Algebra Vår 2009 = 72∙41 A1A/A1B

Hovedkilder Breiteig-Venheim: Matematikk for Lærere 2, kap. 8 K06

Hva er algebra? Breiteig-Venheim: “Et språk for å uttrykke kort og konsist matematiske sammenhenger og resultater”. Generalisert tallære (“bokstavregning”) Mengder med struktur

Algebra i skolen Et eget tema i K06 fra 5. trinn frem til Vg1 Bygger på tallære; å generalisere tallregning Sterkt knyttet til funksjonslære og geometri

Algebra i K06 Fra kompetansemålene etter 7. årstrinn: beskrive referansesystemet og notasjonen som blir nytta for formlar i eit rekneark, og bruke rekneark til å utføre og presentere enkle berekningar stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, og argumentere for løysingsmetodar utforske og beskrive strukturar og forandringar i enkle geometriske mønster og talmønster

Fra kompetansemålene etter 10. årstrinn: behandle og faktorisere enkle algebrauttrykk, og rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk med eitt ledd i nemnaren løyse likningar og ulikskapar av første grad og enkle likningssystem med to ukjende setje opp enkle budsjett og gjere berekningar omkring privatøkonomi bruke, med og utan digitale hjelpemiddel, tal og variablar i utforsking, eksperimentering, praktisk og teoretisk problemløysing og i prosjekt med teknologi og design

Fra kompetansemålene etter Vg1T: rekne med potensar med rasjonal eksponent og tal på standardform, bokstavuttrykk, formlar, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tal og bokstavar, og bruke kvadratsetningane til å faktorisere algebrauttrykk løyse likningar, ulikskapar og likningssystem av første og andre grad og enkle likningar med eksponential- og logaritmefunksjonar, både med rekning og med digitale hjelpemiddel omforme ei praktisk problemstilling til ei likning, ein ulikskap eller eit likningssystem, løyse det og vurdere kor gyldig løysinga er

Hvorfor bokstavregning? Å beregne en gang for alle (f.eks. kvadratsetningene) Gjennomsiktighet (f.eks. formel vs. tabell) Å finne ukjente størrelser (f.eks. ved å løse likninger) Å analysere variable størrelser (f.eks. formler og funksjoner)

Begreper i bokstavregning Uttrykk Formler og funksjoner Identiteter Likninger og ulikheter Bokstaver brukes til variable (i funksjoner og identiteter) ukjente (i likninger)

Uttrykk Uttrykk kan anses som byggeklossene i bokstavregning. Et uttrykk inneholder tall, symbol, regnetegn, kvadratrotstegn o.l., men ingen likhetstegn. Eks.: x2 5 + 4a (g – 1)dim(G) + dim Z(G)

Likhetstegnet = Et symbol som sier at to uttrykk er likeverdige; ekvivalente; har samme verdi: 47 + 57 = 104; 5x + 4y = 12; A = πr2. Det vi gjør på én side av likhetstegnet må vi også gjøre på den andre, for å beholde likhet: 3 + 8 = 11 3 + 8 – 9 = 11 – 9, ikke 3 + 8 – 9 = 11.

“Flytte-bytte regelen” Likhetstegnet tolkes ofte som ordre om å utføre en operasjon: 3 + 6 = ? 4∙5 = ? Dette kan vi hjelpe med, ved å gi oppgaver som 3 + ? = 9 ?∙5 = 20. (Slike oppgaver legger også et grunnlag for likninger.) Notasjon: a := 4x + 3 betyr at vi definerer a til å være lik 4x + 3.

Formler En formel er en likhet mellom to uttrykk, som beskriver hvordan ulike størrelser henger sammen. Eks.: A = πr2 H = S/T y = ax + b f(x) = 2x2 – 4x

Identiteter En identitet er en likhet mellom to uttrykk som stemmer for alle verdier av variablene. Eks.: 2x = 2x sin2(v) + cos2(v) = 1 2x = 6x – 4x (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 – 1 Av og til brukes symbolet ≡ (uttalt “er identisk lik”) hvis vi vil presisere at vi har en identitet og ikke bare en likning: 2x ≡ 6x – 4x.

