Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Integrasjon i vektorfelt. Vektorfelt Innledning F F r Matematikk som bl.a. ingeniører og fysikere kan benytte til å beskrive / studere: - Væskestrøm i.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Integrasjon i vektorfelt. Vektorfelt Innledning F F r Matematikk som bl.a. ingeniører og fysikere kan benytte til å beskrive / studere: - Væskestrøm i."— Utskrift av presentasjonen:

1 Integrasjon i vektorfelt

2 Vektorfelt Innledning F F r Matematikk som bl.a. ingeniører og fysikere kan benytte til å beskrive / studere: - Væskestrøm i rør, blodårer, hjertekamre - Varmestrøm - Transmisjonskabler - Gravitasjon - Elektromagnetisme - Mobilkommunikasjon - Statistikk - …

3 Vektorfelt Innhold Linje-integral Vektorfelt, arbeid, sirkulasjon of fluks Vei-uavhengighet, potensial-funksjon, og konservative felt Flate-integraler og flate-areal Parameteriserte flater Greens teorem Stokes teorem Divergens teorem

4 Vektorfelt Def Værkart Skrått kast Gravistasjonsfelt Elektrisk / Magnetisk felt Flyvinge Væskestrøm Et vektorfelt er en funksjon som til hvert punkt i sitt domene (def.mengde) tilordner en vektor

5 Vektorfelt Maxwells ligninger

6 Kurve-integral Def x y z a b r(t) C C en kurve i rommet r = r(t) en glatt parameterfremstilling av kurven C f en kontinuerlig funksjon på C Hvis f er massetetthet, så beregner vi massen av kurven Hvis f er lik 1, så beregner vi lengden av kurven

7 Kurve-integral Eks 1 x y z C Integrer f(x,y,z) = x – 3y 2 + z over linjesegmentet C som forbinder origo med punktet (1,1,1) (1,1,1) En glatt parameterisering av C

8 Kurve-integral Eks 2 Finn massen av wiren r(t) = [t,t 2 ] t  [0,2] Massetettheten er  (x,y) = 2x y C x

9 Kurve-integral Masse - Massesenter - Treghetsmoment Masse Første moment om koordinatplan Massesenter Treghetsmoment Gyrasjonsradius

10 Kurve-integral Massesenter - Eks Bestem massesenteret til en halvsirkel-periferi y 2 +z 2 = 1 z  0 Massetettheten er gitt ved:  (x,y,z) = 2 - z

11 Arbeid Innledning F s F s F ds F r dr C Konstant kraft i samme retning som rettlinjet forflytning Konstant kraft danner en konstant vinkel med rettlinjet forflytning Varierende kraft danner en varierende vinkel med rettlinjet forflytning Varierende kraft danner en varierende vinkel med forflytning langs en kurve

12 Arbeid Def F r dr TC

13 Arbeid Alternative former F = [ F 1, F 2, F 3 ] r = [ x, y, z ] dr TC

14 Arbeid Eks 1 - Alternativ 1 x y z C Bestem arbeidet utført av kraften F = [ 2x, y, 3 ] langs den rette linjen fra (0,0,0) til (1,2,3) (1,2,3) En glatt parameterisering av C

15 Arbeid Eks 1 - Alternativ 2 x y z C Bestem arbeidet utført av kraften F = [ 2x, y, 3 ] langs den rette linjen fra (0,0,0) til (1,2,3) (1,2,3) En glatt parameterisering av C

16 Arbeid Eks 1 - Alternativ 3 x y z C Bestem arbeidet utført av kraften F = [ 2x, y, 3 ] langs den rette linjen fra (0,0,0) til (1,2,3) (1,2,3) En glatt parameterisering av C

17 Arbeid Eks 2 - Alternativ 1 x y z C Bestem arbeidet utført av kraften F = [ y - x 2, z - y 2, x - z 2 ] langs kurven r(t) = [ t, t 2, t 3 ] 0  t  1 (1,1,1) En glatt parameterisering av C

