Matematikken i vg2 Kursinnhold Lærebøker Valgmuligheter

R1 – inngangsporten til realfagene Matematikk for realister Grunnlaget for spesiell studiekompetanse

Læreplanmål R1 - Algebra faktorisere polynomer ved hjelp av nullpunkter og polynomdivisjon, og bruke dette til å løse likninger og ulikheter med polynomer og rasjonale uttrykk omforme og forenkle sammensatte rasjonale funksjoner og andre symbolske uttrykk med og uten bruk av digitale hjelpemidler utlede de grunnleggende regnereglene for logaritmer, og bruke dem og potensreglene til å forenkle uttrykk og løse likninger og ulikheter gjøre rede for implikasjon og ekvivalens, og gjennomføre direkte og kontrapositive bevis

Algebra i Sinus R1 Repeterer mye fra 1T Gir elevene en grundig innføring i det nye stoffet Eget delkapittel om bevis Mange bevis i teksten Vanskelige bevis kommer til slutt i delkapitlene Elevene får bevis til skriftlig eksamen

Læreplanmål - sannsynlighetsregning gjøre rede for begrepene uavhengighet og betinget sannsynlighet, og utlede og anvende Bayes'setning på to hendelser drøfte kombinatoriske problemer knyttet til ordnede utvalg med og uten tilbakelegging og uordnede utvalg uten tilbakelegging, og bruke dette til å utlede regler for beregning av sannsynlighet

Sannsynlighetsregning i Sinus R1 Repeterer blant annet binomiske fordelinger fra 1T Omtrent samme omfangsom i 2MX

Læreplanmål - Geometri bruke linjer og sirkler som geometriske steder sammen med formlikhet og setningen om periferivinkler i geometriske resonnementer og beregninger utføre og analysere konstruksjoner definert av rette linjer, trekanter og sirkler i planet, med og uten bruk av dynamisk programvare utlede og bruke skjæringssetningene for høydene, halveringslinjene, midtnormalene og medianene i en trekant gjøre rede for forskjellige bevis for Pytagoras' setning, både matematisk og kulturhistorisk regne med vektorer i planet, både geometrisk som piler og analytisk på koordinatform beregne og analysere lengder og vinkler til å avgjøre parallellitet og ortogonalitet ved å kombinere regneregler for vektorer

Geometri i Sinus R1 Dynamisk programvare: GeoGebra Også støtte for annen programvare på sinus.cappelen.no Grundig gjennomgang av den klassiske geometrien Mye hjelp og støtte i den dynamiske programvaren på nettet Mange utforskningsoppgaver

Læreplanmål - funksjonslære gjøre rede for begrepene grenseverdi, kontinuitet og deriverbarhet, og gi eksempler på funksjoner som ikke er kontinuerlige eller deriverbare bruke formler for den deriverte til potens-, eksponential- og logaritmefunksjoner, og derivere summer, differanser, produkter, kvotienter og sammensetninger av disse funksjonene bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte forløpet til funksjoner og tolke de deriverte i modeller av praktiske situasjoner tegne grafer til funksjoner med og uten digitale hjelpemidler, og tolke grunnleggende egenskaper til en funksjon ved hjelp av grafen finne likningen for horisontale og vertikale asymptoter til rasjonale funksjoner og tegne asymptotene bruke vektorfunksjoner med parameterframstilling for en kurve i planet, tegne kurven og derivere vektorfunksjonen for å finne fart og akselerasjon

Hvordan blir kurset R1 Ikke mange tema – god konsentrasjon om hvert Elevene har lært mer i vg1 enn før. Kommer lengre enn i 2MX I Sinus R1 repeterer vi det viktigste fra 1T Boka Sinus R1 er omtrent av samme omfang som Sinus 1T R1 er 8 sider lengre, men den har 2 delkapitler mindre Elevene vil oppleve enn langt større overgang fra ungdomskolen til 1T enn fra 1T til R1

Kurset S1 Matematikk for samfunnsfagelever Var tenkt for elever som ikke har 1T fra vg1 Gir stoffet i 1T i en light-versjon Lite stoff som er nytt fra 1T Det er lov for elever med 1T fra vg1 å ta S1

