Geometri 1

Hva er geometri? Hvorfor lærer vi om det i skolen? Hva kan det brukes til?

Geometri Geometri i skolen handler blant annet om å analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale figurer og gjøre konstruksjoner og beregninger. Man studerer dynamiske prosesser som speiling, rotasjon og forskyvning. Hovedområdet omfatter også å beskrive plassering og forflytning i rutenett, kart og koordinatsystemer.

Kompetansemål etter 2. årstrinn Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjenkjenne og beskrive trekk ved enkle to- og tredimensjonale figurer i forbindelse med hjørner, kanter og flater, og sortere og sette navn på figurene etter disse trekkene gjenkjenne, bruke og samtale om speilsymmetri i praktiske situasjoner lage og utforske geometriske mønster, både med og uten digitale verktøy, og beskrive dem muntlig

Kompetansemål etter 4.årstrinn Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjenkjenne, beskrive trekk ved og sortere sirkler, mangekanter, kuler, sylindrer og polyeder tegne, bygge, utforske og beskrive geometriske figurer og modeller i praktiske sammenhenger, medregnet teknologi og design gjenkjenne, bruke og beskrive speilsymmetri og parallellforskyvning i konkrete situasjoner lage og utforske geometriske mønster og beskrive dem muntlig lese av, plassere og beskrive posisjoner i rutenett, på kart og i koordinatsystemer, både med og uten digitale verktøy

Kompetansemål for 7.årstrinn Mål for opplæringen er at eleven skal kunne analysere egenskaper ved to- og tredimensjonale figurer og beskrive fysiske gjenstander innenfor dagligliv og teknologi ved hjelp av geometriske begreper bygge tredimensjonale modeller, tegne perspektiv med ett forsvinningspunkt og diskutere prosessene og produktene beskrive og gjennomføre speiling, rotasjon og parallellforskyvning beskrive plassering og flytting i rutenett, på kart og i koordinatsystem, med og uten digitale hjelpemidler, og bruke koordinater til å beregne avstander parallelt med aksene i et koordinatsystem

Kompetansemål for 10.årstrinn Mål for opplæringen er at eleven skal kunne undersøke og beskrive egenskaper ved to- og tredimensjonale figurer og bruke egenskapene i forbindelse med konstruksjoner og beregninger utføre, beskrive og begrunne geometriske konstruksjoner med passer og linjal og dynamisk geometriprogram bruke og begrunne bruken av formlikhet og Pytagoras’ setning i beregning av ukjente størrelser tolke og lage arbeidstegninger og perspektivtegninger med flere forsvinningspunkter, med og uten digitale verktøy bruke koordinater til å avbilde figurer og utforske egenskaper ved geometriske former, med og uten digitale verktøy utforske, eksperimentere med og formulere logiske resonnementer ved hjelp av geometriske ideer, og gjøre rede for geometriske forhold som er av særlig betydning i teknologi, kunst og arkitektur

Fremdriftsplan Geometri Uke 37: Grunnleggende begreper Trekanter og firkanter Konstruksjon Areal av trekanter og firkanter Pytagoras’ læresetning Uke 38: Sirkel Formlikhet Uke 39: Geometriske mønstre Flytninger symmetri

Grunnleggende begreper og definisjoner

Punkter og linjer Punkter betegnes med store bokstaver: 𝐴, 𝐵, 𝐶,… Linjer, stråler og linjestykker betegnes ofte med AB, AC, BC etc, men en ser også små bokstaver bli brukt.

Vinkler En vinkel dannes av to stråler som går ut fra samme punkt Strålene kalles ofte vinkelbein Det fellespunktet kalles ofte toppunkt Vinkler betegnes enten som ∠𝐴 eller som ∠𝐵𝐴𝐶 ellers som ∠𝛼 (og andre greske bokstaver) Vinkler måles som oftest i grader

Noen typer vinkler Hvis en vinkel er mindre enn 90 grader sier vi at den er spiss. Hvis en vinkel er større enn 90 grader sier vi at den er stump. Hvis en vinkel er 90 grader kalles den en rett vinkel

Noen typer vinkler Nabovinkler er to vinkler som til sammen blir 180 grader som vist på figuren under. Kalles også supplementvinkler. Vinkler som til sammen blir 90 grader kalles komplementvinkler

Noen typer vinkler Samsvarende vinkler: Når en linje skjærer over to andre linjer dannes det samsvarende vinkler. Linjen m kalles overskjæringslinje.