18 Arbeid Eks 2 - Alternativ 2 x y z C Bestem arbeidet utført av kraften F = [ y - x 2, z - y 2, x - z 2 ] langs kurven r(t) = [ t, t 2, t 3 ] 0  t  1 (1,1,1) En glatt parameterisering av C

19 Strømning og Fluks 2D - Innledning F T Studier av et vektorfelt F i retning langs enhetstangentvektoren T Strømning n C Studier av et vektorfelt F i retning langs enhetsnormalvektoren n Fluks F C

20 Strømning 2D - Def F r dr TC F representerer et kontinuerlig vektorfelt r en glatt parameterisering av C C Strømningen S kalles en sirkulasjon hvis kurven C er lukket Strømning

21 Strømning 2D - Alternative former F r dr TC F representerer et kontinuerlig vektorfelt r en glatt parameterisering av C Strømning

22 Fluks 2D - Def k n T C F = [ F 1, F 2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt C glatt kurve i domenet (def.mengden til F) n normal (i planet) til C Fluks i retning n F Fluks beskriver feltlinjers krysning med en kurve C. Når positiv retning på C er valgt ( T ), bestemmes positiv fluks ved at feltlinjene har komponent i retning av enhetsnormalen n gitt ved: n = T x k

23 Fluks 2D - Alternative former Fluks i retning n k n T C F Fluks beskriver feltlinjers krysning med en kurve C. Når positiv retning på C er valgt ( T ), bestemmes positiv fluks ved at feltlinjene har komponent i retning av enhetsnormalen n gitt ved: n = T x k F = [ F 1, F 2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt C glatt kurve i domenet (def.mengden til F) n normal (i planet) til C

24 Fluks 2D - Lukket kurve Fluks i retning n k n T C F Med definisjon av fluks, ser vi at for en lukket kurve i xy-planet med positiv omløpsretning mot urviseren, vil enhetsnormalen n alltid peke ut av det omsluttede kurve-området. Dermed vil nettofluksen som krysser kurven være positiv når det går mer fluks ut enn inn av det omsluttede kurve-området. F = [ F 1, F 2 ] representerer et kontinuerlig vektorfelt C glatt kurve i domenet (def.mengden til F) n normal (i planet) til C

25 Strømning - Fluks 2D - Oppsummering Fluks Strømning k n T C F k T C F F F

26 Strømning Eks: Flytting av partikkel i tyngdefelt ss g gTyngdefelt (tyngdeakselerasjon) mMasse av partikkel som skal flyttes Arbeid utført av tyngdefeltet ved flytting av partikkelen over en strekning  s av linjestykket C: Vektorfelt: T Strømning: Arbeid utført av tyngdefeltet ved flytting av partikkelen langs kurven C C ss T C g C g T g

27 Strømning Eks: Flytting av ladning i elektrisk felt ss E EElektrisk felt qLadning på partikkel som skal flyttes Arbeid utført av det elektriske feltet ved flytting av den ladde partikkelen over en strekning  s av linjestykket C: Vektorfelt: T dsds C Strømning: Arbeid utført av det elektriske feltet ved flytting av partikkelen langs kurven C C ss E T C E T

28 Fluks Eks: Vannmengde som passerer en linje / kurve ss  l = v  t v vVannhastighet  Vanntetthet (masse pr areal) Vannmengde som pr tidsenhet passerer over en strekning  s av linjestykket C: C Vektorfelt: ss  l = v  t v C n dsds v n C Fluks: Vannmengde som pr tidsenhet passerer en kurve C

29 Del-operator Definisjon og anvendelse Del-operator Gradient Divergens Curl GradientRetningsderivert DivergensFluks CurlSirkulasjon / Rotasjon

30 Curl Sammenheng mellom curl og rotasjon Posisjon Hastighet

31 Konservativt vektorfelt Vei-uavhengighet La Vi sier da at integralet er vei-uavhengig. Vi sier videre at F er konservativ og at vektorfeltet er konservativt. være uavhengig av alle veier mellom A og B for alle A,B  D. F definert i et åpent område D i rommet. A B

32 Potensial-funksjon Hvis det finnes en skalar-funksjon f som er slik at F =  f F er gradienten til f så kalles f for en potensial-funksjon til F og vektorfeltet kalles for et gradientfelt. F definert i et åpent område D i rommet.