Læreplanmål S1 - algebra regne med potenser, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver omforme en praktisk problemstilling til en likning, en ulikhet eller et likningssystem, løse det og vurdere løsningens gyldighet løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad, både ved regning og med digitale hjelpemidler regne med logaritmer og bruke dem til å forenkle uttrykk og løse eksponentiallikninger og logaritmelikninger bruke begrepene implikasjon og ekvivalens i matematisk argumentasjon

Læreplanmål - Lineær optimering modellere praktiske optimeringsproblemer i økonomi ved hjelp av lineære likninger og ulikheter gjøre rede for den geometriske tolkningen av det lineære optimeringsproblemet i to variabler løse lineære optimeringsproblemer grafisk, ved regning og med digitale hjelpemidler

Læreplanmål S1 - funksjonslære tegne grafen til polynomfunksjoner, eksponentialfunksjoner, potensfunksjoner og rasjonale funksjoner med lineær teller og nevner, både med og uten digitale hjelpemidler lage og tolke funksjoner som modellerer og beskriver praktiske problemstillinger i økonomi og samfunnsfag, analysere empiriske funksjoner og bruke regresjon til å finne en tilnærmet polynomfunksjon, potensfunksjon eller eksponentialfunksjon beregne nullpunkter og skjæringspunkter mellom grafer, både med og uten digitale hjelpemidler finne gjennomsnittlig veksthastighet for en funksjon ved regning og finne tilnærmingsverdier for momentan vekst i praktiske anvendelser gjøre rede for definisjonen av den deriverte, regne ut den deriverte til polynomfunksjoner og bruke den til å drøfte polynomfunksjoner

Læreplanmål S1 - Sannsynlighetsregning regne med binomialkoeffisienter og bygge opp Pascals talltrekant gjøre rede for ordnede utvalg med og uten tilbakelegging og uordnede utvalg uten tilbakelegging, og gjøre enkle sannsynlighetsberegninger knyttet til slike utvalg lage binomiske og hypergeometriske sannsynlighetsmodeller ut fra praktiske situasjoner, og regne med sannsynligheter for slike modeller

Hvordan blir kurset S1 Betydelig lettere enn 1T Stoff i 1T som ikke er med i S1: –Trigonometri, fullstendige kvadraters metode, derivasjon ved hjelp av definisjonen Nytt stoff i S1 som ikke er med i 1T –Lineær optimering, hypergeometrisk fordeling og noe mer modellbygging (regresjon) Sinus 1T: 310 sider og 68 delkapitler Sinus S1 teoridel: ca. 240 sider og 51 delkapitler Dette blir et 5-timerskurs med god tid og uten de store vanskelighetene

Fellesfaget 2P 3 timer per uke Et kurs for dem som har 1P fra vg1 og som ikke tar S1 eller R1 i vg2 Elever med 1T kan ta dette kurset i stedet for å ta 2T

Læreplan 2P: Tall og algebra i praksis regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammenhenger gjøre rede for noen plassverdisystemer og gi praktiske eksempler på slike gjøre suksessive renteberegninger og regne praktiske oppgaver med eksponentiell vekst

Sinus 2P Kapittel 1 Potenser og tallsystemer Potensregning med heltallige eksponenter Standardform Titallssystemet, totallssystemet, åttetallssystemet og sekstentallssystemet Kapittel 2 Prosent og eksponentiell vekst Repeter all prosentregningen fra 1P Prosentvis vekst i flere perioder Eksponentiell vekst

Læreplan 2P - statistikk planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser beregne kumulativ hyppighet, finne og drøfte sentralmål og spredningsmål representere data i tabeller og diagrammer og drøfte hensiktsmessighet og hvilke inntrykk ulike dataframstillinger kan gi gruppere data og beregne sentralmål for et gruppert datamateriale

