Aniqmas integral

Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral [a,b] kesmada aniqlangan y = f(x) funksiya uchun ushbu kesmaning barcha nuqtalarida F'(x) = f(x) tenglik bajarilsa, u holda F(x) funksiya shu kesmada f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi. Masalan: 1/3 sin3x ning hosilasi cos3x ga teng. Shuning uchun 1/3 sin3x funksiya cos3x funksiya uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi.

Boshlang‘ich funksiya mavjudligi haqida teorema: Har bir uzluksiz funksiya, bir – biridan ixtiyoriy o‘zgarmasga farq qiluvchi cheksiz ko‘p boshlang‘ich funksiyalarga ega bo‘ladi. Boshlang‘ich funksiyaning umumiy F(x) + C ko‘rinishi berilgan y = f(x) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi. Bu yerda C – ixtiyoriy o‘zgarmas son va ∫f(x)dx kabi belgilanadi. Bunda ∫ - integral belgisi, f(x) – integral osti funksiyasi, f(x)dx –integral ostidagi ifoda deyiladi.

Asosiy integrallar jadvali Asosiy integrallar jadvali quyidagi formulalardan iborat:

Aniqmas integral xossalari Aniqmas integral quyidagi xossalarga ega: 1) Aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga teng: (∫f(x)dx )'= f (x) 2) Aniqmas integralning differensiali integral belgisi ostidagi ifodaga teng: d(∫f (x)dx) = f (x)dx 3) Biror uzluksiz differensiallanuvchi funksiyaning differensialidan olingan aniqmas integral shu funksiya bilan ixtiyoriy o‘zgarmas C ning yig‘indisiga teng: ∫dF(x) = F(x) + C

4) O‘zgarmas ko‘paytuvchi A ni integral belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin: ∫Af (x)dx = A∫f (x)dx 5) Chekli sondagi funksiyalarning algebraik yig‘indisidan olingan aniqmas integral shu funksiyalarning har biridan olingan aniqmas integrallarning algebraik yig‘indisiga teng: ∫(f1(x)±f2 (x)± … ±fn (x)]dx=∫ f1(x)dx ± ∫ f2 (x)dx ± … ± ∫ fn (x)dx

Integrallash usullari Yoyish usuli. Bu usul integral ostidagi funksiyani, har biri jadval integraliga keladigan, bir nechta funksiyalar yig‘indisi shaklida yoyishga asoslanadi. Misol. Integrallarni topig:

Aniqmas integralda o‘zgaruvchini almashtirish. Jadvalda qatnashmagan ∫f(x)dx integralni hisoblash kerak bo‘lsin. x ni t erkli o‘zgaruvchining biror differensiallanuvchi funksiyasi orqali ifodalaymiz: x = φ(t), bunga teskari t = φ(x) funksiyasi mavjud bo‘lsin, u holda dx = φ'(t)dt va ∫f (x)dx = ∫f(φ(t))φ'(t)dt bo‘lib, integral jadvaliga mos keladigan integral hosil qilamiz.

Bo‘laklab integrallash Bo‘laklab integrallash. Integrallash quyidagi formula: ∫u dv = uv - ∫v du yordamida amalga oshiriladi. Bu yerda u, v differensiallanuvchi funksiyalar. Bu formulani qo‘llash uchun, integral ostidagi ifoda ikki qismga ajratiladi va birinchi qismini u, ikkinchi qismini esa dv deb olinadi, natijada berilgan integralga nisbatan oson integrallanadigan ∫vdu integral hosil bo‘ladi.

Misol. Integralni toping: ∫x2lnxdx u = lnx, dv = x2dx belgilashlar kiritamiz. U holda, du = dx/x, v = x3/3 hosil bo‘ladi. Formulani qo‘llash natijasida,