Eksempel: kvadratsetningene Kanskje de best kjente identitetene i skolematematikken er kvadratsetningene: For alle tall a og b, gjelder (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2 Disse setningene kan bevises ved regning og kan illustreres bra ved å betrakte areal.

Likninger En likning er en likhet mellom to uttrykk som stemmer kun for noen spesielle verdier av variablene. Disse verdiene kalles for likningens løsninger. Eks.: x + 4 = 12 stemmer kun for x = 8. 2y2 – 30 = 2 stemmer kun for y = ±4. x + y = 4 har mange løsninger, f.eks. x = 3 og y = 1.

Likninger er en viktig redskap i hverdagsproblemstillinger (alder; kinobilletter; areal) matematiske problemstillinger (geometri; funksjonslære) Didaktisk sidebemerkning: Bruk andre bokstaver enn x og y for de ukjente, en gang iblant.

Koordinatsystem En svært innholdsrik overgang mellom algebra og geometri. Oppfunnet av René Descartes. Et punkt i planet angis ved sine x og y koordinater. Origo (0,0) står i “sentrum”. (2,1) ligger to enheter til høyre og én enhet oppe fra origo. (3, -1) ligger tre enheter til høyre og én enhet nede fra origo.

Mange geometriske figurer kan da beskrives med algebra: Man gir en algebraisk betingelse (en likning eller ulikhet) som koordinatene til figurens punkter oppfyller. Eks.: y = 2x x2 + y2 = 4 2y – x + 1 = 0 y2 = x3 – x x = –3 xy = 1 x = y2 – 4

Egenskaper til en figur kan da analyseres ved å studere figurens likning. Eks.: Ei rett linje som ikke er loddrett, kan beskrives med en likning som ser ut som y = ax + b der a og b er tall. En slik likning kalles en lineær likning. Tallene a og b har interessante tolkninger i forhold til linjas geometri.

Likninger og geometri Ofte i plangeometri ønsker vi å finne ut i hvilke punkter to figurer skjærer hverandre, altså hvilke punkter ligger samtidig på begge figurer. Dette kan vi oversette til en problemstillinger i algebra: Hvilke punkter (x,y) er løsninger til likningene til begge figurer samtidig? Fordel: da kan vi finne punktene helt presist istedenfor å anslå fra en graf.

Lineære likningssystemer To eller flere lineære likninger utgjør et lineært likningssystem. I de fleste tilfellene der vi har like mange ukjente som vi har likningner (men ikke alle!) har systemet bare én løsning. Hvis vi har to ukjente, svarer løsningen til skjæringspunktet mellom linjene beskrevet av likningene.

Å løse lineære likningssystemer Det finnes minst tre metoder for å løse et lineært likningssystem: Innsettingsmetoden Eliminasjonsmetoden Determinantmetoden (lite brukt i skolen) Løsningene kan også anslås ved å se på grafen.

Annengradslikninger En annengradslikning er en likning der den ukjente oppstår opphøyd i den andre potensen: ax2 + bx + c = 0 der a, b og c er tall og a ≠ 0. Slike likninger kan oppstå f.eks. når vi snakker om areal.

Å løse en annengradslikning En typisk annengradslikning har to forskjellige løsninger (som ikke behøver å være reelle tall!) Likningen ax2 + bx + c = 0 kan løses ved hjelp av den kjente annengradsformelen: . Vi får én løsning ved a bruke + og den andre med -.

Å forkorte et uttrykk Dersom både telleren og nevneren i et brøkuttrykk har en felles faktor, kan uttrykket forkortes akkurat som et brøktall, så lenge den felles faktoren ikke er lik 0.

Å faktorisere et uttrykk Å faktorisere et helt tall betyr å skrive tallet som produkt av mindre tall. På samme måte: Å faktorisere et algebraisk uttrykk betyr å skrive uttrykket som en produkt av andre uttrykk. Kvadratsetningene kan være nyttige her.

Didaktiske betraktninger Didaktiske farer med generalisering (BV2, s. 14) Vanlige feller (s. 21): – Konvensjoner i notasjonen – a2 eller 2a? – Å forkorte Diagnostisk vurdering: f.eks. oppgaver som gjør læreren i stand til å se om det har skjedd misoppfatninger (f.eks. s. 34).