Sinus 2P - Statistikk Kapittel 3 Statistikk Diagram: –kurvediagram, sektordiagram og søylediagram Sentralmål: –typetall, median og gjennomsnitt Spredningsmål: –variasjonsbredde, varians og standardavvik Klassedelt materiale –histogram, median og gjennomsnitt Samme statistikk som i gamle 1MA

Læreplan 2P - modellering foreta målinger i praktiske forsøk, formulere en enkel matematisk modell på grunnlag av de observerte dataene, bruke teknologiske verktøy i utforskning og modellbygging og vurdere modellen og dens gyldighet bruke matematikk i praktiske sammenhenger og vurdere matematikkens muligheter og begrensninger i forbindelse med beskrivelser og beslutninger

Sinus 2P - modellering Kapittel 4 Modellering Regresjon Felles stoff med S1 og 2T

Vurdering av kurset 2P Lite nytt stoff i vg2 Stoffet er matematisk enkelt Brukbar tid til å repetere 1P fra vg1 Sinus 2P teoridel: Ca. 100 sider og 27 delkapitler Alle som kommer seg gjennom 1P, klarer 2P også.

Fellesfaget 2T 3 timer per uke Et kurs for dem som har 1T fra vg1 og som ikke tar S1 eller R1 i vg2 Elever med 1P kan i teorien ta dette kurset i stedet for å ta 2P, men det går ikke i praksis

Læreplan 2T - Geometri gjøre rede for det geometriske bildet av vektorer som piler i planet og beregne sum, differens og skalarprodukt av vektorer og produktet av tall og vektor regne med vektorer i planet skrevet på koordinatform, beregne lengder, avstander og vinkler ved vektorregning og avgjøre når to vektorer er parallelle eller ortogonale tegne og beskrive kurver gitt på parameterform og beregne skjæringspunkter mellom slike kurver

Kommentarer til geometrien Inneholder nesten all vektorregningen fra R1 –Mangler bare å bestemme lengder av og vinkler mellom vektorer uten koordinater Inneholder i tillegg stoffet om parameterframstillinger fra dagens 2MX Krevende stoff for elever som ikke vil ta R1!

Læreplan 2T - sannsynlighetsregning gjøre rede for begrepene uavhengighet og betinget sannsynlighet og bruke Bayes’ setning på to hendelser beregne sannsynlighet ved ordnede utvalg med og uten tilbakelegging og ved uordnede utvalg uten tilbakelegging regne med binomiske og hypergeometriske sannsynligheter

Kommentarer til sannsynlighetsregningen I praksis samme sannsynlighetsregning som i R1

Læreplan 2T – Kultur og modeller formulere en matematisk modell på grunnlag av observerte data, bearbeide modeller, reflektere over resultat og framgangsmåte og vurdere modellens gyldighet bruke teknologiske verktøy i utforskning og modellbygging gjøre rede for begrepene implikasjon og ekvivalens, kjenne til vanlige matematiske bevistyper og argumentasjon og gjennomfore matematiske bevis gi eksempler fra matematikkens flerkulturelle historie og drøfte matematikkens betydning for naturvitenskap, teknologi, samfunnsliv og kultur

Vurdering av kurset 2T Det blir et svært krevende kurs Inneholder 3 av 8 kapitler av R1 og 1 kapittel fra S1 Vanskegraden er som for R1 Sinus 2T teoridel: 33 delkapitler og ca. 150 sider –Inneholder ingen repetisjon av 1T Sinus 2P teoridel: 27 delkapitler og ca. 100 sider –Inneholder repetisjon av en del av 1P Eksamen i både 1T og 2T Må repetere 1T gjennom året Vil de aktuelle elevene klare dette?