Trekanter

Trekanter

Noen trekanter En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er 90 grader En likesidet trekant er en trekant der alle sidene er like lange

Noen trekanter En rettvinklet er likebeinet om to sider er like lange. Da vil også to av vinklene være like store En trekant kan være flere ting. Her er en likebeinet, rettvinklet trekant.

Noen firkanter Kvadrat: Alle sider like lange, alle vinkler 90 grader. Rombe: En firkant med fire like lange, parvis parallelle sider. Parallellogram: En firkant der sidene er parvis parallelle. Motstående sider og vinkler er like lange.

Noen firkanter Rektangel: En firkant der alle vinklene er 90 grader og der rektangelets motstående sider er parallelle og like lange Trapes: En firkant der to sider er parallelle Drake: En firkant der to og to sider er like lange. Sidene som er like lange går ut fra et felles punkt.

Firkanter Oppgave Se på filen med firkanter. Ta utgangspunkt i et kvadrat. Vil et kvadrat oppfylle vilkårene for noen av de andre figurene? Se på rektangelet, oppfyller det vilkårene til noen av de andre figurene?

Firkanter Oppgave Se oppgaven som ligger på fronter. (Word dokument)

Kongruente trekanter Hva skal til for at to trekanter er like?

Kongruenspostulater Side-side-side postulatet Hvis to trekanter har parvis like lange sider, er trekantene kongruente

Kongruenspostulater Side-vinkel-side postulatet Hvis to sider i en trekant er parvis like lange som to sider i en annen trekant og vinklene mellom de to sidene er like stor i begge trekantene, er trekantene kongruente

Kongruenspostulater Vinkel-side-vinkel postulatet Hvis to vinkler og den mellomliggende siden i en trekant er parvis like store som to vinkler og den mellomliggende siden i en annen trekant, er trekantene kongruente

Kongruenspostulater Side-side-vinkel postulatet Hvis to sider i en trekant er parvis like lange som to sider i en annen trekant og den motstående vinkelen til den lengste av de to sidene er like stor i begge trekantene, er trekantene kongruente

Vinkel-vinkel-vinkel? Hva med tilfeller der alle vinklene er like store? Er denne trekanter kongruent? Hva med side-side-vinkel der vinkelen er motstående til den minste av sidene?

Normal Vi sier at linje 𝑙 står vinkelrett på linje 𝑚. Dette symboliseres gjerne med 𝑙⊥𝑚. Vi kan også si at 𝑙 er en normal til 𝑚.

Konstruksjon av normaler Vi konstruerer: Midtnormal til linjestykke / halvering av linjestykke Normal til et punkt i en linje Normal til linje fra et punkt Vi går over til Smart Notebook

Toppvinkler Når to linjer skjærer hverandre dannes det to par toppvinkler. Vinkler som er toppvinkler er like store

Ytre vinkler i en trekant En ytre vinkel i en trekant er større enn hver av de indre motsatte vinklene. Bevis står på side 396, anbefaler dere å prøve selv!

Parallelle linjer To linjer er parallelle dersom de ligger i samme plan og ikke skjærer hverandre Hvis to linjer skjæres av en tredje slik at det dannes samsvarende vinkler som er like store, er de to første linjene parallelle. Og motsatt; to parallelle linjer som skjæres av en tredje linje dannes det samsvarende vinkler som er like store.

Konstruksjon Av parallell linje (med gitt avstand) Av parallell linje som går gjennom et gitt punkt Halveringslinje for en vinkel

Trekanter og vinkler Summen av vinkler i en trekant Likebeinte trekanter Likesidede trekanter Konstruksjon av 60 grader

Geometriske steder Definisjon: At figuren Ŧ er det geometriske stedet for de punktene som har egenskapen ξ, betyr at Ŧ er mengden av alle de punktene og bare de punktene som har egenskapen ξ. Eksempler: Midtnormal til et linjestykke Parallelle linjer Halveringsstrålen til en vinkel

Arealberegning Rektangel Parallellogram Trekant

Pytagoras’ setning I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene på katetene

Oppgaver Oppgave 2.10 til 2.15 i utdraget fra Faktor Oppgave 5.4 , 5.6 Oppgave 5.12. (Her trenger dere ikke konstruere men tenke gjennom hvordan den kan konstrueres ut i fra kjente resultater) Oppgave 1, 2,3 og 4 i Oppgavesett 2 i oppgavesamling. (Noen av delspørsmålene forutsetter at dere har sett på videoen om arealberegning)