33 Gradientfelt og vei-uavhengighet F definert i et åpent område D i rommet.Bevis del 1: Anta at det finnes en f slik at F =  f. dvs, integralet er vei-uavhengig, kun avhengig av endepunktene. Det finnes en f slik at F =  f vei-uavhengig

34 Vei-uavhengighet og null-integral for lukkede kurver F definert i et åpent område D i rommet.Bevis: F er konservativ på D (dvs vei-uavhengig) A B C1C1 C2C2

35 Gradientfelt og curl F definert i et åpent område D i rommet.Bevis 1:F gradientfelt  curl F = 0

36 Gradientfelt og eksakt differentialform F = [ F 1, F 2, F 3 ] definert i et åpent område D i rommet. Uttrykket F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz er en differential form. Differentialformen kalles eksakt hvis det finnes en skalar funksjon f slik at

37 Ekvivalens for konservativt (vei-uavhengig) felt F definert i et åpent område D i rommet.

38 Konservativt vektorfelt Eks 1 - Oppgave F = [ e x cosy + yz, xz – e x siny, xy + z ] 1. Vis at F er konservativ (vei-uavhengig) 2. Bestem en potensialfunksjon til F 3. Bestem vei-integralet til F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)

39 Konservativt vektorfelt Eks 1 - Løsning [1/3] F = [ e x cosy + yz, xz – e x siny, xy + z ] 1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0

40 Konservativt vektorfelt Eks 1 - Løsning [2/3] F = [ e x cosy + yz, xz – e x siny, xy + z ] 2. Bestem en potensialfunksjon til F

41 Konservativt vektorfelt Eks 1 - Løsning [3/3] F = [ e x cosy + yz, xz – e x siny, xy + z ] 3. Bestem vei-integralet av F langs den rette linjen fra A = (1,2,3) til B = (7,9,-1)

42 Konservativt vektorfelt Eks 2 - Oppgave 1. Vis at ydx + xdy + 4z er eksakt 2. Bestem følgende integral langs den rette linjen mellom de gitte punktene: A (1,1,1) B (2,3,-1)

43 Konservativt vektorfelt Eks 2 - Løsning [1/4] 1. Tilstrekkelig å vise at curl F = 0 Herav: ydx + xdy + 4dz er eksakt

44 Konservativt vektorfelt Eks 2 - Løsning [2/4] 2. Bestemmelse av potensialfunksjon f

45 Konservativt vektorfelt Eks 2 - Løsning [3/4] F = [ y, x, 4] 2. Bestem vei-integralet av F langs den rette linjen fra A = (1,1,1) til B = (2,3,-1) A (1,1,1) B (2,3,-1) F

46 Konservativt vektorfelt Eks 2 - Løsning [4/4] A B 2. Integralet kan også løses direkte A (1,1,1) B (2,3,-1) F

47 Divergens (Flukstetthet) Curl (Sirkulasjonstetthet) k n T C F Fluks Strømning k n T C F Divergens Curl A dA dC

48 Divergens (Flukstetthet) Def - 2D [1/3]

49 Divergens (Flukstetthet) Def - 2D [2/3]

50 Divergens (Flukstetthet) Def - 2D [3/3] AB CD

51 Divergens (Flukstetthet) Eks 1 - Fortegn - 2D Ekspanderende gass i punktet (x 0,y 0 ) Komprimerende gass i punktet (x 0,y 0 )

