Hendelser betegnes med A, B, C osv. ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning Hva er sjansen? Liten Stor Svært stor 60% 40% Forskere oppgir til vanlig sjanser eller sannsynligheter som et tall fra 0 til 1 Hendelser betegnes med A, B, C osv. Tenker vi etter er det kun sære eksempler der P(A) = 0 eller P(A) = 1 Sannsynligheten for hendelsen A: P(A) P(A) = 0 Hendelsen A er umulig P(A) = 1 Hendelsen A inntreffer helt sikkert

Matematisk definisjon av sannsynlighet ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning; definisjon av sannsynlighet Matematisk definisjon av sannsynlighet Forsøk/eksperiment der vi kan sette opp en oversikt over alle mulige utfall. Utfallsrommet er mengden av alle mulige utfall av forsøket. men vi kan ikke på forhånd si hva resultatet blir Det vi vet er at hver gang forsøket utføres vil resultatet falle innenfor utfallsrommet. Utfallsrommet består av enkeltutfall (resultat) e1, e2, e3………ek Hendelse Et eller flere utfall som tilfredsstiller visse krav Eksempel myntkast S ={K, M} ; antall mulige utfall er 2 Eksempel terningkast S= { } ; antall mulige utfall er 6

ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning Eksempel: kast med to terninger Utfallsrommet 36 mulige utfall

ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning; Venn diagram Brukes til å illustrere utfallsrom S, hendelser A og sammenfall av hendelser Har vi to hendelser, kan vi på grunnlag av disse definere en tredje hendelse: e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 Utfallsrom S med 10 enkeltutfall A B A B A U B: Union av A og B A ∩ B: Snitt av A og B C = A U B D = A ∩ B C = A U B: C inntreffer hvis og bare hvis enten hendelsen A eller hendelsen B eller begge inntreffer (de utfall som er i A, eller B, eller i begge) Eksempel: A = {♥ Ess, ..... ♥2}; B = {alle billedkort} C = A U B = {♥ Ess, ..... ♥ 2, ♠ Ko... ♠ Kn, ♣ Ko, ... ♣ Kn., ♦ Ko,... ♦Kn} D = A ∩ B: Hendelsen D inntreffer hvis og bare hvis hendelsene A og B inntreffer samtidig (mengden av alle utfall som ligger i A og B samtidig) Samme som over; D = A∩B = {♥ Konge, ♥ Dame, ♥ Knekt} e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 e9 e10 Hendelsen A med utfallene e1, e2, e3, e6, e7, e8 A A Ā A B A og B er disjunkte Ā : “ikke A” A U Ā = S

ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlightesregning Oppgave: To mynter kastes på samme tid. Sett opp utfallsrommet. Oppgave: Utfallsrommet S for kast av en terning er {1,2,3,4,5,6}. Hvilke hendelser illustreres av delmengdene A ={3}, B ={2,4,6}.

ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlightesregning; statistisk definisjon = 0.166667 Sannsynligheten for en hendelse A er den verdien som den relative frekvensen for A nærmer seg når antallet observasjoner blir stort.

ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning; matematisk definisjon Ett myntkast: Ett terningkast: Trekking av kort: Uniform sannsynlighetsmodell: Hvert enkeltutfall har den samme sannsynligheten. Generelt:

Alternativ formulering: ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlightesregning; multiplikasjonsregelen for uavhengige hendelser To mynter kastes, den ene før den andre. Sett opp utfallsrommet. Finn sannsynligheten for å få to kroner (P2K), 1 krone (P1K) og ingen kroner (P0K). Oppgave Alternativ formulering: A: krone i første kast B: Krone i andre kast P(2K) = P(både A og B) = P(A)·P(B) Hvis hendelse A ikke avhenger av hendelse B: P(både A og B) = P(A ∩ B) = P(A)·P(B)

ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning Terningkast A: hendelsen femmer B: hendelsen sekser P(femmer eller sekser) = 2/6 = 1/6 + 1/6 = P(femmer) + P(sekser) Trekking av kort A: hendelsen spar B: hendelsen hjerter P(hjerter eller spar) = 26/52 = 13/52 + 13/52 = P(hjerter) + P(spar) Generelt gjelder at P(A eller B) = P(A U B) = P(A) + P(B) Forutsetning: Hendelsene A og B utelukker hverandre (disjunkte)

♠2, ♠3, ♠4, ♠5, ♠6, ♠7, ♠8, ♠9, ♠10, ♠Kn, ♠Da, ♠Ko, ♠Ess ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning; addisjonsregelen P(spar eller dame) = ??????? ♠2, ♠3, ♠4, ♠5, ♠6, ♠7, ♠8, ♠9, ♠10, ♠Kn, ♠Da, ♠Ko, ♠Ess ♠Da, ♦Da, ♥Da,♣Da P(A ∩ B) må trekkes fra, blir ellers tatt med to ganger A B ▪ P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A)·P(B) ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning, oppsummering av regneregler P(A ∩ B) = P(A) · P(B) Både-og regelen Når A og B er uavhengige hendelser: P(AUB) = P(A) + P(B) Når hendelsene A og B er disjunkte: Enten-eller regelen Når hendelsene A og B overlapper: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A)·P(B)

ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Betingete sannsynligheter Sannsynligheten for en hendelse avhenger av utfallet av den foregående M røde N-M blå N kuler Etter en kule er trukket, legges den ikke tilbake. 1. trekk P(x1 = rød) = Antall røde/Totalt antall = M/N 2.trekk P(x2 = rød│x1= rød) = Antall røde/Totalt antall = M-1/N-1 P(x2 = rød│x1= blå) = Antall røde/Totalt Antall = M/N-1

