Repetisjon om funksjoner

Janviers tabell

Misoppfatninger knyttet til funksjoner Se i heftet: https://fronter.com/hit/links/files.phtml/1311301326$365634870$/undervisning/R essurshefter/Ressurshefte+funksjoner.pdf Bla: En grafisk framstilling gir et direkte (eller mer konkret) bilde av en situasjon. Alle lineære funksjonsgrafer går gjennom origo Vanskelig med å tolke grafen som sammenheng mellom to variable Alle linjer er parallelle med koordinataksen Tegne punkt i stedet for linje

Definisjonen av en funksjon Alfa: En funksjon f består av Definisjonsmengde 𝐷 𝑓 En mengde som inneholder verdimengden 𝑉 𝑓 En regel som til ethvert element x i definisjonsmengden tilordner ett og bare ett element i 𝑉 𝑓 , nemlig elementet 𝑌=𝑓(𝑥) Bourbaki-definisjonen: Delmengde av alle par (x,y) slik at for hver x-verdi har vi maksimalt ett par i denne delmengden.

Hvilken er en funksjon?

Koordinatsystem

Typer funksjoner Lineære funksjoner Kvadratiske funksjoner Eksponentialfunksjoner Rasjonale funksjoner / Brøkfunksjoner

Polynomfunksjoner En polynomfunksjon er et utrykk som består av ett eller flere ledd, der hvert ledd består av en koeffisient og en potens av x. Eksponentene kan ikke være negative. Den høyeste potensen gir oss navnet på polynomet. Er den høyeste potensen 2 så har vi et andregradsfunksjon, er den 3 så har vi en tredjegradsfunksjon.

Lineære funksjoner

Lineære funksjoner En lineær funksjon er en førstegrads polynomfunksjon, med funksjonsutrykket: Grafen til en lineær funksjon er en rett linjen med stigningstall a og konstantledd b.

Stigningstall Stigningstallet a gir oss hvor mye funksjonsverdien endrer seg om vi går en enhet til høyre langs x-aksen. 𝑎>0 gir stigende graf 𝑎=0 gir horisontal graf 𝑎<0 gir synkende graf Formel for stigningstall: 𝑎= Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1

Oppgaver Hva er stigningstallet til funksjonene under: 𝑦=3𝑥+2 𝑦=−2𝑥+4 𝑦=𝑥+1 𝑦=9 Finn stigningstallet til den lineære funksjonen gjennom punktene 𝐴= (1,2) og 𝐵=(3,4)

Konstantledd Konstantleddet gir oss skjæringspunkt med y-aksen. Altså der x = 0 Til høyre ser dere grafer med samme stigningstall, men ulikt konstantledd.

Oppgaver Hva er konstantleddet? 𝑦=3𝑥+2 𝑦=−2𝑥+4 𝑦=𝑥+1 𝑦=9 Skriv ned funksjonsutrykket til funksjonen som har skjæring med y-aksen i y=4 og er med funksjonen: 𝑦=−𝑥+2

Oppgaver Tegn grafen til funksjonen: 𝑦=2𝑥+1

Formler for å finne funksjonsutrykk Ettpunktsformel Topunktsformel Når du kjenner et punkt (𝑥 1 , 𝑦 1 ) og stigningstallet 𝑎 𝑦− 𝑦 1 =𝑎 𝑥− 𝑥 1 Når du kjenner to punkter, (𝑥 1 , 𝑦 1 ) og (𝑥 2 , 𝑦 2 ) 𝑦− 𝑦 1 = 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 (𝑥− 𝑥 1 )

Oppgaver Finn funksjonsutrykket til grafen som går gjennom punktet A= (1,2) og har stigningstall a=-2. Finn funksjonsutrykket til grafen som går gjennom punktene A=(2,2) og B=(4,3)

Nullpunkter Nullpunkter er der funksjonsverdien 𝑓 𝑥 er null. Det vil si der grafen til funksjonen krysser x-aksen. Legg merke til at y alltid er null i nullpunktene! – Derav navnet!