Hva bør elever velge i stedet for 2T? Alternativ I De flinkeste bør velge R1 Fordeler: På vei mot spesiell studiekompetanse Gir realfagspoeng Eksamen bare i stoffet fra vg2 5 timer per uke gir bedre læring Stoffet er ikke vanskeligere enn 2T De som klarer 2T, klarer også R1

Hva bør elever velge i stedet for 2T? Alternativ II De svakeste bør velge 2P! Fordeler: Mye lettere stoff Elever med 1T har all nødvendig forkunnskap for 2P Mindre pensum med mye mindre tidspress Ulemper: Elevene skal ha standpunktskarakter og skal opp til eksamen i 1P Stoff som ikke er med i 1T: Prosentregning, økonomi, indeksregning og praktisk geometri Prosentregningen blir repetert i Sinus 2P God tid til å gjennom resten i løpet av året

Hva bør elever velge i stedet for 2T? Alternativ III Resten bør velge S1! De som har 1T, klarer lett S1 med 3 timer undervisning per uke De bruker dermed de tre timene i 2T til å lese S1 i stedet for 2T! Fordeler: Lite nytt stoff som er ganske enkelt –Stort sett bare lineær optimering og matematiske modeller (mindre enn 60 sider i Sinus S1) God tid til å repetere resten Eksamen kun i stoff fra vg2 Ingen eksamen i de vanskeligste delene av 1T Realfagspoeng Kan fortsette med S2 som kan gi spesiell studiekompetanse Elevene får 5 timer på vitnemålet …

Matematikk X Et kurs på 3 uketimer i vg2 for elever som samtidig tar R1

Læreplan X - tallteori gjengi Euklids bevis for at det fins uendelig mange primtall, bruke Eratostenes’ såld til å finne primtall og gjøre rede for Fermat-tall og Mersenne-tall i den historiske jakten på primtall bruke kongruensregning til å analysere delelighet, løse lineære kongruenslikninger og avgjøre om enkle diofantiske likninger har løsninger gjøre rede for praktiske anvendelser av kongruensregning i kryptering og feilrettingskoder planlegge, utføre og presentere et selvstendig utforskende arbeid i et emne tilknyttet hovedområdet

Læreplanmål X – komplekse tall bruke de fire elementære regningsartene, rotutdragning, absoluttverdi og konjugasjonsreglene for komplekse tall, med og uten digitalt verktøy bruke geometrisk representasjon av komplekse tall, regne med komplekse tall på trigonometrisk form og på eksponentiell form og bruke de Moivres formel finne komplekse n-te røtter og løse førstegrads- og andregradslikninger med komplekse koeffisienter gjøre rede for og presentere hovedtrekk i de komplekse tallenes historie fra renessansen til Caspar Wessel

Læreplan X - statistikk gjøre rede for begrepene fordeling og stokastisk variabel for endelige utfallsrom, og finne forventning, varians og standardavvik for en stokastisk variabel gjøre rede for betydningen av normalfordelingene og regne ut sannsynligheter knyttet til dem bruke sentralgrensesetningen til å beregne sannsynligheter for summer av uavhengige stokastiske variabler og binomiske fordelinger planlegge, utføre og presentere en oppgave knyttet til statistiske anvendelser av sannsynlighetsregning i hypotesetesting eller utvalgsundersøkelser

Kontrollsiffer Personnummer, strekkoder, KID-nummer, ISBN-nummer inneholder alle noen ekstra siffer slik at vi kan finne ut om noe er feil tastet Et eksempel på slik kontroll: Paritetsbit på eldre pcer Alle tegn i en pc ble gjort om til et tall med sju 0 eller 1 (sju bits). A var det samme som , og a er Vi la til en ekstra bit til kontroll Ved like paritet skulle antallet enere alltid være et partall. Dermed ble A lagret som og a som Ved lesing av en bokstav ble feilen oppdaget hvis det var feil i én bit. Antallet enere blir da et oddetall. Symbolet ble da sendt på nytt.

Selvrettende koder Utviklet Anvendelser: Kommunikasjon med romfartøyer CD-plater

Hammingkoden Vi deler en sending opp i fire og fire biter som vi kaller b1, b2, b3 og b4. Vi skal sende koden Her er b1 = 1, b2 = 0, b3 = 1 og b4 = 1. Vi legger nå til tre kontrollbiter k1, k2 og k3. Disse bitene er bestemt ved at b1 + b2 + b3 + k1 er et partall b2 + b3 + b4 + k2 er et partall b1 + b3 + b4 + k3 er et partall Da må k1 = 0, k2 = 0 og k3 = 1. Vi sender koden Det oppstår en feil under sendingen og vi mottar Hvordan kan vi oppdage og rette feilen?