Hendelse B: Første person overlever. ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Betingete sannsynligheter Gitt en eller annen sannsynlighetsmodell. Etter at modellen er satt opp, får vi ny informasjon som fører til at noen av enkeltutfallene i den opprinnelige modellen er uaktuelle. De andre utfallene får dermed ny sannsynlighet. Eksempel ”Russisk rullett”. Seksløper-magasinet med ett skudd slås rundt før start, deretter ikke Før første avtrekk: Hendelse B: Første person overlever. P(B) = 5/6 = 0.83 Utfallsrommet ble, på grunn av opplysningen om første person, redusert til 5, og sannsynligheten ble regnet ut på grunnlag av dette. Vi har en terning og gjør to påfølgende kast. Hendelse A: Summen av øyne for de to kastene er minst 9. Hendelse B: Første kast gir 3. P(A) = 10/36 = 5/18. Dersom vi får vite B, har vi en ny situasjon. Nytt utfallsrom: (3,1), (3,2), ((3,3), (3,4), (3,5), (3,6). Det er kun (3,6) som har summen minst 9. Sannsynligheten for A (sum øyne for to kast minst 9) når hendelsen B( første kast 3) har inntruffet blir derfor 1/6. Vi skriver: P(AI B) = 1/6 A∩B: Summen er minst 9 samtidig som første kast viser 3 P(B) = 6/36 = 1/6. P(A∩B) = 1/36 Hendelse A: Andre person overlever, gitt at det gikk bra med den første. P (A) = 4/5 = 0.8 P(A│B) = 4/5

ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning, betingete sannsynligheter Metode: 1) Vi justerer utfallsrommet, og beregner den nye sannsynligheten P(A I B) 2)

ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Kombinatorikk Hvordan kan r (3) av totalt n (15)enheter ordnes eller trekkes? e2 e3 e7 e6 e15 e10 e1 e14 e9 e12 e13 Tilfelle 1; r = n (4 bøker A, B, C, D) Vi tar hensyn til rekkefølgen 1 2 3 4 A B C D 1 2 3 4 A C B D 1 2 3 4 A C D B 1 2 3 4 A B D C Første bok (A) kan plasseres i 4 posisjoner; 4 muligheter. For hver av de 4 posisjonene bok A kan plasseres i, har neste bok B tre plasser å velge mellom osv. I alt 4 ·3 ·2 ·1 = 24 muligheter. Skrivemåte: 4 ·3 ·2 ·1 = 4! 1 2 3 4 A D B C 1 2 3 4 A D C B Vi har 24 muligheter eller 4 ·3 ·2 ·1

ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning ”urnemodell” Ulike situasjoner (eksempel for r = 2): 1) Vi legger det uttrukne elementet tilbake hver gang ei, ei er mulig 2) Vi legger ikke det uttrukne elementet tilbake hver gang ei, ei er ikke mulig 3) Rekkefølgen av de uttrukne elementene spiller en rolle ei,ej # ej,ei 4) Rekkefølgen av de uttrukne elementene har ingen betydning ei,ej er det samme som ej,ei

Eksempler på ulike måter å velge r elementer blant n ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning; kombinatorikk Eksempler på ulike måter å velge r elementer blant n Med tilbakelegging Uten tilbakelegging Ordnet Uordnet Permutasjoner (eks. vinsmaking) Tipping Binomiske forsøk Lotto

Ordnet utvalg – uten tilbakelegging ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning: permutasjoner (ombyttinger) Ordnet utvalg – uten tilbakelegging Plassering av bøker; 4 i 4 posisjoner (n = r = 4) 4·3·2·1 muligheter (4 !) Valg av styre til et idrettslag 50 medlemmer (n = 50), ingen vil stille til valg Styret skal ha 4 medlemmer (r = 4) Det trekkes; første uttrukne blir leder, andre nestleder, tredje kassere og fjerde blir styremedlem For bøkene ( et spesialtilfeller av den generelle regelen) (n-r+1 )= (4-4+1) = 1 Det betyr at siste ledd i multiplikasjonen blir 1 4·3·2·1 = 4 ! Mulige kombinasjoner er: n·(n-1) ·(n-2)·........(n-r+1) 50·49·48·47 = 5 527200 NB! n·(n-1) ·(n-2)·........(n-r+1) = n!/(n-r)!

ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning: potensregelen Ordnet utvalg – med tilbakelegging Eksempel tipping n = 3 element (H, U,B) r = 12 elementer trekkes tilbakelegging rekkefølgen spiller en (stor) rolle Antall mulige kombinasjoner: nr Sannsynligheten for at en rekke er en vinnerrekke???

ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlightesregning; kombinasjonsregelen Uordnet utvalg – uten tilbakelegging Eksempel: Lotto, poker n = 37 element er trekkbare (lotto), n= 52 element i poker r = 7 element trekkes (lotto), r = 5 element i poker uordnet utvalg 7 ingen tilbakelegging Antall kombinasjoner: Antall mulige kortkombinasjoner i poker??? Sannsynligheten for en vinnerrekke i lotto??

ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsreging, binomiske forsøk (Bernoulli -forsøk) Ikke ordnet utvalg- med tilbakelegging n uavhengige enkeltforsøk hvert forsøk har to utfall, A og Ā, med sannsynlighetene p og (1-p) Eksempler: Kast med mynt Terningkast Anvendelser: Stikkprøvekontroll Alle typer problem der en har å gjøre med en kombinasjon av to sannsynligheter (for eksempel leteprogram etter petroleum, ulike biologiske og geologiske prosesser)