Proporsjonalitet Når b=0 vil vi få funksjonen 𝑦=𝑎𝑥 Denne går gjennom origo. Forholdet mellom y og x er konstant og vi sier at de er proporsjonale Stigningstallet 𝑎 finner vi ved 𝑎= 𝑦 𝑥 Og vi kaller 𝑎 for proposjonalitetskonstanten

Andregradslikninger

definisjon En kvadratisk funksjon er et polynom av andre grad. Det vil si at det har et andregradsledd. Utrykket for en kvadratisk funksjon er 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 𝑎≠0, for hvis den er det så har vi en lineær graf.

Kvadratiske funksjoner Kvadratiske funksjoner har form som parabler Hvis a<0, peker parabelåpningen nedover Hvis a>0, peker åpningen oppover.

Skjæringspunkt med y-aksen: Ved å sette inn x=0 i funksjonsuttrykket 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 Ser vi at c er skjæringspunktet med y-aksen.

Nullpunkter Kvadratiske funksjoner kan ha nullpunkter. Dersom de finnes så er de løsningen på 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. Det kan dere finne med abc-formel eller faktorisering.

Nullpunkter To løsninger En løsning Ingen løsning 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 Nullpunkter To løsninger En løsning Ingen løsning 𝑏 2 −4𝑎𝑐>0 𝑏 2 −4𝑎𝑐=0 𝑏 2 −4𝑎𝑐<0

Oppgaver Finn nullpunktene til funksjonen 𝑦= 𝑥 2 −2𝑥+ 3 4 . Finn nullpunktene til funksjonen 𝑦= 2𝑥 2 +4𝑥+2. Finn nullpunktene til funksjonen 𝑦= 4𝑥 2 −𝑥. Har funksjonene nullpunkt? 𝑦= 4𝑥 2 +1. 𝑦= 4𝑥 2 −1.

Topp/Bunnpunkt Kvadratiske funksjoner har topp og bunnpunkt Når vi snakker om topp og bunnpunkt så snakker vi om x-verdien. Disse omtales også som ekstremal-verdier. Funksjonsverdien (y-verdien) i topp og bunnpunkt kalles for minimal/maksimalverdi Kvadratiske funksjoner har topp og bunnpunkt toppunkt bunnpunkt

Hvordan finner vi topp og bunnpunkt Grafen er speilsymmetrisk om denne linjen, og toppunktet ligger akkurat på linjen.

Oppgave Finn topp/bunnpunkt for funksjonene med nullpunkt(ene) 𝑥=2 og 𝑥=4 𝑥=−1 og 𝑥=2 𝑥=1 Funksjonen 2 𝑥 2 +4𝑥+2 har bunnpunkt i 𝑥=−1. Finn maksimal/minimalverdien.

Skissering av graf Om vi skulle skissert grafen 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −2𝑥+2 Kan vi først observere at vi har en graf med bunnpunkt (positiv a). Og et skjæringspunkt med y-aksen for y=2. Vi har ingen nullpunkter, men et bunnpunkt for x=1

Eksponential funksjoner

Definisjon En eksponentialfunksjon er en funksjon på formen 𝑦=𝑏∙ 𝑎 𝑥 Der a og b er konstanter og a>0. a kaller vi for vekstfaktor.

Hva betyr konstantene Fortegnet til 𝑏 påvirker om vi har positive eller negative funksjonsverdier! (Siden 𝑎 alltid er positiv (større enn 0) så må 𝑎 𝑥 også alltid være positiv) Om 𝑏 er positiv så er f(x) positiv Om 𝑏 er negativ så er f(x) negativ

Hva betyr konstantene b er skjæringspunktet med y-aksen fordi 𝑦=𝑏∙ 𝑎 𝑥 =𝑏 når x=0. 𝑦=4∙ 2 𝑥 𝑦=3∙ 2 𝑥 𝑦=2∙ 2 𝑥 𝑦=1∙ 2 𝑥

Hva betyr konstantene Dersom 𝑎>1: Da stiger funksjonen mot høyre, krappere og desto større verdi vi har for a. Dersom 𝑎=1: Da er funksjonen en rett linje Dersom 𝑎<1: Da synker funksjonen mot høyre, krappere desto mindre verdi vi har for a.

Prosentvis vekst 𝑆 𝑛 = 1+ 𝑝 100 𝑛 𝑆 vekstfaktor 𝑆 𝑛 = 1+ 𝑝 100 𝑛 𝑆 Der p er prosent rente, S er det opprinnelige innskuddet eller lånebeløpet og n er antall år.

