Laplace Invers transformasjon Residue

Presentasjon om: "Laplace Invers transformasjon Residue"— Utskrift av presentasjonen:

1 Laplace Invers transformasjon Residue

2 Laplace Invers Laplace transformasjon Residue - Teorem
Ved invers Laplace transformasjon skal integrasjonen foregå rundt alle polene til F(s)

3 Laplace Invers Laplace transformasjon Residue - Bevis
Ved invers Laplace transformasjon skal integrasjonen foregå rundt alle polene til F(s). 3

4 Laplace Invers Laplace transformasjon Residue - Integrasjon rundt poler
Ved invers Laplace transformasjon skal integrasjonen foregå rundt alle polene til F(s). Vi skal vise at integrasjon rundt alle polene til F(s) er ekvivalent med sum av integral-bidrag rundt hver av polene. Derfor er det av interesse å se nærmere på integrasjon rundt en pol. 4

5 Laplace Integrasjon rundt en pol Vektorbetraktninger
Vektor-addisjon Komplekse tall Komplekse tall kan betraktes som vektorer med to komponenter (real- og imaginær-del) 5

6 Laplace Integrasjon rundt en pol Enkeltpol
Merk at integrasjonen er uavhengig av radien A. Generelt vil integrasjonenvære uavhengig av veien rundt polen forutsatt at veien ikke inkluderer andre poler i tillegg. 6

7 Laplace Integrasjon utenom en pol
7

8 Laplace Integrasjon rundt poler Residue-beregning
Pa Pb Integrasjon rundt begge polene. Kanseleres på de stiplede linjene. G(s)/(s-b) er tilnærmet konstant lik residuet Ra = G(a)/(a-b) ved integrasjon rundt Pa. G(s)/(s-a) er tilnærmet konstant lik residuet Rb = G(b)/(b-a) ved integrasjon rundt Pb. 8

9 Laplace Cauchys residue teorem
Hvis C er en enkel lukket, positiv orientert kurve og f er analytisk innenfor og på C unntatt i punktene z1, z2, …, zn innenfor C, så har vi: Hvis f har en pol av orden m i z0, så har vi: 9

10 Laplace Eksponential-funksjon Invers transformasjon - Residueberegning - Eks 1
Im x Re -1 Bruk av Residue-beregning i det komplekse plan:

11 Laplace Eksponential-funksjon Invers transformasjon - Residueberegning - Eks 2
Im x x Re -2 1 11

12 Laplace tn Invers transformasjon - Residueberegning - Eks 3
Im x Re 12

13 END