Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

MAT6 REPETISJON Kap 1 og 2 Laila.  Hvis og bare hvis Derav følger Både /og Eller / og For alle Tilhører mengden Det eksisterer Tilhører.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "MAT6 REPETISJON Kap 1 og 2 Laila.  Hvis og bare hvis Derav følger Både /og Eller / og For alle Tilhører mengden Det eksisterer Tilhører."— Utskrift av presentasjonen:

1 MAT6 REPETISJON Kap 1 og 2 Laila

2  Hvis og bare hvis Derav følger Både /og Eller / og For alle Tilhører mengden Det eksisterer Tilhører ikke mengden Det eksisterer ikke Matematiske symboler

3 2Dax + by = c  a, b, c  R Representerer en rett linje i planet Lineære ligninger 3Dax + by +cz = d  a, b, c, d  R Representerer et plan i R 3

4 a A B 2D vektor i standard posisjon a = (x y) (x y) Lengde: |a| =  x 2 + y 2

5 a = (x y z) 3D vektor i standard posisjon x y z a Lengde: |a| =  x 2 + y 2 + z 2

6 a i j A B Enhetsvektorer Dekomponeringa = xi + yj a = (x y) OA = x  OB = y (x y) i, j er en basis for R 2

7 a b v v = xa + yb (x y) Hvilke som helst vektorer i R 2 kan være basis

8 akaka A = (x y)  ka = (kx ky) Lineært avhengige vektorer Den ene kan skrives som et tall ganger den andre a b a og b er ikke lineært avhengige

9 Prikkprodukt av to vektorer a = ( a 1 a 2 ) b = ( b 1 b 2 ) a  b = |a| |b| cos  2D Koordinatform a = ( a 1 a 2 a 3 ) b = ( b 1 b 2 b 3 ) 3D a  b = a 1 b 1 + a 2 b 2 a  b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a b  a  b = 0  | a | = 0  | b | = 0   = 90  dvs a  b

10 Vinkel mellom to vektorer a  b = |a| |b| cos   a b 

11 Q v P p x O Vektorligning linje x = x 0 + v 1 t y = y 0 + v 2 t Parameterfremstilling P = ( x 0 y 0 ), Q = ( x y ) ( x y ) = ( x 0 y 0 ) + t  ( v 1 v 2 ) Rett linje på vektorform 2D

12 X v P p x O Vektorligning linje x = x 0 + v 1 t y = y 0 + v 2 t z = z 0 + v 3 t Parameterfremstilling P = ( x 0 y 0 z 0 ), X = ( x y z) ( x y z) = ( x 0 y 0 z 0 ) + t  ( v 1 v 2 v 3 ) Rett linje på vektorform 3D x = p + tv Koordinatform PX = tv

13 u v X P p x P = ( x 0 y 0 z 0 ), X = ( x y z) Parameterfremstilling for et plan i R 3 u = ( u 1 u 2 u 3 ) v = ( v 1 v 2 v 3 ) u || v PX = su + tv Vektorligning ( x y z) = ( x 0 y 0 z 0 ) + s  ( u 1 u 2 u 3 ) + t  ( v 1 v 2 v 3 ) x = p + su + tv Koordinatform x = x 0 + u 1 s +v 1 t y = y 0 + u 2 s + v 2 t z = z 0 + u 3 s + v 3 t Parameterfremstilling

14 Ligning for et plan i R 3 Et plan er fullstendig bestemt ved et punkt og retningsvektor for planets normal Punkt: p = ( p 1, p 2, p 3 ) Vektor: n = (n 1, n 2, n 3 ) n   x y z  n Fritt valgt punkt i planet  : x = ( x, y, z ) Vektor i planet:x - p x - p  n  ( x - p) · n = 0 Ligning for  :x · n = p · n p x x-p

15 NB!Ligningen for x-aksen x = t y = 0 z = 0 Tilsvarende for y-, og z-aksen Ligning for xy-planet:z = 0 Tilsvarende for yz-, og xz-planet

16 DimensjonVektorNotasjonGeometrisk 1a = ( a 1 ) RRett linje 2a = ( a 1 a 2 ) R2R2 Plan 3a = ( a 1 a 2 a 3 ) R3R3 3D rom 4a = ( a 1 a 2 a 3 a 4 ) R4R4 4D rom na = ( a 1 a 2 …….. a n ) RnRn nD rom Vektorrom

17 Lineærkombinasjonx 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 +……. + x n a n = b Generelt vektorrom V 1. a  V  ka  V  k  R 2. a 1, a 2  V  a 1 + a 2  V 3.  0 = a - a  V

18 Er R 2 et generelt vektorrom? a i j A B a = xi + yj  R 2  x, y, z, w b = zi + wj (x y) b a + b  R 2  x, y, z, w Nullelement: 0 (nullvektor)

19 a = ( a 1 a a n ) b = ( b 1 b b n ) Prikkprodukta · b = a 1 b 1 + a 2 b a n b n Lengden av en vektora · a = a 1 a 1 + a 2 a a n a n = a a a n 2 = a 2 = | a | 2 | a | =  a a a n 2 Operasjoner på n-dim vektorer

20 Parameterfremstilling for underrom av R n Vektorligningene x = p + ta for en linje og x = p + su + tv for et plan gjelder ikke bare R 3, men generelt for R n Parameterfremstillingene ser da slik ut Linjex 1 = p 1 + ta 1 Planx 1 = p 1 + su 1 + tv 1 x 2 = p 2 + ta 2 x 2 = p 2 + su 2 + tv 2 …………………………….. x n = p n + ta n x n = p n + su n + tv n

21 Et 3-dimensjonalt underrom V av R n har 3 parametre og kan skrives slik x 1 = p 1 + ru 1 + sv 1 + tw 1 x 2 = p 2 + ru 2 + sv 2 + tw 2 ……………….. x n = p n + ru n + sv n + tw n Parametre: r, s og t Tre vektorer i V: u = ( u 1 u 2 … u n ) v = ( v 1 v 2 … v n ) w = ( w 1 w 2 …. w n )

22 EksempelBeskriv rommet V som har denne parameterfremstillingen x 1 = 3 + 4a + 3b x 2 = 2a + 2b – 5c x 3 = 2 + 2a – b – c x 4 = 1 + 2c V er et 3-dimensjonalt underrom av R 4 med retningsvektorer ( basisvektorer ) u = ( ), v = ( ) og w = ( ) og går gjennom punktet p = ( )

23 Avstanden fra et punkt til et plan i R 3 Plan  : Ax + By + Cz - D = 0 punkt P = ( p 1 p 2 p 3 ) utenfor planet Avstanden PU : d = |tn| = | A p 1 + B p 2 + C p 3 - D |  A 2 + B 2 + C 2 fordi d > 0 og |n| =  A 2 + B 2 + C 2 n P U d

24 u v  m n   n1n1 n2n2   Vinkel mellom to linjer = vinkel mellom linjenes retningsvektorer Vinkel mellom to plan = vinkel mellom planenes normalvektorer Vinkel mellom en linje og et plan = 90° - vinkel mellom linjens retningsvektor og planets normalvektor l  a n2n2 


Laste ned ppt "MAT6 REPETISJON Kap 1 og 2 Laila.  Hvis og bare hvis Derav følger Både /og Eller / og For alle Tilhører mengden Det eksisterer Tilhører."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google