Prosentvis nedgang 𝑆 𝑛 = 1− 𝑝 100 𝑛 𝑆 vekstfaktor 𝑆 𝑛 = 1− 𝑝 100 𝑛 𝑆 Der p er prosent nedgang per år, S er den opprinnelige verdien og n er antall år.

Oppgave Hvilken graf tilhører hvilken funksjon 𝑦=2∙ 3 𝑥 𝑦=2∙ 0.3 𝑥 𝑦=−2∙ 3 𝑥 𝑦=−2∙ 0.3 𝑥

Oppgave Du setter 10 000 inn på en konto med 2% rente. Sett opp funksjonsutrykket som viser hvor mye som er på konto etter 𝑡 år. Bilen din kostet 450 000 som ny og taper seg i verdi med 20% hvert år. Sett opp funksjonsutrykket som viser hvor mye bilen er verdt etter 𝑡 år. En kommune hadde 25 000 innbyggere i 2014 og 24 000 innbyggere i 2016. Hvor stor prosentandel har de mistet hvert år?

Rasjonale funksjoner

Definisjon En rasjonal funksjon er en funksjon på formen 𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 Der 𝑃(𝑥) og 𝑄(𝑥) er polynomer, og 𝑄 𝑥 må ha minst grad 1. Merk at den ikke er definert for x-verdier der 𝑄(𝑥) = 0.

Nullpunkter og bruddpunkter Nullpunkter er der telleren er null Funksjonen er ikke definert der nevneren er 0, altså har vi bruddpunkt der x=1

Oppgave Finn nullpunkt og bruddpunkt for funksjonene 𝑓 𝑥 = 2𝑥+4 2−𝑥 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 2 +6𝑥+3 (𝑥−3)(𝑥+2)

Asymptoter Vertikal asymptote Horisontal asymptote

Vertikale asymptoter: Vi finner bruddpunktene for funksjonen og undersøker hva som skjer med funksjonsverdien f(x) når vi nærmer oss bruddpunktene fra høyre og venstre. Dersom funksjonsverdien vokser veldig brått (blir veldig stor positiv og veldig stor negativ) så har vi en vertikal asymptote i bruddpunktet.

Eksempel x 2x+4/2-x f(x) 1.5 7/0.5 14 1.9 7.8/0.1 78 1.99 7.98/0.01 798 1.999 7.998/0.001 7998 1.9999 7.9998/0.0001 79998 2 8/0 Udef. 2.0001 8.0002/-0.0001 -80002 2.001 8.002/-0.001 -8002 2.01 8.02/-0.01 -802 2.1 8.2/-0.1 -82 2.5 9/-0.5 -18 𝑓 𝑥 = 2𝑥+4 2−𝑥 Vi ser at når vi nærmer oss x=2 fra verdier rett over og under 2, så vil vi til høyre for x=2 raskt få kjempestore verdier og til venstre for x=2 få kjempestore negative verdier. Dette skjer fordi vi deler på tall som er veldig små. Med matematisk språk sier vi: 𝑓 𝑥 →±∞ 𝑛å𝑟 𝑥→2

Horisontale Asymptoter Horisontale asymptoter er den verdien som vi ser at f(x) nærmer seg når vi lar x blir veldig stor positiv eller veldig stor negativ. Vi finner denne verdien ved å sette inn for veldig store positive eller veldig negative verdier for x.

Eksempel x 2x+4/2-x f(x) 10 24/-8 -3 100 204/-98 -2,08163 1000 2004/-998 -2,00802 10000 20004/-9998 -2,0008 100000 200004/-99998 -2,00008 -10 -16/12 -1,33333 -100 -196/102 -1,92157 -1000 -1996/1002 -1,99202 -10000 -19996/10002 -1,9992 -100000 -199996/100002 -1,99992 𝑓 𝑥 = 2𝑥+4 2−𝑥 Vi ser at når x beveger seg mot veldig store positive og veldig store negative verdier så vil funksjonsutrykket nærme seg f(x)=-2 Med matematisk språk sier vi: 𝑓 𝑥 →−2 𝑛å𝑟 𝑥→±∞

