Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

1 Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling Notater til forelesninger over: Kapittel 4: ”Geometric Objects and Transformations” i: Edward Angel:

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "1 Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling Notater til forelesninger over: Kapittel 4: ”Geometric Objects and Transformations” i: Edward Angel:"— Utskrift av presentasjonen:

1 1 Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling Notater til forelesninger over: Kapittel 4: ”Geometric Objects and Transformations” i: Edward Angel: ”Interactive Computer Graphics” Vårsemesteret 2002 Torbjørn Hallgren Institutt for datateknikk og informasjonsvitenskap Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet

2 2 Geometriske transformasjoner n Flytting og endring av objekter modellert i egne koordinatsystemer n Sette sammen objekter av delobjekter n Endring av koordinatsystem Også kalt: Modelleringstransformasjoner Koordinattransformasjoner

3 3 Plan n Basistransformasjonene n Problem: –Konstatere problem –Løse problemet –Basistransformasjonene på nytt n Rotasjoner rundt vilkårlig akse Stoff for mer enn en dobbelttime

4 4 Geometriske transformasjoner n Skalering n Rotasjon Basistransformasjoner n Translasjon n Skjærtransformasjoner n Refleksjon

5 5 Skalering 3 x 2 x Skalering relativt origo. (Referansepunkt: origo)

6 6 Skalering På matriseform:

7 7 Rotasjon x y Rotasjon i planet om origo. (Referansepunkt: origo) Rotasjonsvinkel:

8 8 Rotasjon Ser på rotasjon av ett punkt: x y (x,y) (x’,y’)

9 9 Rotasjon På matriseform: Rotasjon i x-y-planet kan sees på som rotasjon om z-aksen med konstant z. I 3D blir da matriseformen:

10 10 Rotasjon På samme måte: rotasjon om x-aksen: Rotasjon om y-aksen:

11 11 Rotasjon Syklisk ombytting som grunnlag for rotasjons- matrisene om x- og y-aksene: x -> y y -> z z -> x x -> y -> z y -> z -> x z -> x -> y

12 12 Rotasjon Enhver rotasjon kan sees på som sammensatt av en rotasjon om hver av koordinataksene.

13 13 Translasjon x y (x,y) (x’,y’)

14 14 Translasjon På vektorform: PROBLEM: lar seg ikke skrive på matriseform ved hjelp av en 3x3-matrise!!

15 15 Affine rom Ved hjelp av homogene koordinater: n Hjelper oss å skille mellom de geometriske entitetene: –punkt og –vektorer n Ordner opp med translasjons-problemet

16 16 Punkt og vektorer -Punkt er steder i rommet -Vektorer har lengde og retning, men er IKKE stedfestet

17 17 Koordinatsystemer x y zEt koordinatsystem er et vektorrom spent ut av en basis bestående av tre ortonormale enhetsvektorer. For å kunne angi koordinater, har vi i tillegg et origo

18 18 Vektorrom n En mengde av vektorer med gyldige operasjoner: –addisjon –skalar multiplikasjon n og med følgende egenskaper: –u + v = v + u(kommutativ) –( u + v ) + w = u + ( v + w )(assosiativ) –u + 0 = u(nullvektor) –a + ( -a ) = 0 –ß ( u + v ) = ß u + ß v(distributiv) –( ß + µ ) u = ß u + µ u(distributiv) –ß ( µ u ) = ( ß µ ) u(assosiativ) –1 u = u u, v og w er vektorer. ß og µ er skalarer

19 19 Vektorrom og affine rom Vektorrom: n Vektorrom av dimensjon n har en basis bestående av n lineært uavhengige vektorer: v 1, v 2, v 3, …, v n Affine rom: n For affine rom inngår i tillegg et referanse-punkt slik at basis blir: v 1, v 2, v 3, …, v n, P 0

20 20 Affine rom n Tilleggsegenskap for affine rom: v = P - Q(punkt-punkt subtraksjon gir en vektor) Q = v + P(vektor-punkt sum gir et punkt) n Begrepet koordinatsystem erstattes med begrepet frame

21 21 Affine rom n Vektorer i det affine rommet: med ”representasjonen”:

22 22 Affine rom n Punkt i det affine rommet: med ”representasjonen”:

23 23 Homogene koordinater n Punkt: n Vektorer:

24 24 Skalering På matriseform med homogene koordinater:

25 25 Rotasjon

26 26 Rotasjon Om z-aksen på matriseform i homogene koordinater:

27 27 Rotasjon Rotasjon om x-aksen i homogene koordinater: Rotasjon om y-aksen i homogene koordinater:

28 28 Translasjon På matriseform i homogene koordinater: Vi har løst problemet!!

