Pytagoras’ setning Undervisningsopplegg laget av Johan Nygaard for Vitenfabrikken i Sandnes

Pytagoras Pytagoras levde ca 569 –475 f.Kr. Pytagoras forsøkte seg som lærer på hjemstedet. Han arbeidet med både matematikk, musikk og filosofi, og han fikk mange elever. Han var født og vokste opp på den greske øya Samos i Egeerhavet. Han kom etter hvert på kant med den lokale herskeren, og han flyttet derfor til Croton i Sør-Italia. Her bodde han hos sin venn Milo, og han giftet seg med Milos datter Teano.

< Croton Samos >

I Croton grunnla Pytagoras en skole og et filosofisk og religiøst brorskap som ble kalt ”Det pytagoreiske samfunn”. Medlemmene ble kalt pytagoreerne, og de studerte filosofi, matematikk, astronomi og musikk. De "innerste" medlemmene av samfunnet bodde alltid sammen med Pytagoras. De måtte være vegetarianere, og de fikk ikke ha personlige eiendeler. Pytagoreerne forsøkte å holde arbeidet sitt mest mulig hemmelig, men de fikk likevel stor innflytelse på antikkens filosofi. Det pytagoreiske samfunn

Pentagrammet ble pytagoreernes hemmelige tegn. Det består av diagonalene i en regulær femkant. Vi henter noen linjestykker fra pentagrammet: Dersom vi dividerer en av disse lengdene med den påfølgende lengden, får vi det gylne snitt.

Pytagoras Pytagoras sa: ”Alt er tall.” Nå benytter vi arabiske tall. Pytagoras brukte greske tall (bokstaver). Greske tall på Abel-loftet

Pytagoras Pytagoras kalte noen tall for perfekte tall. Et tall kalles perfekt hvis summen av alle tall som går opp i tallet, blir lik tallet selv. De tre neste perfekte tallene er 28, 496 og Et eksempel er 6, fordi 1+2+3=6. Perfekte tall ( =28 og =496)

Pytagoras Pytagoreerne oppdaget også noe de kalte for vennlige tallpar: 220 kan divideres med 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, og 110. Summen av disse blir 284. Andre vennlige tallpar er: 1184 og 1210, og 18416, og og 284 kalles derfor et vennlig tallpar. 284 kan divideres med 1, 2, 4, 71 og 142. Summen av disse blir 220.

Pytagoras Pytagoras mente at alle tall kunne skrives som brøker eller desimaltall, altså rasjonale tall. Pytagoreerne hadde problemer med å akseptere at det fantes tall som ikke var rasjonale, som for eksempel: Slike tall kaller vi for irrasjonale tall. og π. Rasjonale og irrasjonale tall

Tall-linjen ,23-5/2 π

Naturlige tall Hele tall Rasjonale tall Reelle tall (rasjonale + irrasjonale tall) Tallene på tallinja deles inn i grupper: 1, 2, 3, 4… … , ,895 π e

Pytagoras Pytagoreerne fant ut at når vi spiller på en streng, vil tonene lyde harmonisk dersom vi endrer strengens lengde med brøkdeler som for eksempel: 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 8/9. 1· L c 1/2· L c’ 2/3· L g Den pyatgoreiske skalaen har gitt gjenlyd helt opp til vår tids musikk. 4/5· L e L

Pytagoras Pytagoras’ setning: ”I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene på katetene.” Sammenhengen mellom lengdene av sidene i en rettvinklet trekant var imidlertid kjent lenge før Pytagoras' tid. Både de gamle babylonerne og kineserne kjente til og brukte setningen. Pytagoras var mest kjent for

Pytagoras’ setning. a b c Katet Hypotenus Rett vinkel 90 o

Pytagoras’ setning. a a a2a2 b b b2b2 c c c2c2 I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene på katetene: a 2 + b 2 = c 2

På Abel-loftet finnes et puslespill som viser at Pytagoras sin setning er riktig.

Puslespill

Eksempel på bruk av Pytagoras’ setning. a=4 b=3 c=? a 2 + b 2 = c 2 gir oss følgende utregning: c 2 = = = 25 og dermed Når vi kjenner to av sidene kan vi regne ut den tredje siden.

Et tau med knuter kan brukes til å lage 90 o 12 knuter med lik avstand

Et tau med knuter kan brukes til å lage 90 o 12 knuter med lik avstand o

Eksempel nr 2 på bruk av Pytagoras’ setning. a=? b=5,4 c=14,7 a 2 = c 2 – b 2 gir oss følgende utregning: a 2 = 14,7 2 – 5,4 2 = 216,09 – 29,16 = 186,93 og dermed Når vi kjenner to av sidene kan vi regne ut den tredje siden.

Bevis for Pytagoras’ setning. a a a2a2 b b b2b2 c c c2c2 a-b Areal av en trekant: a·b 2

Et rektangel og et parallellogram med samme grunnlinje og høyde har samme areal: A=g·h h g

Geometrisk bevis for Pytagoras’ setning. Et parallellogram og et rektangel med samme grunnlinje og samme høyde har samme areal.

Konstruksjon av = 1, …….

Konstruksjon av = 2, …….

På Abel-loftet finnes en ”hengslemodell” som viser at Pytagoras sin setning er riktig.

Hengsle-modellen

Pytagoreiske tripler Trippelet (5,12,13) passer også: = 13 2 Kan du finne flere tripler? Katet Hypotenus Her noen: Tall-trippelet (3,4,5) passer i Pytagoras’ setning fordi: = 5 2 Det finnes uendelig mange tripler som passer.

Fermat’s siste setning: Det finnes ingen positive heltall (a,b,c) som passer i likningen a n + b n = c n når n > 2. På 1600-tallet framsatte Pierre de Fermat sin berømte påstand: Denne påstanden ble først bevist i 1995 av den britiske matematikeren Andrew Wiles. Beviset er på over 130 sider, og det er meget vanskelig. Hvor mange tall-tripler passer i likningene a 3 + b 3 = c 3 eller a 4 + b 4 = c 4 ?

Slutt