52 Divergens (Flukstetthet) Eks 2 - 2D Finn divergensen av F(x,y) = [ F 1, F 2 ] = [ x 2 – y, xy – y 2 ]

53 Curl (Sirkulasjonstetthet) Def - 2D [1/3]

54 Curl (Sirkulasjonstetthet) Def - 2D [2/3]

55 Curl (Sirkulasjonstetthet) Def - 2D [3/3] AB CD

56 Curl (Sirkulalsjonstetthet) Eks 1 - Fortegn - 2D Rotasjon mot klokka i punktet (x 0,y 0 ) Rotasjon med klokka i punktet (x 0,y 0 )

57 Divergens(Flukstetthet Curl (Sirkulasjonstetthet) n C F T C F A A Divergens Curl

58 Curl (Sirkulasjonstetthet) Eks 2 - 2D Finn curl F til F(x,y) = [ F 1, F 2 ] = [ x, y ] Ingen rotasjons-tendens

59 Curl (Sirkulasjonstetthet) Eks 3 - 2D Finn k-komponenten av curl til F(x,y) = [ M, N] = [ x 2 – y, xy – y 2 ] Finn curl F til F(x,y) = [ F 1, F 2 ] = [ -y, x ] Rotasjons-tendens

60 Curl (Sirkulasjonstetthet) Eks 4 - 2D Finn k-komponenten av curl F til F(x,y) = [ F 1, F 2 ] = [ x 2 – y, xy – y 2 ]

61 Curl (Sirkulasjonstetthet) Fysisk tolkning av curl - 2D curl F er arbeid pr enhetsareal der F er bidraget til en rotasjon rundt randen til R. curl F peker rett opp når arbeidet er positivt, rett ned når arbeidet er negavivt. curl F sier noe om kraftfeltets tendens til å gi rotasjon (styrke og retning) i et gitt punkt. k T C F R

62 Greens teorem Def - 2D F 1, F 2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R 2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Fluks - Divergens - Normalform Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form

63 Greens teorem Def - 2D - Fig F 1, F 2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R 2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Green - Fluks - Divergens - Normalform Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form n C F T C F R R

64 Greens teorem Def - 2D Normalform F 1, F 2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R 2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Green - Fluks - Divergens - Normalform n C F R Normalformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av normalkomponenten av F langs C, dvs fluksen av F ut av den lukkede kurven C, er lik dobbeltintegralet av divergensen til F over det indre området R av kurven C, dvs summen av fluksen ut av alle infinitesimale kurver i det indre området R.

65 Greens teorem Def - 2D Tangentiellform F 1, F 2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R 2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Tangentiellformen av Greens teorem sier at kurveintegralet av tangentiellkomponenten av F langs C, dvs sirkulasjonen av F langs den lukkede kurven C, er lik dobbeltintegralet av k-komponenten til curlen til F over det indre området R av kurven C, dvs summen av sirkulasjonen langs alle infinitesimale kurver i det indre området R. Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form T C F R

66 Greens teorem Def - 2D - Part F 1, F 2 kontinuerlig deriverbare funksjoner på D  R 2. C stykkevis glatt, enkel, lukket kurve med positiv omløpsretning. Det lukkede område R på og innenfor C ligger i D. Green - Fluks - Divergens - Normalform Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form n C F T C F R R

67 Greens teorem Bevis-skisse - Curl / Div - 2D x y C C i,j C i,j+1 C i+1,j C i+1,j+1 R i,j I II III IV RPRP

68 Greens teorem Bevis-skisse - Curl - 2D x y C R i,j I II III IV

69 Greens teorem Bevis-skisse - Div - 2D x y C R i,j I II III IV

70 Greens teorem Fysisk tolkning - Uten hull Green - Fluks - Divergens - Normalform Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form C R C R n hull