29 29 Egenskaper ved skalering Invers transformasjon: To skaleringer etter hverandre:

30 30 Egenskaper ved rotasjon Invers transformasjon: To rotasjoner om samme akse etter hverandre: Ortogonalitet:

31 31 Egenskaper ved translasjon Invers transformasjon: To translasjoner etter hverandre:

32 32 Rotasjon om punkt utenfor origo x y (x,y,z) Rotasjonsakse parallell med z-aksen 1. Translere slik at rotasjonsaksen faller langs z-aksen 2. Rotere 3. Translere tilbake

33 33 Konkatenering Sammenslåing av transformasjoner Eks.: punktet p gjennomgår transformasjonene A, B og C i nevnte rekkefølge: p’=Ap p’’=Bp’=BAp p’’’=Cp’’=CBAp Resultattransformasjon: M=CBA TRANSFORMASJONENE KONKATENERES I MOTSATT REKKEFØLGE I FORHOLD TIL REKKEFØLGEN DE UTFØRES I

34 34 Rotasjon om vilkårlig akse x y z P Q Rotere vinkelen ß om aksen gjennom punktene P og Q

35 35 Rotasjon om vilkårlig akse Plan: 1.Translere slik at Q faller i origo 2.”Svinge” rotasjonsaksen inn i x-z-planet 3. ”Svinge” rotasjonsaksen slik at den faller sammen med z-aksen 4.Rotere vinkelen ß om z-aksen 5.Invers av 3 6.Invers av 2 7. Invers av 1

36 36 Rotasjon om vilkårlig akse x y z P Q’, og Retningsvinkler: Steg 1 - translasjon av rotasjonsaksen Q

37 37 Rotasjon om vilkårlig akse Nyttig for ”fremtidig bruk” - enhetsvektor i rotasjons- akseretningen: Vektor i retningen: Enhetsvektor:

38 38 Rotasjon om vilkårlig akse retningskosinuser

39 39 Rotasjon om vilkårlig akse x y z Q’ Steg 2 - ”svinge” rotasjonsaksen inn i x-z-planet v d

40 40 Rotasjon om vilkårlig akse v x z Steg 3 - svinge rotasjonsaksen slik at den faller sammen med z-aksen

41 41 Rotasjon om vilkårlig akse Transformasjonene for stegen 1 og 2 blir etter dette:

42 42 Rotasjon om vilkårlig akse Transformasjonene for stegen 3 og 4 blir etter dette:

43 43 Rotasjon om vilkårlig akse Den fullstendige transformasjonen blir:

44 44 Basistransformasjonene Enhver kombinasjon av basistransformasjonene resulterer i en transformasjonsmatrise av formen: Affine transformasjoner Affine transformasjoner bevarer parallellitet (alle tre basistransformasjonene) Stive transformasjoner bevarer i tillegg størrelse og vinkler (rotasjon og translasjon)

45 45 Skifte av koordinatsystem x y z u v n Kjenner koordinatene i xyz-systemet. Søker koordinatene i uvn-systemet: P uvn =M uvn<-xyz P xyz

46 46 Skifte av koordinatsystem n Ser på uvn-systemet som et objekt skapt i xyz- systemet med akser sammenfallende med xyz- systemets akser n Transformasjon til nåværende posisjon med matrisen M –Referansen til et punkt i ”uvn-objektet i sin endelige posisjon” referert til xyz-system: [ x’ y’ z’ 1 ] T som tilsvarer P xyz –Referansen til det samme punktet i sin opprinnelige posisjon i xyz-systemet: [ x y z 1 ] T = [ u v n 1 ] T som tilsvarer P uvn

47 47 Skifte av koordinatsystem n Vi får: P xyz = M P uvn P uvn = M -1 P xyz M uvn<-xyz = M -1 n Konklusjonen er: –Matrisen for transformasjon av koordinater i xyz-systemet til koordinater i uvn-systemet kommer fram av den transformasjonen som skal til for at uvn-systemet flyttes slik at dets akser faller sammen med xyz-systemets

48 48 Ortogonale matriser n Definisjon av ortogonal matrise: n Teorem: –En reell kvadratisk matrise er ortogonal hvis og bare hvis kolonnevektorene og radvektorene hver for seg danner ortonormale systemer

49 49 Ortogonale matriser n Rotasjonsmatrisen:

50 50 Ortogonale matriser Dette koordinatsystemet kan være ett som er forankret på en intelligent måte i vårt objekt som skal roteres

51 51 Ortogonale matriser x y z P Q Rotere vinkelen ß om aksen gjennom punktene P og Q u v n Vesentlig: En av enhetsvektorene legges langs rotasjonsaksen. De to andre enhetsvektorene kan velges fritt slik det er mest hensiktsmessig så lenge de tre danner et ortonormalt system

52 52 Ortogonale matriser Rotasjonsaksen vil nå ligge langs en av koordinataksene (langs x-aksen dersom enhetsvektoren u ble lagt langs rotasjonsaksen)

53 53 Ortogonale matriser Systemet av ortonormale vektorer er tilbake på sin opprinnelige plass. Rotasjonen er fullført


Laste ned ppt "1 Forelesningsnotater SIF8039/ Grafisk databehandling Notater til forelesninger over: Kapittel 4: ”Geometric Objects and Transformations” i: Edward Angel:"

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google