Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

VektorfeltVektorfelt. Vektorfelt Innledning F F r Matematikk som bl.a. ingeniører og fysikere kan benytte til å beskrive / studere: - Væskestrøm i rør,

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "VektorfeltVektorfelt. Vektorfelt Innledning F F r Matematikk som bl.a. ingeniører og fysikere kan benytte til å beskrive / studere: - Væskestrøm i rør,"— Utskrift av presentasjonen:

1 VektorfeltVektorfelt

2 Vektorfelt Innledning F F r Matematikk som bl.a. ingeniører og fysikere kan benytte til å beskrive / studere: - Væskestrøm i rør, blodårer, hjertekamre - Varmestrøm - Transmisjonskabler - Gravitasjon - Elektromagnetisme - Mobilkommunikasjon - Statistikk - …

3 Vektorfelt Innhold Linje-integral Vektorfelt, arbeid, sirkulasjon of fluks Vei-uavhengighet, potensial-funksjon, og konservative felt Flate-integraler og flate-areal Parameteriserte flater Greens teorem Stokes teorem Divergens teorem

4 Vektorfelt Def Værkart Skrått kast Gravistasjonsfelt Elektrisk / Magnetisk felt Flyvinge Væskestrøm Et vektorfelt er en funksjon som til hvert punkt i sitt domene (def.mengde) tilordner en vektor

5 Vektorfelt Maxwells ligninger

6 Kurve-integral Def x y z a b r(t) C C en kurve i rommet r = r(t) en glatt parameterfremstilling av kurven C f en kontinuerlig funksjon på C Hvis f er massetetthet, så beregner vi massen av kurven Hvis f er lik 1, så beregner vi lengden av kurven

7 Kurve-integral Eks 1 x y z C Integrer f(x,y,z) = x – 3y 2 + z over linjesegmentet C som forbinder origo med punktet (1,1,1) (1,1,1) En glatt parameterisering av C

8 Kurve-integral Eks 2 Finn massen av wiren r(t) = [t,t 2 ] t  [0,2] Massetettheten er  (x,y) = 2x y C x

9 Kurve-integral Masse - Massesenter - Treghetsmoment Masse Første moment om koordinatplan Massesenter Treghetsmoment Gyrasjonsradius

10 Kurve-integral Massesenter - Eks Bestem massesenteret til en halvsirkel-periferi y 2 +z 2 = 1 z  0 Massetettheten er gitt ved:  (x,y,z) = 2 - z

11 Arbeid Innledning F s F s F ds F r dr C Konstant kraft i samme retning som rettlinjet forflytning Konstant kraft danner en konstant vinkel med rettlinjet forflytning Varierende kraft danner en varierende vinkel med rettlinjet forflytning Varierende kraft danner en varierende vinkel med forflytning langs en kurve

12 Arbeid Def F r dr TC

13 Arbeid Alternative former F = [ F 1, F 2, F 3 ] r = [ x, y, z ] dr TC

14 Arbeid Eks 1 - Alternativ 1 x y z C Bestem arbeidet utført av kraften F = [ 2x, y, 3 ] langs den rette linjen fra (0,0,0) til (1,2,3) (1,2,3) En glatt parameterisering av C

15 Arbeid Eks 1 - Alternativ 2 x y z C Bestem arbeidet utført av kraften F = [ 2x, y, 3 ] langs den rette linjen fra (0,0,0) til (1,2,3) (1,2,3) En glatt parameterisering av C

16 Arbeid Eks 1 - Alternativ 3 x y z C Bestem arbeidet utført av kraften F = [ 2x, y, 3 ] langs den rette linjen fra (0,0,0) til (1,2,3) (1,2,3) En glatt parameterisering av C

17 Arbeid Eks 2 - Alternativ 1 x y z C Bestem arbeidet utført av kraften F = [ y - x 2, z - y 2, x - z 2 ] langs kurven r(t) = [ t, t 2, t 3 ] 0  t  1 (1,1,1) En glatt parameterisering av C

18 Arbeid Eks 2 - Alternativ 2 x y z C Bestem arbeidet utført av kraften F = [ y - x 2, z - y 2, x - z 2 ] langs kurven r(t) = [ t, t 2, t 3 ] 0  t  1 (1,1,1) En glatt parameterisering av C

19 Strømning og Fluks 2D - Innledning F T Studier av et vektorfelt F i retning langs enhetstangentvektoren T Strømning n C Studier av et vektorfelt F i retning langs enhetsnormalvektoren n Fluks F C

20 Strømning 2D - Def F r dr TC F representerer et kontinuerlig vektorfelt r en glatt parameterisering av C C Strømningen S kalles en sirkulasjon hvis kurven C er lukket Strømning

21 Strømning 2D - Alternative former F r dr TC F representerer et kontinuerlig vektorfelt r en glatt parameterisering av C Strømning

22 Fluks 2D - Def k n T C F = [ F 1, F 2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt C glatt kurve i domenet (def.mengden til F) n normal (i planet) til C Fluks i retning n F Fluks beskriver feltlinjers krysning med en kurve C. Når positiv retning på C er valgt ( T ), bestemmes positiv fluks ved at feltlinjene har komponent i retning av enhetsnormalen n gitt ved: n = T x k

23 Fluks 2D - Alternative former Fluks i retning n k n T C F Fluks beskriver feltlinjers krysning med en kurve C. Når positiv retning på C er valgt ( T ), bestemmes positiv fluks ved at feltlinjene har komponent i retning av enhetsnormalen n gitt ved: n = T x k F = [ F 1, F 2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt C glatt kurve i domenet (def.mengden til F) n normal (i planet) til C

24 Fluks 2D - Lukket kurve Fluks i retning n k n T C F Med definisjon av fluks, ser vi at for en lukket kurve i xy-planet med positiv omløpsretning mot urviseren, vil enhetsnormalen n alltid peke ut av det omsluttede kurve-området. Dermed vil nettofluksen som krysser kurven være positiv når det går mer fluks ut enn inn av det omsluttede kurve-området. F = [ F 1, F 2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt C glatt kurve i domenet (def.mengden til F) n normal (i planet) til C

25 Strømning - Fluks 2D - Oppsummering Fluks Strømning k n T C F k T C F F F

26 Strømning Eks: Flytting av partikkel i tyngdefelt ss g gTyngdefelt (tyngdeakselerasjon) mMasse av partikkel som skal flyttes Arbeid utført av tyngdefeltet ved flytting av partikkelen over en strekning  s av linjestykket C: Vektorfelt: T Strømning: Arbeid utført av tyngdefeltet ved flytting av partikkelen langs kurven C C ss T C g C g T g

27 Strømning Eks: Flytting av ladning i elektrisk felt ss E EElektrisk felt qLadning på partikkel som skal flyttes Arbeid utført av det elektriske feltet ved flytting av den ladde partikkelen over en strekning  s av linjestykket C: Vektorfelt: T dsds C Strømning: Arbeid utført av det elektriske feltet ved flytting av partikkelen langs kurven C C ss E T C E T

28 Fluks Eks: Vannmengde som passerer en linje / kurve ss  l = v  t v vVannhastighet  Vanntetthet (masse pr areal) Vannmengde som pr tidsenhet passerer over en strekning  s av linjestykket C: C Vektorfelt: ss  l = v  t v C n dsds v n C Fluks: Vannmengde som pr tidsenhet passerer en kurve C

29 ENDEND


Laste ned ppt "VektorfeltVektorfelt. Vektorfelt Innledning F F r Matematikk som bl.a. ingeniører og fysikere kan benytte til å beskrive / studere: - Væskestrøm i rør,"

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google