Eksempel Det kan være vanskelig å se det rett av funksjonsuttrykket, og tungvint å lage tabell. Ett tips er å dele på x over og under brøkstreken. Vi får da 𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑥 − 4 𝑥 2 𝑥 − 𝑥 𝑥 = 2− 4 𝑥 2 𝑥 −1 Hvis vi nå ser litt ekstra på de delene som har x i seg: 2 𝑥 og 1 𝑥 vil bli nærmest null om vi setter inn store verdier for x. Vi kan derfor se bort fra disse leddene i utrykket. 𝑓 𝑥 = 2− 4 𝑥 2 𝑥 −1 = 2 −1 =−2

Eksempler på bruk Omvendt proporsjonalitet Enhetskostnadsfunksjon

Ligningssystemer

Løsning av ligningssett Løsningen av ligningssystemer kan sees på som de punktene der to funksjoner møtes F.eks. er løsningen til y=2 𝑥 2 +3𝑥+1 𝑦=− 𝑥 2 −𝑥+2 det samme som punktene der funksjonene 𝑓 𝑥 =2 𝑥 2 +3𝑥+1 𝑔 𝑥 =− 𝑥 2 −𝑥+2 skjærer hverandre.

LEKSER TIL ONSDAG!

Hva er definisjonen på En funksjon? En lineær funksjon? En kvadratisk funksjon? En eksponentialfunksjon? En rasjonal funksjon?

Kjøretur Diagrammet nedenfor viser sammenhengen mellom tid og avstand på en motorsykkeltur som Peder kjørte fra Sarpsborg til Ås og tilbake igjen. a) Hvor lenge var Peder i Ås? På veien til Ås måtte Peder kjøre saktere i 5 km, fordi det var kø. b) Hvor langt fra Sarpsborg begynte køen? c) Hvor stor var gjennomsnittsfarten fra Sarpsborg til Ås?

Badeland Svømmebassenget i Badeland på 645 000 L skal tømmes for vann. Det tappes ut 18 000 L per time. Sett opp funksjonsutrykket for hvor mye vann som er igjen etter t timer.  Bestem ved regning når svømmebassenget er tomt for vann.  

Vekt til lam En modell som kan vise hvordan vekten til et lam øker etter fødselen, er gitt ved funksjonen 𝑉(𝑥) =0,28𝑥+5 Der vekten til et lam målt i kilogram x dager etter fødselen. Hvor mye veier et nyfødt lam? Hvor mye øker vekten til et lam per dag? Hvor mye veier lammet når det er 75 dager gammelt? Ett lam slaktes når det veier mer enn 45 Kg. Hvor mange dager gammelt et lam minst må være når det slaktes

Frisøren Stefan betaler 225 kroner per hårklipp hos frisøren. Sett opp en funksjon som viser Stefans frisørutgifter y etter x hårklipp. Stefan kjøper seg en klippemaskin til 990 kroner og bruker den i stedet for å gå til frisøren Hvor mange ganger må Stefan klippe seg med klippemaskinen før han har spart den inn?

Hopp I X-Fighters hopper motorsykkelen fra rampe 1 til rampe 2. En forenklet modell som beskriver et slikt hopp, er funksjonen h gitt ved ℎ 𝑥 =− 1 20 x 2 +x−2 Her viser h(x) hvor mange meter motorsykkelen er over bakken når den er x meter fra rampe 1, målt langs bakken. Hvor langt fra rampe 1 er motorsykkelen når den er høyest over bakken? Hvor høyt er den da?

Kvadratisk funksjon Den kvadratiske funksjonen 𝑓(𝑥)=2 𝑥 2 +2𝑥−12 Har nullpunkter for x=2 og x=-3. Finn topp/bunnpunkt og maksimal/minimalverdien til funksjonen.

Eksponentialfunksjon Live skal få satt inn en ny tann. Behandlingen koster 10 000 kroner. Hun får tilbud om betalingsutsettelse mot en rente på 0.5% per måned. Hvor mye må Live betale om hun venter 10 måneder med å betale?

Rasjonalfunksjon Funksjon 𝑓 𝑥 = 𝑥+1 2𝑥−1 er et eksempel på en rasjonal funksjon. Finn eventuelle null og bruddpunkt for funksjonen. Finn eventuelle asymptoter Skisser funksjonen