Hammingkoden Vi har mottatt og skal kontrollere sendingen. Da er b1 + b2 + b3 + k1 = = 2 b2 + b3 + b4 + k2 = = 1 b1 + b3 + b4 + k3 = = 3 Alle summene skal være partall. Det er dermed feil linje 2 og 3. Feilen må da være i b4 som da må være 1. Vi skulle ha mottatt Meldingen er Systemet retter alle feil på tilsvarende måte hvis det bare er én feil i sendingen.

Reed-solomon-koden Vi tenker oss en kode er satt sammen av 31 symboler som vi kaller A, B, C; …, Æ, Ø, Å, # og §. Hvert symbol får en tallverdi. Vi setter A = 1, B = 2 osv. Signalet blir så delt inn i ord med fire bokstaver som vi kaller b1, b2, b3 og b4. Vi legger på to kontrollsymboler k1 og k2 som vi setter foran meldingen. De er bestemt ved at k1 + k2 + b1 + b2 + b3 + b4  0 (mod 31) k2 + 2  b1 + 3  b2 + 4  b3 + 5  b4  0 (mod 31) Begge summene skal gi resten 0 når vi dividerer med 31

Kontrollsifrene i reed-solomon-koden Så skal vi sende koden ALLE. Det gir b1 = A = 1b2 = L = 12b3 = L = 12b4 = E = 5 Da er 2  b1 + 3  b2 + 4  b3 + 5  b4 = 2     5 = 111 Nå skal k2 + 2  b1 + 3  b2 + 4  b3 + 5  b4 gi rest 0 når vi dividerer med 31. Da må k = 4  31 Dermed er k2 = 13 som svarer til bokstaven M.

Kontrollsifrene i reed-solomon-koden Summen k1 + k2 + b1 + b2 + b3 + b4 skal gi resten 0 når vi dividerer med 31. Da må k = n  31 k = 2  31 k1 = 19 Dermed er k1 = 19, som svarer til bokstaven S. Vi sender koden SMALLE.

Feilretting i reed-solomon-koden Det blir en feil i sendingen. Vi mottar koden SMALLA. Da er k1 + k2 + b1 + b2 + b3 + b4 = = er ikke i 31-gangen og sendingen inneholder dermed en feil Nå er 31  2 = 62 og summen ovenfor er da 4 for lav. Ett av tallene er 4 for lavt. Men hvilket?

Feilretting i reed-solomon-koden Kravet er at k2 + 2  b1 + 3  b2 + 4  b3 + 5  b4  0 (mod 31) La x være multiplikatoren til tallet som er 4 for lavt. Da må     5 + x  4  0 (mod 31) x  0 (mod 31) 4x   104 (mod 31) 4x    31 (mod 31) 4x  20 (mod 31) x = 5 Det er b4 som har multiplikator 5 og det er da 4 for lavt. Det gir b4 = = 5, som er E. Riktig sending er SMALLE, og koden er ALLE.

Engangsboka 1P En forenklet utgave av Sinus 1P Samme delkapitlene som i Sinus 1P Siste delen av delkapitlene noen ganger tatt bort Elevene skriver i boka Teoristoffet inneholder ferdig førte eksempler Den første oppgaven er nesten ferdig ført I de andre er oppgavene er det gradvis mindre hjelp Elevene bruker i tillegg coSinus 1P og regner kategori 1. Her skal elevene regne helt på egen hånd.

Tanken bak engangsboka Skape mestringsglede og bygge selvtillit Hjelpe elever med konsentrasjonsproblemer Gradvis sette dem i stand til å arbeide på egenhånd Hjelpe elever til å stå i faget Hjelpe læreren til å få tid til alle elever Disse elevene trenger variasjon i løpet av en time –Løse oppgaver med hjelp –Løse oppgaver uten hjelp –Bruke nettsidene sinus.cappelen.no