Matematikk 1 årskurs 26. oktober 2009 Tallære 3 Matematikk 1 årskurs 26. oktober 2009

Kilder for forelesningen Breiteig-Venheim: Matematikk for Lærere 1, kap. 4 Selvik-Tvete: Matematiske sammenhenger – Tallære Caspar, 2000

Innhold Innledning Delelighet Primtall Største felles faktor og minste felles multiplum

§1. Om tallære: “Mathematics is the queen of the sciences and number theory is the queen of mathematics.” G. H. Hardy

Tallære og algebra Faglig: Mange algebraiske strukturer er generalisasjoner av tallmengder som de hele tallene og de rasjonale tallene. Didaktisk: Solide kunnskaper i tallære er en forutsetning for å lykkes med algebra.

§2. Delelighet og primtall Alle elever i en klasse har kjøpt de fire lærebøkene som læreren anbefalte. Antall bøker eid av klassen er da (antall elever) ∙ 4. Derfor må vi kunne dele bøkene opp i fire like store bunker. F.eks., 24 elever eier 96 bøker.

Faktorer og delelighet Definisjon: Et helt tall a er delelig med et annet helt tall b dersom a = k∙b for et helt tall k. Tallet b kan trekkes et helt tall antall ganger fra a, uten at det blir rest. Andre måter å uttrykke det samme: b er faktor i a; b er divisor i a; a er et multiplum av b.

Når går ett tall opp i et annet? Kjent definisjon: Et helt tall a kalles partall dersom 2 går opp i a, og oddetall ellers. Et helt tall er partall dersom dets siste siffer er 0, 2, 4, 6 eller 8; og et helt tall er oddetall dersom dets siste siffer er 1, 3, 5, 7 eller 9.

Tester for delelighet (Breiteig-Venheim, s. 116-118) Et helt tall er delelig med 2 dersom dets siste siffer er partall 4 dersom tallet dannet av dets siste to sifre er delelig med 4 5 dersom dets siste siffer er 0 eller 5

Tverrsummer og delelighet Definisjon: Tverrsummen til et helt tall er summen av tallets sifre. Den alternerende tverrsummen til et helt tall er summen av tallets sifre der vi ganger sifrene vekselvis med +1 og -1.

Flere tester for delelighet Et helt tall er delelig med 3 dersom dets tverrsum er delelig med 3 6 dersom det er partall og dets tverrsum er delelig med 3 9 dersom dets tverrsum er delelig med 9 11 dersom dets alternerende tverrsum er delelig med 11

§4. Primtall Definisjon: Et helt tall a kalles primtall dersom de eneste faktorene i a er 1 og a. Et helt tall som ikke er primtall kalles et sammensatt tall. (Tallet 1 betraktes hverken som primtall eller sammensatt.)

Aritmetikkens fundamentalsetning Primtallene er de hele tallene som det ikke går an å “bryte ned” (faktorisere) videre. Setning (Aritmetikkens fundamentalsetn.): Hvert helt tall kan faktoriseres som produkt av primtall på én og bare én måte (vi ser bort fra faktorenes rekkefølge).

Å sjekke om et helt tall er primtall Proposisjon: Et sammensatt tall a har alltid minst én primtallfaktor som er √a. Derfor, for å sjekke om et helt tall a er primtall, holder det med å teste delelighet med alle primtallene som er mindre enn eller lik √a. Har vi ikke funnet en primtallfaktor etter å prøve alle slike “små” primtall, da vet vi at a er primtall.

Bevis for proposisjon Siden a er sammensatt, kan vi skrive a = bc for hele tall b og c, ingen av dem lik a. Hvis både b og c er større enn √a da er bc større enn a, som er umulig. Vi antar at det er b som er √a. Da er primtallfaktorene i b også mindre enn eller lik √a, og de er også primtallfaktorer i a. □

Hvor mange primtall? Aritmetikkens fundamentalsetningen tilsier at ethvert helt tall kan brytes ned som produkt av primtall. Hvor mange primtall trenger vi for å lage alle de hele tallene?

Setning (Euklid): Det finnes uendelig mange primtall. Bevis La p være et vilkårlig primtall. Vi skal bevise at det finnes et primtall større enn p. Dermed skal vi vite at det er ingen største primtall, og så må det være uendelig mange primtall.