71 Positiv og negativ fluks Def - 2D - Fig Green - Fluks - Divergens - Normalform Flom Positiv fluks Uttapping av vann Negativ fluks E Elektrisk felt Positiv fluks / Negativ fluks Elektrisk felt Null fluks

72 Greens teorem Eks 1 - 2D Verifiser Greens teorem for vektorfeltet F(x,y) = [ x – y, x ] over området R begrenset av sirkelen C: r(t) = [ cost, sint] 0  t  2  Normalform Fluks Tangentialform Sirkulasjon

73 Greens teorem Områder med hull - 2D [1/2] x y C1C1 R x y C 11 R1R1 C1C1 C2C2 C 22 C 21 R2R2 J1J1 J2J2 C 12 AB

74 Greens teorem Områder med hull - 2D [2/2] x y C 11 R1R1 C1C1 C2C2 C 22 C 21 R2R2 J1J1 J2J2 C 12 x y C R C1C1 C2C2 C3C3 1 hull n hull

75 Greens teorem Fysisk tolkning - Med hull Green - Fluks - Divergens - Normalform Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form C R C R n hull

76 Greens teorem Områder med hull - Eks - 2D [1/3] x y C CaCa

77 Greens teorem Områder med hull - Eks - 2D [2/3] x y C CaCa

78 Greens teorem Områder med hull - Eks - 2D [3/3] x y C CaCa

79 Greens teorem Eks - 2D [1/4] Uten Greens teorem x y C 1 1 I II III IV

80 Greens teorem Eks - 2D [2/4] Med Greens teorem (normal/tangential) x y C 1 1 I II III IV FluksSirkulasjon I tillegg til direkte beregning, kan integralet beregnes vha Greens teorem, enten vha fluks- eller sirkulasjons-betraktninger. F = [ xy, y 2 ] F = [ -y 2,xy ]

81 Greens teorem Eks - 2D [3/4] Normalform x y C 1 1 I II III IV

82 Greens teorem Eks - 2D [4/4] Tangentiellform x y C 1 1 I II III IV

83 Greens teorem Eks - Kurve C [1/4] Tangentiellform Bestem hvilken lukket kurve C orientert i positiv retning (mot klokka) i planet som gir minimumsverdi av følgende integral: C1C1 C2C2 C3C3

84 Greens teorem Eks - Kurve C [2/4] Tangentialform C1C1 C2C2 C3C3 R1R1 R2R2 R3R3

85 Greens teorem Eks - Kurve C [3/4] Tangentialform C1C1 C2C2 C3C3 R1R1 R2R2 R3R3 C R Siden integranden i dobbeltintegralet over R er null på ellipsen C, positiv utenfor ellipsen C og negativ innenfor ellipsen C, så vil dobbeltintegralet (summeringen) gi en minimum verdi når området R er området innenfor den gitte ellipsen C. Ellipsen C

86 Greens teorem Eks - Kurve C [4/4] Tangentialform Ellipsen C CC

87 Greens teorem Areal som sirkel-integral - Innledning Arealet av et område R i planet er gitt ved: Vi skal se hvordan vi vha Greens teorem kan finne en formel for areal som enkelt sirkel-integral langs konturen av området. Det finnes uendelig mange slike formler. x y C R Dette betyr at det er mulig å bestemme arealet av et område ved å bevege seg rundt området når vi til enhver tid kjenner til hvor langt vi beveger oss og i hvilken retning vi beveger oss.

