Are Raklev Teoretisk fysikk, rom FØ456, ahye@fys.uio.no Forelesning 9 Are Raklev Teoretisk fysikk, rom FØ456, ahye@fys.uio.no
Ukens program Tirsdag: repetisjon, Operatorer og Heisenbergs uskarphetsrelasjon (Avsnitt 1.5 og 1.6 i Griffiths) Onsdag: kollokvium om Schrödingerligningen og sannsynlighetstolkning. Fredag: Stasjonære tilstander, Partikkel i uendelig brønn. (Avsnitt 2.1 og 2.2 i Griffiths) Onsdag, torsdag & mandag: arbeid med Oblig 5 + Oppgave 2.8 fra Griffiths. / Are Raklev / 12.02.13 FYS2140
Kort repetisjon Bølgefunksjonen tar komplekse verdier og koder all informasjon om partikkelen. Sannsynlighetstolkningen sier at kvadratet av absoluttverdien av bølgefunksjonen er en sannsynlighetstetthet. Det vil si at er sannsynligheten for å finne partikkelen i intervallet [a,b] ved tiden t. 𝑃 𝑎𝑏 = ∫ 𝑎 𝑏 ∣ψ 𝑥,𝑡 ∣ 2 𝑑𝑥 / Are Raklev / 12.02.13 FYS2140
Kort repetisjon En fysisk akseptabel bølgefunksjon ψ som er en løsning av SL må kunne normaliseres Normering er tidsuavhengig. Setter krav til ψ, bl.a. kvadratisk integrerbarhet (|ψ| → 0 når |x| → ∞ raskere enn 1/√|x|). Forventningsverdien for posisjonen x er ∫ −∞ ∞ ∣ψ 𝑥,𝑡 ∣ 2 𝑑𝑥=1 Kvadratisk integrerbarhet setter selvfølgelig også krav til at bølgefunksjonen ikke går mot uendelig på en brysom måte. 〈𝑥〉= ∫ −∞ ∞ 𝑥 ∣ψ 𝑥,𝑡 ∣ 2 𝑑𝑥= ∫ −∞ ∞ ψ ∗ 𝑥,𝑡 𝑥ψ 𝑥,𝑡 𝑑𝑥 / Are Raklev / 12.02.13 FYS2140
Kort repetisjon Antagelse for bevegelsesmengde: Dette leder til Forventningsverdien til alle observable Q kan skrives ved hjelp av kanoniske variable x og p: 〈𝑝〉=𝑚〈𝑣〉=𝑚 𝑑〈𝑥〉 𝑑𝑡 〈𝑝〉= ∫ −∞ ∞ ψ ∗ 𝑥,𝑡 −𝑖ℏ ∂ ∂𝑥 ψ 𝑥,𝑡 𝑑𝑥 𝑄 𝑥,𝑝 = −∞ ∞ ψ ∗ 𝑄 𝑥,−𝑖ℏ ∂ ∂𝑥 ψ𝑑𝑥 / Are Raklev / 12.02.13 FYS2140
I dag Mer om operatorer. SL som en energiligning. Heisenbergs uskarphetsrelasjon (usikkerhetsrelasjon). Bevis for den generele uskarphetsrelasjonen. / Are Raklev / 12.02.13 FYS2140
En dag ved Max-Planck Instituttet / Are Raklev / 12.02.13 FYS2140
Oppsummering Postulat: til alle observable A finnes det en hermitisk operator Â. For en hermitisk operator har vi: Postulat: bare egenverdier a til Â, Âψ = aψ, kan være resultat av enkeltmålinger. 𝐴 = −∞ ∞ ψ ∗ 𝐴 ψ𝑑𝑥= −∞ ∞ 𝐴 ψ ∗ ψ𝑑𝑥 / Are Raklev / 12.02.13 FYS2140
Oppsummering Heisenbergs uskarphetsrelasjon sier at Dette følger fra den generelle uskarphetsrelasjonen hvor [A,B] = AB-BA er kommutatoren mellom operatorene til de observable A og B. σ 𝑝 σ 𝑥 ≥ ℏ 2 σ 𝐴 2 σ 𝐵 2 ⩾ 1 2i 𝐴 , 𝐵 2 / Are Raklev / 12.02.13 FYS2140