofrie aktiva og en enste portefølje T med risiko Portefølje T: Tangency portfolio Efficient frontier utvides med et lineært segment, stigningstall (Sharpe ratio)

12 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Efficient frontier Multi-objective nonlinear program: Målfunksjon er vektet kombinasjon av utbytte og risiko Min s.t. λ: Vekting av risiko. For hver verdi av λ finnes en optimal portefølje X: Mengde av lovlige løsninger

13 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Generelle formuleringer Eksplisitte forutsetninger for generering av mean- variance efficient frontiers: –Investorer vurderer kun forventet utbytte og varians for porteføljen –Investorer velger porteføljen med lavest mulig varians for et gitt utbytte –Investeringen skjer over en periode, som tilsvarer risikohorisonten til modellen Implisitte forutsetninger i den kanoniske modellen: –Investorer kan selge short –Investorenes beslutninger påvirker ikke markedspris, og likviditetsrisiko fanges ikke opp –Investeringer i deler av aksjer mulig –Ingen transaksjonskostnader/skatter

14 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Restriksjon på short sale Short salg ekskludert ved å kun tillate positive posisjoner for alle i. Uten short salg: Mange variabler settes til null Maximum grense for investert beløp i én aktiva for alle i : vektor for øvre grenser –Feil i estimering av utfall og kovarianser  porteføljen trekkes mot overestimerte aktiva. Max restriksjon minsker denne feilen –Markedspriser påvirkes i større grad ved trading av store posisjoner

15 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Generelle restriksjoner Politiske/ regulatoriske krav begrenser investeringen i spesielle sett av aktiva. Eks: –Begrense kreditt- og valutarisiko –Begrense likviditetsrisiko i små markeder Beskrives vha lineære restriksjoner på formen evt. eller = for risikokategorier j = 1,...,K = hvis aktiva i ikke tilhører risikokategori j hvis aktiva i tilhører risikokategori j

16 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Risikofrie lån Short salg ikke tillatt, men lov å låne til risikofri rente Lånebeløp:, Forventet utbytte: Varians: uendret fordi lånerenten er risikofri

17 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Risikofrie lån til ulike rentesatser Kan låne til renten for beløp opp til Rente for beløp opp til Lånebeløp Restriksjoner: Forventet utbytte:  over null kun når

18 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Størrelse på posisjoner, transaksjonskostnader Mange små posisjoner uønsket fordi –Mange posisjoner  høyere transaksjons- kostnader når porteføljen reviseres –Mer omfattende overvåkning  høyere driftskostnader

19 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Max-grense for antall aktiva i porteføljen, min-grense på posisjonsstørrelser Begrenser antall aktiva i porteføljen til κ Minste beholdning av aktiva (hvis ikke null): Mean-variance-efficient portfolios with trading size limits: Min s.t. for alle i=1,…,n

20 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Transaksjonskostnader Effektivt forventet utbytte = Forventet utbytte – kostnader For små transaksjoner: skalafordel  konkav trans.kost.funksjon For store transaksjoner: innlikviditetskostnadene øker  konveks Tilnærminger: –Trans.kostnader prop. med trans.størrelse –Konstante trans.kostnad inntil en viss mengde, deretter lineær

21 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Lineær kostnadsfunksjon C 0 Konstant kostnad for mengder opp til Forventet utbytte:

22 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Konstant for små transaksjoner, lineær for store transaksjoner C 0 : Konstant kostnad for størrelser opp til C 1 : Prop. kostnader for større transaksjoner transaksjoner opp til transaksjoner over hvis aktiva i er inkludert med fast kostnad C 0 ellers

23 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Konstant for små transaksjoner, lineær for store transaksjoner (forts.) Forventet utbytte: Restriksjoner:

24 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-variance efficient portfolio with transaction costs Min s.t.

25 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Portefølje revisjon Porteføljeoptimering innebærer ofte revisjon av en eksisterende portefølje. Dette involverer både kjøp og salg, og transakjsonskostnader må taes med. Den gjeldende kost funksjonen er symmetrisk om x 0.

26 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Portefølje rev., restriksjoner Restriksjoner på handelsstørrelse tar formen zero-or-range. Dvs. enten skjer det ingen trading eller så skjer den ved enten kjøp eller salg. Restriksjonsområdene er gitt ved og For å modellere disse restriksjonene introduserer vi to ikke-negative variabler y +1 og y -1 for kjøp og salg av aktiva i, slik at vi får x i = x 0i + y +i – y -i

27 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Introduserer også to binærvariabler som følger: Z si = 1 hvis eksponeringen av aktiva i blir redusert gjennom salg, 0 ellers Z pi = 1 hvis eksponeringen av aktiva i øker gjennom kjøp, 0 ellers Ved revisjon blir det ofte også brukt en restriksjon på total endring i antall aktiva kalt portfolio turnover Denne restriksjonen blir ilagt det totale kjøpet og ser slik ut:

28 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-variance efficient portfolio revision Minimize subject to }for alle i

29 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management 3.4 Factor models of return Implementasjon av mean-variance optimeringsmodeller krever estimat av vektorerne for middelverdi og varians og kovariansmatrisen Krever ofte veldig mange parametere. Eksempel: Et kapitalforvaltnigsproblem hos S&P500 krever estimering av 1000 forventede avkastninger og 124750 kovarianser.

