Group theory I dette kapitlet skal vi se på utvidelse av lister som vi behandlet generelt i kap 04. Vi skal nå benytte klassehierarkiet som vi utviklet i kap 05 til å lage såkalte ordnede og sorterte lister. Disse listene skal vi implementere på to ulike måter: Enten vha array som vi beskrev i kap 02 eller vha lister (DList) som vi beskrev i kap 04.

Group Definition A group is a set G = {E, } where E is a set of elements and  is a binary operation on E. For a group we have the following axioms: A_001 A_002 A_003 A_004 Closed under binary operation Associative binary operation Identity element Inverse element OrderedList : Listestruktur hvor rekkefølgen har betydning SortedList : Listestruktur sortert på en nøkkel

Identity element Uniqueness T_001 A group have only one identity element Proof: OrderedList : Listestruktur hvor rekkefølgen har betydning SortedList : Listestruktur sortert på en nøkkel

Inverse element Uniqueness T_002 An element has only one inverse Proof: OrderedList : Listestruktur hvor rekkefølgen har betydning SortedList : Listestruktur sortert på en nøkkel

Invers element (a-1)-1 = a T_003 The inverse of the inverse of an element is the element itself (a-1)-1 = a Proof: OrderedList : Listestruktur hvor rekkefølgen har betydning SortedList : Listestruktur sortert på en nøkkel

Identity element Its own inverse T_004 The identity element is its own inverse e-1 = e Proof: OrderedList : Listestruktur hvor rekkefølgen har betydning SortedList : Listestruktur sortert på en nøkkel

Inverse of a product T_005 The inverse of a product is the product of the inverse in reverse order (ab)-1 = b-1a-1 Proof: OrderedList : Listestruktur hvor rekkefølgen har betydning SortedList : Listestruktur sortert på en nøkkel

Inverse of a product T_005 The inverse of a product is the product of the inverse in reverse order (ab)-1 = b-1a-1 OrderedList : Listestruktur hvor rekkefølgen har betydning SortedList : Listestruktur sortert på en nøkkel Proof:

Summing up A_001 A_002 A_003 A_004 T_001 T_002 T_003 T_004 T_005 OrderedList : Listestruktur hvor rekkefølgen har betydning SortedList : Listestruktur sortert på en nøkkel T_003 T_004 T_005

Subgroup Def D_002: A subgroup H is a subset of a group G that itself is a group with the same binary operation as G. For a subgroup we must have: H subset Closed under binary operation Identity element Inverse element OrderedList : Listestruktur hvor rekkefølgen har betydning SortedList : Listestruktur sortert på en nøkkel

Subgroup Theorem T_006: A subset H is a subgroup if and only if ab-1  H for all a,b  H. Proof: OrderedList : Listestruktur hvor rekkefølgen har betydning SortedList : Listestruktur sortert på en nøkkel

Group Example - Number G E a b ab e a-1 Undergruppe av OrderedList : Listestruktur hvor rekkefølgen har betydning SortedList : Listestruktur sortert på en nøkkel

Group Example - Rotation y l1 l2 Group Example - Rotation D C x A B D C A B s1 speiling om x-aksen r0 rotasjon 00 A B D C C B C D s2 speiling om y-aksen r1 rotasjon 900 D A B A B A B C s3 speiling om diagonalen l1 r2 rotasjon 1800 OrderedList : Listestruktur hvor rekkefølgen har betydning SortedList : Listestruktur sortert på en nøkkel C D A D A D D A r3 rotasjon 2700 s4 speiling om diagonalen l2 B C C B

Group Example - Rotation y l1 l2 Group Example - Rotation D C x A B r0 rotasjon 00 s1 speiling om x-aksen r1 rotasjon 900 s2 speiling om y-aksen r2 rotasjon 1800 s3 speiling om diagonalen l1 s4 speiling om diagonalen l2 r3 rotasjon 2700 D C A D D A s2 r1-1 = s2 = A B B C C B OrderedList : Listestruktur hvor rekkefølgen har betydning SortedList : Listestruktur sortert på en nøkkel s2 r1-1 = s4 D C D A s4 = A B C B

Group Example - Rotation y l1 l2 Group Example - Rotation D C x A B r0 rotasjon 00 s1 speiling om x-aksen r1 rotasjon 900 s2 speiling om y-aksen r2 rotasjon 1800 s3 speiling om diagonalen l1 r3 rotasjon 2700 s4 speiling om diagonalen l2 OrderedList : Listestruktur hvor rekkefølgen har betydning SortedList : Listestruktur sortert på en nøkkel

END End.