Fysikk + Matematikk = Undervisningsopplegg laget av Johan Nygaard for Vitenfabrikken i Sandnes

Først litt Fysikk …..

Hva er en bølgelengde? En bølgelengde (1 ):

Stående bølge i en streng  En hel svingning:

 Repetisjon: lengden av strengen = 1

Antall svingninger pr sekund kalles Frekvensen Frekvensen måles i Hertz (Hz)

Det oppstår stående bølger (resonans-svingninger) i strengen når den påvirkes av en frekvens som er slik at strengens lengde blir lik et helt antall halve bølgelengder.

Tacoma bridge, november 1940

Bølgelengden og Frekvensen er omvendt proporsjonale. Det betyr: Dersom Frekvensen skal øke til det dobbelte må Bølgelengden reduseres til det halve. Dersom Frekvensen skal øke til det tredobbelte må Bølgelengden reduseres til en tredjepart av den opprinnelige bølgelengden. osv …..

Når vi spiller en tone på et instrument, hører vi bare denne ene tonen. Men denne tonen består av en grunntone og mange overtoner. Spille en tone:

Grunn-tone og overtoner  Grunntonen: Strengen er 0,5 1. overtone: Strengen er 1 (frekvensen dobles) 2. overtone: Strengen er 1,5 (frekvensen tredobles) 3. overtone: Strengen er 2 (frekvensen firedobles) …. osv Dette kalles naturtone-rekka

Når vi spiller en tone, vil strengen svinge med både grunntone og mange overtoner samtidig:  Grunntonen alene Grunntone + 1. overtone Grunntone + 1. overtone + 2. overtone Overtonene er med på å bestemme instrumentets klangfarge.

Forskjellige toner får vi ved å endre på lengden av strengen. Da endrer vi bølgelengden og frekvensen, og dermed får vi fram forskjellige toner. Spille forskjellige toner:

Pytagoreerne oppdaget at tonene vil lyde harmonisk dersom vi avkorter strengens lengde til brøkdeler som for eksempel: 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 8/9. 1· L 1/2· L 2/3· L 4/5· L L Strengens lengde avtar  Bølgelengden avtar. Dermed øker frekvensen  vi får en høyere tone.

cdefgahc´d´e´f´g´a´h´c2c2 0ktav

Nå litt matematikk …..

c d e f g a h c´ d´ e´ f´ g´ a´ h´ c 2 d 2 e 2 f 2 g 2 a 2 h 2 c (7) 8 Naturtone-rekka 132 Hz ktav Kvint Kvart Grunn- tone  3/24/33/24/3 198 Hz Da kan vi finne g også i den første oktaven: 132*3/2 = 198 Hz

c d e f g a h c´ d´ e´ f´ g´ a´ h´ c 2 d 2 e 2 f 2 g 2 a 2 h 2 c (7) 8 Naturtone-rekka 132 Hz ktav Kvint Kvart Stor Liten ters ters Grunn- tone  5/4 Da kan vi finne e i de andre oktavene også: 264*5/4 = 330 Hz 132*5/4 = 165 Hz /5

Tone-intervallene i en oktav dcefgahc’ c – d c – e c – f c – g c – a c – h c – c´ 1:2oktav 1:3/2kvint 1:5/4stor ters Akkord: Tre (eller flere) toner på en gang C-dur-treklang : c - e - g

c 3 d 3 e 3 f 3 g 3 a 3 h 3 c (11) 12 (13,14) Naturtone-rekka (fortsettelse) 0ktav Stor sekund Stor septim ……

Tone-intervallene i en oktav dcefgahc’ c – d c – e c – f c – g c – a c – h c – c´ 1:2oktav 1:3/2kvint 1:15/8stor septim 1:9/8stor sekund 1:5/4stor ters

c d e f g a h c´ d´ e´ f´ g´ a´ h´ c 2 d 2 e 2 f 2 g 2 a 2 h 2 c (7) 8 Naturtone-rekka 132 Hz ktav Kvint Kvart Stor Liten ters ters Grunn- tone  Kvint + Kvart = (3/2)  (4/3) = 12/6 = 2/1 (oktav) Stor ters + Liten ters = (5/4)  (6/5) = 3/2 (kvint) Regneregel: Summer intervaller, multipliser brøker

c 3 d 3 e 3 f 3 g 3 a 3 h 3 c (11) 12 (13,14) Naturtone-rekka 0ktav Stor sekund Stor septim Stor sekst Kvint Kvart 4/3 Liten ters 6/5 Stor sekst = x  x  (6/5) = 2  x = 5/3 ……