88 Greens teorem Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 1 Arealet av området R: Greens teorem (tangentiell form) beregner arealet av R hvis: x y C R Greens teorem (tangentiell form): Mulig løsning:

89 Greens teorem Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 2 Arealet av området R: Greens teorem (tangentiell form) beregner arealet av R hvis: x y C R Greens teorem (tangentiell form): Mulig løsning:

90 Greens teorem Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Def 3 Arealet av området R: Greens teorem (tangentiell form) beregner arealet av R hvis: x y C R Greens teorem (tangentiell form): Mulig løsning:

91 Greens teorem Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 1 x y C a b I II III IV Beregn arealet av et rektangel med sider a og b

92 Greens teorem Areal som sirkel-integral - Tangentiell form - Eks 2 Beregn arealet av en sirkel med radius a x y C a

93 Flate-integral Areal - Def S beskrevet av nivåflaten f(x,y,z) = c Planområdet R er projeksjonen av S (på figuren projeksjonen ned i xy-planet) p enhetsnormalvektor på planområdet R Arealet av S er gitt ved: y x z S R p ff

94 Flate-integral Areal - Bevis [1/2] P A p Q R S PQRS parallellogram p enhetsnormalvektor på flaten A P’ Q’R’ S’

95 Flate-integral Areal - Bevis [2/2] S AkAk p ff PkPk AkAk p R

96 Flate-integral Areal - Eks Finn arealet av paraboloideflaten x 2 + y 2 – z = 0 når paraboloiden kuttes av planet z = 4. 4 S R  La f(x,y,z) = x 2 + y 2 – z. Da er flaten S gitt ved nivåflaten f(x,y,z) = 0.

97 Flate-integral Areal - Spesialtilfeller Flate z = f(x,y) La F(x,y,z) = z – f(x,y) S er da gitt ved nivåflate F(x,y,z) = 0 4 S R 

98 Flate-integral Def SFlate gitt ved f(x,y,z) = c gKontinuerlig funksjon på S RProjeksjonen av S pEnhetsnormal på R S dA ff p dSdS R

99 Fluks 3D - Def SFlate gitt ved f(x,y,z) = c F3-dim vektorfelt RProjeksjonen av S pEnhetsnormal på R S dA ff p dSdS R n F

100 Fluks 3D - Eks Finn fluksen av F = [ 0, yz, z 2 ] ut av flaten S avkuttet fra sylinderen y 2 + z 2 = 1, z  0 og planene x = 0 og x = 1. y x z n F

101 Masse, moment og massesenter til tynne skall Def Treghetsmoment Masse Moment Massesenter Gyrasjonsradius

102 Massesenter til tynne skall Eks Finn massesenteret til et tynt halvkuleskall med radius a og konstant massetetthet . y x z S R

103 Parameteriserte flater Def x y z a b r(t) C y x z S [ ] t u v r(u,v) Kurve Flate

104 Parameteriserte flater Areal S AA p ff SS AA p SS u v (u,v) uu vv D R ff

105 Parameteriserte flater Flate-integral S AA p ff SS AA p SS u v (u,v) uu vv D R ff

106 Parameteriserte flater Flate-integral - Spesialtilfeller - Def Kartesiske koordinater Sylinder-koordinater Kule-koordinater

107 Parameteriserte flater Eks 1 - Kjegle x y z r(t) 1 S  Kjegle

108 Parameteriserte flater Eks 2 - Kule x z y x y z    Kule r(t) S

109 Parameteriserte flater Eks 3 - Sylinder Sylinder x z y r(t) S x z y S 3

110 Parameteriserte flater Eks 4 Areal av kjegleflate [1/4] x y z r(t) 1 S  Kjegle Beregn arealet av kjegleflaten 1 Nivåflate 2 Spesialtilfelle 3 Parameterisering

111 Parameteriserte flater Eks 4 Areal av kjegleflate [2/4] x y z r(t) 1 S  Kjegle 1 Nivåflate

112 Parameteriserte flater Eks 4 Areal av kjegleflate [3/4] x y z r(t) 1 S  Kjegle 2 Spesialtilfelle

113 Parameteriserte flater Eks 4 Areal av kjegleflate [4/4] x y z r(t) 1 S  Kjegle 3 Parameterisering

114 Parameteriserte flater Eks 5 - Flate-integral over kjegleflate x y z r(t) 1 S  Kjegle Bestem integralet av G(x,y,z) = x 2 over kjeglen