(bevis fortsetter) Vi samler alle primtallene som er mindre enn eller lik p: 2, 3, 5, 7, … p og bruker dem til å lage et nytt tall M := (2∙3∙5∙7∙…∙p) + 1 Tallet M er ikke delelig med noe av primtallene på lista 2, 3, …, p, fordi at vi får en rest på 1 i hvert tilfelle når vi deler. Derfor er alle primtallfaktorene i M større enn p. □

Eratosthenes’ såld (Breiteig-Venheim, s. 122) En måte å finne primtall på. Metoden går på det å “stryke” alle sammensatte tall i et visst intervall, og da står bare primtallene igjen.

Fordelingen av primtallene Primtallene fordeler seg i de hele tallene på en svært tilfeldig måte. Her er et av de forholdsvis få resultatene vi har om fenomenet: Setning: Det finnes vilkårlig lange progresjoner av sammensatte tall i de hele tallene.

Ide bak beviset: Tenk om vi ønsker å finne fem påfølgende sammensatte tall. Først lager vi tallet 6! = 6∙5∙4∙3∙2∙1. Da ser vi at 6! + 2 er delelig med 2, 6! + 3 er delelig med 3, 6! + 4 er delelig med 4, 6! + 5 er delelig med 5, og 6! + 6 er delelig med 6. Slik har vi funnet en rekkefølge med fem sammensatte tall.

(n +1)! = (n +1)∙n∙(n - 1)∙(n - 2)∙ … ∙3∙2∙1. Da ser vi at Bevis Tenk om vi ønsker å finne n påfølgende sammensatte tall. Først lager vi tallet (n +1)! = (n +1)∙n∙(n - 1)∙(n - 2)∙ … ∙3∙2∙1. Da ser vi at (n +1)! + 2 er delelig med 2, (n +1)! + 3 er delelig med 3, … (n +1)! + n er delelig med n, og (n +1)! + (n +1) er delelig med (n +1). Slik har vi funnet en rekkefølge med n sammensatte tall. □

§5. Sff og mfm (altså største felles faktor og minste felles multiplum) Johann kjøpte et antall epler à 4kr og et antall bananer à 6kr. Ekspeditøren sier at det er 65kr å betale. Så sier Johann “Dette må være feil”. Hvordan visste han det? Hva om Johann kjøpte appelsiner à 3kr og vafler à 6kr, og blir bedt om å betale 20kr?

Vi oversetter til algebra: Vi prøver å finne løsninger i de hele tallene til likningen 4e + 6b = 65 i det første eksempelet, og til likningen 3a + 6v = 20 i det andre.

For at det skal være en heltallsløsning til 4e + 6b = 65, trenger vi følgende: Hvert helt tall som går opp i både 4 og 6, må også gå opp i 65. Men det finnes ingen hele tall med denne egenskapen. Derfor må ekspeditøren ha gjort feil.

Felles faktor og sff Definisjon: La a og b være hele tall. En felles faktor for a og b er et helt tall som går opp i både a og b. En felles faktor d for a og b kalles største felles faktor for a og b dersom alle felles faktorer for a og b går opp i d. Vi skriver d = sff(a,b) eller d = gcd(a,b).

For at vi skal kunne finne løsninger f.eks. til likningen 4e + 6b = 65, må sff(4,6) = 2 gå opp i tallet til høyre, og det gjør det ikke. En slik likning kalles forresten en lineær diofantisk likning.

Løsninger til lineære diofantiske likninger Setning: La a, b og c være hele tall. Den lineære diofantiske likningen ax + by = c i de ukjente x og y, har heltallsløsninger hvis og bare hvis sff(a, b) deler c.

Å finne sff En måte å finne sff til to tall er å faktorisere tallene og se på hvilke tall som går opp i begge tall. Med store tall er Euklids algoritme gunstigere (Breiteig-Venheim, s. 128-129). Denne algoritmen skal vi bli kjent med til våren  .

Minste felles multiplum Tenk om vi skal utføre regnestykket Først må vi finne en felles nevner for brøkene. Det går an å gange sammen nevnerne, men dette kan føre til regninger med større tall enn nødvendig. Det er gunstigere å bruke minste felles multiplum.

Definisjon: La a og b være hele tall Definisjon: La a og b være hele tall. Et felles multiplum for a og b er et helt tall som både a og b går opp i. Et felles multiplum d for a og b er minste felles multiplum dersom d går opp i alle andre felles multiplumer for a og b.

Å finne mfm Minste felles multiplum til a og b kan man finne i noen tilfeller ved prøving og feiling, eller slik: Obs: Ved bruk av denne formelen, med mindre sff(a, b) = 1, er det alltid både mulig å ønskelig å forkorte.