30 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Factor models, forts. Skal her se på både en-faktor og multi- faktor modeller En-faktor modellen kom først og er forløperen til CAPM Multi-faktor modellen førte etter hvert til Arbitrage Pricing Theory

31 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management 3.4.1 En-faktor modellen Avkastningen på det i’te verdipapiret er relatert til den enkle faktoren gjennom den lineære relasjonen: Variansen er gitt ved σ 2 M og er normalfordelt med middelverdi 0 og varianse σ 2 εi r M er avkastningen fra en markedsindeks

32 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Sensitiviteten til avkastningen er gitt med β, som kalles factor loading Følgende antagelser ligger til grunn: –Kovariansen mellom det security specific restuttrykket og faktoren er 0, dvs. for alle i. –Kovariansen for restuttrykket er 0, dvs. for alle i ≠ i’. Ved å bruke denne e-faktor modellen kan vi nå utlede parameterene som trengs i mean- variance modellen.

33 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Forventet avkastning fra verdipapiret: Variansen til det i’te verdipapiret er gitt ved: –Setter inn r i fra faktor modellen og får:

34 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Kovariansen mellom verdipapir i og i’ er gitt ved: Setter inn r i fra faktor modellen og får Av forutsetningene er de 3 siste leddene lik 0

35 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-variance optimization with single-factor models –Bruker resultatene fra det vi har gjort hittil til å lage en modell for effektive porteføljer. Forventet avkastning blir:

36 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management –Porteføljevariansen blir: –Her er antallet parametere 3n+2, som er mye mindre enn dersom vi hadde regnet direkte med kovarians matrisen.

37 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-variance efficient portfolios with single factor models Minimize subject to

38 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Systematisk og ikke-systematisk risiko Skriver variansen som: Snur om og får:

39 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Systematisk og ikke-systematisk risiko Porteføljebetaen β p reflekterer sensitiviteten av avkastningen mot faktoren. Dette medfører at ved store antall investeringer i porteføljen vil den ikke- systematiske risikoen kunne diversifiseres bort.

40 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management En-faktor modeller og CAPM Dersom vi skriver en-faktor modellen som en lineær relasjon mellom avkastningen som er større enn markedsfaktoren og overskuddet mellom markedsfaktoren og den risikofrie faktoren og fjerner restleddet ε får vi: Noe som er identisk med CAPM bortsett fra α i som, ifølge CAPM, skal være lik 0.

41 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Multi-faktor modellen Multi-faktor modeller forbedrer estimatene funnet ved en-faktor modellen. Spesielt ved store restledd etter en-faktor modellen er det nyttig med flere faktorer. Utvidelsen er ganske grei, men det fins ingen enkel måte å velge faktorene på. Kaller faktorene f j, for j = 1,2,…..,K

42 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Multi-faktor modellen Definisjon: Avkastningen for verdipapir i henger sammen med faktoren f J gjennom den lineære relasjonen Variansen til faktor j er gitt ved σ J 2 og det security-specified restuttrykket ε i er normaldistribuert med middelverdi 0 og varians σ εi 2

43 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Antar, som med en-faktor modellen, at avkastningene er korrelert kun gjennom reaksjonen på fellesfaktorene. Vi gjør derfor følgende antagelser: –Kovariansen mellom restleddet og faktorene er 0. Dvs. Cov(ε i,f J ) = 0, for alle i,j. –Kovariansen for risikofaktorene 0. Dvs. Cov(f J.f J’ ) = 0, for alle f J’ ≠ f J –Kovariansen til restleddene er 0. Dvs. Cov(ε i,ε i’ ) = 0, for alle i ≠ i’

44 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Forventet avkastning Varianse –Variansen blir kalkulert som en funksjon av β, variansen til faktorene og variansen av restleddet

45 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Kovarians –Kovariansen til verdipapirene er en funksjon av betaene til verdipapirene og variansen til faktorene.

46 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-variance optimization with multi-factor models Kombinerer alt dette og lager en modell for å lage effektive porteføljer: Sensitivitet:

47 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Kan da skrive forventet avkastning for porteføljen som: Porteføljevariansen blir:

48 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Mean-variance efficient portfolios with multi-factor models Minimize subject to for alle j=1,2,….,K

49 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Now what? - Serious experiments with portfolios of interest to institutional investor -8 Morgan Stanley equity price indices for US, UK, Italy, Japan, Argentina, Brasil, Mexico, Russia -8 J.P. Morgan bond indices for the same markets -time range: January 1, 1999 – May 15, 2002 -totally 829 daily price data -A nice set to test risk management ideas: 11 September 2001, Argentinian crisis July 2001, … -more than 80000 mean-VaR optimization problems solved We developed capability to compute efficiently VaR-optimal portfolios

50 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Turbulent times …

51 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Turbulent times …

52 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Risk-return tradeoff risk performance out of sample image of efficient frontier in-sample efficient frontier Past contains no information about the future

53 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management In sample mean-variance frontier and its out of sample image

54 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Out of sample drift of in sample mean-variance frontier

55 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Straighforward rebalancing

56 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Partial rebalancing

57 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Partial rebalancing: low risk portfolio

58 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Partial rebalancing: medium risk portfolio

59 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Partial rebalancing: high risk portfolio

60 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Fraction of US bonds in high risk portfolio

61 TIØ4137 Financial Optimization and Risk Management Fraction of Argentinian bonds in high risk portfolio