115 Greens teorem Def - 2D Green - Fluks - Divergens - Normalform Green - Sirkulasjon - Curl - Tangentiell form n C F T C F R R Green - Div Green - Curl

116 Gauss / Stokes teorem Def - 3D Gauss - Divergens Stokes - Curl y x z S C T F y x z S n F D n Gauss - Div Stokes - Curl

117 Gauss / Stokes teorem Bevis-skisse Gauss - 3D y x z S n F D StSt SbSb Gauss - Div Stokes - Curl

118 Gauss / Stokes teorem Bevis-skisse Stokes - 3D A BC D E y x z S C T F Gauss - Div Stokes - Curl n

119 Green - 2D Gauss / Stoke - 3D 2D Green - Normalform 3D Green - Tangensialform Gauss Divergens Stoke Green’s teorem - Stoke’s teorem Stokes Curl

120 Green / Gauss / Stokes Def - 2D - 3D Gauss - Divergens Stokes - Curl Green - Divergens Green - Curl 2D 3D

121 Stokes Maksimal sirkulasjon Stokes - Curl Vektorfelt Maksimal sirkulasjon i dette planet Maksimal sirkulasjon når n er parallell med curl F

122 Stokes teorem Eks 1 - Verifisering Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data: Vektorfelt: F = [ y, -x, 0 ] Kuleflate: S : x 2 + y 2 + z 2 = 9 z  0 Rand: C : x 2 + y 2 = 9 Cy x z S R F

123 Stokes teorem Eks 1 - Sirkulasjon Verifiser (kontroller) Stokes teorem for en halvkule med følgende data: Vektorfelt: F = [ y, -x, 0 ] Kuleflate: S : x 2 + y 2 + z 2 = 9 z  0 Rand: C : x 2 + y 2 = 9 Cy x z S R F

124 Stokes teorem Eks 1 - Flateintegral 1 Cy x z S R F

125 Stokes teorem Eks 1 - Flateintegral 2 Cy x z S R F S2S2 Velger S 2 : x 2 + y 2  9 som ny flate. Også denne flaten har C som rand.

126 Stokes teorem Eks 2 - Sirkulasjon Finn både direkte og vha Stokes teorem sirkulasjonen av F = [ x 2 -y, 4z, x 2 ] langs (mot klokka) kurven C fremkommet ved skjæring av planet z = 2 med kjeglen z =  x 2 + y 2 F x y z 2 C 

127 Stokes teorem Eks 2 - Flateintegral 1 - S: Kjeglesideflate F x y z n 2 S 

128 Stokes teorem Eks 2 - Flateintegral 2 - S: Kjegletoppflate F x y z n = [0,0,1] 2S 

129 Stokes teorem Eks 3 - Oppgave Bruk Stokes teorem til å beregne for F = [ xz, xy, 3xz ] hvor C er randen av den delen av planet 2x + y + z som befinner seg i første oktant og C gjennomløpes i retning mot klokka sett ovenfra. F x y z C (1,0,0) (0,2,0) (0,0,2)

130 Stokes teorem Eks 3 - Løsning F x y z C (1,0,0) (0,2,0) (0,0,2) n

131 Gauss teorem Eks 1 Kontroller Gauss teorem (divergens-teoremet) for F = [ x, y, z ] over kula x 2 + y 2 + z 2 = a 2. x z y F S a n

132 Gauss teorem Eks 2 Finn fluksen av F = [ xy, yz, xz ] ut av kubus-flaten i første oktant begrenset av planene x = 1, y = 1 og z = 1. y x z S n F D

133 ENDEND


Laste ned ppt "Integrasjon i vektorfelt. Vektorfelt Innledning F F r Matematikk som bl.a. ingeniører og fysikere kan benytte til å beskrive / studere: - Væskestrøm i."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google