§4. Irrasjonale og komplekse tall og hvorfor konjugatsetningen heter konjugatsetningen Matematikk 1 årskurs 28. oktober 2009

Litt geometri Noen parabler har ingen skjæringspunkt med x-aksen, f.eks. y = x2 − 2x + 5. Algebraisk, svarer dette til det at likningen x2 − 2x + 5 = 0 har ingen réelle løsninger. Derfor må vi utvide vår definisjon på “tall”!

Utvidelser av de naturlige tallene Dette er ikke den første gangen vi har sett på utvidelser av de naturlige tallene, altså mengden {1, 2, 3, 4, …}. For å kunne løse likninger, har vi gjort dette flere ganger. Likningen 2x + 5 = 17 har en grei løsning: x = 6.

Negative hele tall Men tenk om vi blir presentert med likningen 2x + 5 = 1. Hvis x er et naturlig tall, da er 2x + 5 større enn 5. For å løse likningen, må vi betrakte et “nytt” tall −1, med egenskapen at (−1) + 1 = 0 (Breiteig-Venheim, kap. 5.1). Da får vi løsningen x = 2∙(−1) = −2.

Rasjonale tall Hva om vi nå blir presentert med likningen 2x + 5 = 16? Hvis x er et helt tall, da er 2x + 5 et oddetall, så finnes det ingen løsning til denne likningen i de hele tallene. Derfor slipper vi inn et nytt tall ½, med egenskapen at 2∙(½) = 1. Da får vi løsningen x = 5 + ½ = 5½.

Irrasjonale tall Hva om vi blir presentert med likningen x2 − 2 = 0? Jeg hevder at det finnes ingen rasjonalt tall (altså brøktall) x slik at x2 = 2. Bevis Først uttaler vi en nyttig bemerkning: Hvis p er et helt tall slik at 2|p2, da går 2 faktisk opp i p.

Hvis √2 er et brøktall, da er √2 = p/q for hele tall p og q. Viktig: Vi antar at p/q er ferdig forkortet. Vi får p2 = 2q2. Derfor har vi 2 | p2 og dermed 2 | p også, i følge bemerkningen. Slik ser vi at 4 | 2q2, og dermed 2 | q2. Men da har vi også 2 | q. Derfor må p og q ha 2 som felles faktor. Men dette er en motsetning, fordi at vi antok at p/q var ferdig forkortet.

Derfor må tallet √2 være irrasjonalt. □ Tallene √2 og –√2 blir løsningene til likningen x2 – 2 = 0. Mengden med tall vi må slippe inn vokser!

Komplekse tall Hva om vi blir presentert med likningen x2 + 4 = 0? Det kvadrerte til hvert tall vi så langt har sett på, er større enn eller lik 0. Dermed er vi ført til å anta at det finnes et annet tall √−1, med egenskapen at (√−1)(√−1) = −1. Da får vi løsningen x = ± (2√−1) = ± √−4.

Definisjon Et komplekst tall er et tall av formen a + b√−1 der a og b er reelle tall. Hvis vi skriver z = a + b√−1, da kaller vi a for realdelen til z og b for imaginærdelen til z. Vi skriver Re(z) = a og Im(z) = b.

Motivasjon Hvis en annengradslikning har bare komplekse, ikke-réelle røtter, angir den kjente annengradsformelen løsningene naturlig i formen a ± b√−1. Eks.: Løsningene til x2 – 2x + 5 = 0 er 1 ± 2√−1. Notasjon: Av og til skrives i for √−1, og dermed a + bi for a + b√−1.

Algebras fundamentalsetning Hvorfor er de komplekse tallene så viktige? Setning: Enhver polynomlikning med koeffisienter i de komplekse tallene har en løsning i de komplekse tallene. Altså, grovt sett: Det finnes virkelig ikke flere tall enn dem vi nå kjenner til!

Aritmetikk med komplekse tall Vi adderer og subtraherer komplekse tall ved å addere og subtrahere realdelene og imaginærdelene hver for seg. Ved multiplikasjon bruker vi egenskapen i2 = (√−1)(√−1) = −1. Divisjon er litt mer utfordrende.

Konjugasjon Definisjon: La z = a + bi være et komplekst tall. Da kaller vi a − bi for det konjugerte tallet til z. Vi skriver = a − bi. En viktig egenskap med det konjugerte er: = (a +bi)(a − bi) = a2 − b2i2 = a2 − (−1)b2 = a2 + b2, et réelt tall. Nå ser vi hvor navnet “konjugatsetningen” kommer fra .

Divisjon av komplekse tall Hvis vi skal finne f.eks. da utvider vi brøken med det konjugerte til nevneren. Da får vi som lett kan uttrykkes i den vanlige formen.

Geometrisk fremstilling Vi er vant med det å fremstille de réelle tallene på tallinja. Denne representasjonsformen kan utvides på en elegant måte til de komplekse tallene, ved bruk av en Arganddiagram. Her kan aritmetikk tolkes geometrisk (Caspar Wessel).

Anvendelser Å løse likninger (til og med likninger med réelle løsninger) Integrasjon av kompliserte funksjoner Fysikk (bl.a. relativitetsteori) og ingeniørarbeid Moderne geometri, analyse og tallteori hadde vært umulig uten de komplekse tallene.