Izradila Borka Jadrijević

Presentasjon om: "Izradila Borka Jadrijević"— Utskrift av presentasjonen:

1 Izradila Borka Jadrijević
Elementarne funkcije Izradila Borka Jadrijević

2 Ponovimo: Svaka monotona funkcija je injekcija.
Za svaku funkciju f : X  , suženje f : X  f(X) je surjekcija. Ako je f : X   monotona na nekom intervalu I  X, onda je suženje f : I  f(I) bijekcija.

3 Ako je f : X  Y bijekcija onda vrijedi:
Postoji funkcija g : Y  X tako da vrijedi g  f = iX i f  g = iY . Funkcija g : Y  X je jedinstvena, označavamo je g = f -1 i nazivamo inverzna funkcija funkcije f. Graf inverzne funkcije f -1 je simetričan grafu funkcije f s obzirom na pravac y = x.

4 Osnovne elementarne funkcije:
Konstantna funkcija Opća potencija Eksponencijalna funkcija iv) Logaritamska funkcija v) Trigonometrijske funkcije vi) Ciklometrijske funkcije

5 Konstantna funkcija f(x) = c, c   y c x f:    f () = {c}

6 Opća potencija f(x) = xr, r   \ {0} Razlikujemo slučajeve: r = n  
3. r = m/n   \  4. r   \ 

7 Potencije s prirodnim eksponentom
f(x) = xn, n   y y = x y = x2 x y = x3 f :   , f() =  za n neparan, f() = [0, ) za n paran

8 Potencije s cijelobrojnim eksponentom
oblika f(x) = x-n, n   y y= 1/x2 y= 1/x x y= 1/x3 Budući je x-n = 1/xn onda je f:  \ {0}   i vrijedi f() =  \ {0}.

9 Potencije s racionalnim eksponentom
oblika f(x) = x1/n, n   \ {1}. Budući je x1/n = nx onda je: f :    i f() =  za n neparan, f: [0, )   i f([0, )) = [0, ) za n paran. Nadalje, vrijedi: za svaki x  D(f) je (x1/n)n = x, te za svaki y  f(D(f) ) je (yn )1/n = y, Dakle, funkcija f(x) = x1/n je inverzna funkcija funkcije g(x) = xn za n neparan, odnosno suženja funkcije g za n paran.

10 Primjeri: 1. n = 2 Neka je funkcija g1 : [0, )  [0, ) suženje
funkcije g(x) = x2.. y=x2 y y=x y=x1/2 Funkcja g1 je bijekcija i za svaki x  [0, ) vrijedi f (g1(x)) = (x2 )1/2 = |x| = x, te za svaki y  [0, ) vrijedi g1(f (y)) = (y1/2)2 = y. x f(x) = x1/2 f: [0, )   f( [0, ) ) = [0, )

11 Uočimo: Suženje g2 : (-,0]  [0, ) funkcije g(x) = x2 je bijekcija
y=x2 Suženje g2 : (-,0]  [0, ) funkcije g(x) = x2 je bijekcija i za svaki x  (-,0] vrijedi f (g2(x)) = - (x2 )1/2 = -|x| = x, te za svaki y  [0, ) vrijedi g2(f (y)) = (-y1/2)2 = y. y y=x x y=-x1/2 f(x) = -x1/2 f: [0, )   f( [0, ) ) = (-,0]

12 2. n=3 Promatrajmo funkciju g(x) = x3 .
Funkcija g:    je bijekcija i za svaki x   vrijedi f (g(x)) = (x3 )1/3 = x, te za svaki y   vrijedi g(f (y)) = (y1/3)3 = y. y y=x3 y=x y=x1/3 x f(x) = x1/3 f:    f() = 

13 Potencije s racionalnim eksponentom
oblika f(x) = xm/n, m/n   \ . Uz pretpostavku m   , n  , te M(m,n)=1 razlikujemo slučajeve: n neparan i m > 0, onda je D(f) = , n neparan i m < 0, onda je D(f) =  \ {0}, n paran i m > 0, onda je D(f) = [0, ), n paran i m < 0, onda je D(f) = (0, ).

14 Primjeri: f(x) = x3/2, D(f) = [0,) f(x) = x2/3, D(f) = 

15 Potencije s realnim eksponentom
oblika f(x) = xr, r   \  . Vrijedi: za r > 0 je D(f) = [0,) za r < 0 je D(f)= (0,)

16 Vrijedi općenito: Inverzna funkcija opće potencije je opet opća potencija. Preciznije, ako je f(x) = xr onda je f –1 (y) = y1/r , kad god ti izrazi imaju smisla.

17 Eksponencijalna funkcija

18 f(x)= ax , f: R R je injekcija i f(R) = (0, )
loga (ax) = x, za svaki x є R a loga (y) = y, za svaki y є (0,

19 Trigonometrijske funkcije

20 Namatanje pravca na kružnicu
x x

21 Namatanje pravca na kružnicu
O O’ T T’ S S’ 1 T’ = S’ O’ 1 x x+2π T S

22 Trigonometrijska kružnica
1 T(cosx,sinx) sinx x cosx 1

23 Trigonometrijska kružnica
tgx 1 Os cotangesa x ctgx 1 Os tangesa

24 Trigonometrijske funkcije
Sinus Kosinus 1 -  2 -1 f(x) = sinx, f:   f() = [-1,1] f(x) = cosx, f:   f() = [-1,1]

25

26 Ciklometrijske ili arkus funkcije
Ciklometrijske ili arkus funkcije su inverzne funkcije suženja trigonometrijskih funkcija. Ciklometrijske funkcije su : Arkus-sinus Arkus-kosinus Arkus-tanges Arkus-kotanges

27 Definirajmo: arcsin: [-1,1] [- π /2, π /2]
Definirajmo: Sin: [-π/2, π /2]  [-1,1] tako da je za svaki x є [-π /2, π /2], sin(x) = Sin (x). Definirajmo: arcsin: [-1,1] [- π /2, π /2] y -/2 /2 x tako da vrijedi: x є [-π /2, π /2], arcsin(sin x)=x,  y є [-1,1], sin(arcsin y)=y

28

29

30

31

32

33 Definicija: Elementarnom funkcijom smatramo svaku funkciju koja se može konstruirati od osnovnih elementarnih funkcija i njihovih suženja primijenjujući (konačno puta) zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i komponiranje.

34 Osnovna podjela elementarnih funkcija:
Polinomi Racionalne funkcije Algebarske funkcije Transcendentne funkcije