Vi har fått en renstemt skala: dcefgahc’ c – d c – e c – f c – g c – a c – h c – c´ 1:2oktav 1:3/2kvint 1:15/8stor septim 1:9/8stor sekund 1:5/4stor ters 1:4/3kvart 1:5/3stor sekst Utrolig enkle brøker gir fin

Beregn de andre frekvensene: c Hz d - e - f - g - a - h - c´- Den renstemte skalaen 264  9/8 = 297 Hz 264  5/4 = 330 Hz 264  4/3 = 352 Hz 264  15/8 = 495 Hz 264  3/2 = 396 Hz 264  5/3 = 440 Hz 264  2 = 528 Hz

Beregning av streng-lengdene: For en streng på 0,72 meter får vi: c- hele strengen på 0,72 m d- e- f- g- a- h- c’- 0,72 m  4/5 = 0,58 m 0,72 m  3/4 = 0,54 m 0,72 m  2/3 = 0,48 m 0,72 m  3/5 = 0,43 m 0,72 m  8/15 = 0,38 m 0,72 m  1/2 = 0,36 m 0,72 m · 8/9 = 0,64 m

Vi kan også få resonans- svingninger i lufta inne i et rør: I dette eksempelet er lengden av luftsøylen lik 7 halve bølgelengder.

I utstillingen finner du en Marimba. Du kan måle lengden på rørene. Hva finner du ut? c c'

Lisa gikk til skolen: C D E F G G A A A A G F F F F E E D D D D C

Gubben Noah: CCCE DDDF EE DD C EEEEGF DDDDFE CCCE DDDF EE DD C

Twinkle, twinkle little star: CCGGAAG FFEEDDC GGFFEED CCGGAAG FFEEDDC

dcefgahc’ En oktav består av 12 halvtone-intervaller: Fra hvit til svart tangent: 5 stk fra svart til hvit tangent: 5 stk samt e – f og h – c’ 2 stk Halvtone-intervaller

Forholdet mellom frekvensen til en tone og foregående tone: c-d: (9/8) : 1= 9/8 d-e: (5/4) : (9/8)= 10/9 e-f: (4/3) : (5/4)= 16/15 f-g: (3/2) : (4/3)= 9/8 g-a: (5/3) : (3/2)= 10/9 a-h: (15/8) : (5/3)= 9/8 h-c’: 2 : (15/8)= 16/15 Vi ser at de to halvtone-intervallene e-f og h-c’ begge er lik 16/15. Men det er to ulike heltone-intervaller: 9/8 og 10/9. Dette gjør det vanskelig å skifte toneart, modulere, for eksempel fra dur til moll.

Den tempererte skalaen I den tempererte skalaen danner alle halvtone-intervallene en geometrisk tallfølge. Da det er 12 halvtone-intervaller i en oktav, får vi: k = (≈1,0595)

c ck3 ck3 ck ck ck2 ck2 ck4 ck4 ck5 ck5 ck6 ck6 ck8 ck8 c  k 10 ck7 ck7 ck9 ck9 c  k 11 c  k 12 c’

Forholdet mellom frekvensene: c – d c – e c – f c – g c – a c – h c – c´ Den tempererte skalaen Frekvensene er ledd i en geometrisk tallfølge med k = k 2 = ( ) 2 k 4 = ( ) 4 k 5 = ( ) 5 k 7 = ( ) 7 k 9 = ( ) 9 k 11 = ( ) 11 k 12 = ( ) 12 = 2 k, k 3, k 6, k 8 og k 10 er ”de svarte tangentene”.

Frekvensene i temperert skala Vi velger a = 440 Hz som utgangspunkt (k= ) c = d = e = f = g = a = 440 Hz h = c´= 440 Hz  k 2 = 493,88 Hz 440 Hz  k 3 = 523,25 Hz 440 Hz / k 2 = 392,00 Hz 440 Hz / k 4 = 349,23 Hz 440 Hz / k 5 = 329,63 Hz 440 Hz / k 7 = 293,66 Hz 440 Hz / k 9 = 261,63 Hz

Ton eTemperertRenstemt c261,63264 d293,66297 e329,63330 f349,23352 g392,00396 a440,00440 h493,88495 c’523,25528 Frekvensene i temperert og renstemt skala sammenlignet

Slik lyder skalaene: dcefgahc’ Først den tempererte skalaen: Så den renstemte skalaen:

Til slutt presenteres noen av leddene i en geometrisk tallfølge: Slutt