Sannsynlighetsregning 3 Fakultet og kombinatorikk

Presentasjon om: "Sannsynlighetsregning 3 Fakultet og kombinatorikk"— Utskrift av presentasjonen:

1 Sannsynlighetsregning 3 Fakultet og kombinatorikk
Grunnskolelærerutdanningen 1–7 MAT102 Forelesning 16. januar 2017 Sannsynlighetsregning 3 Fakultet og kombinatorikk

2 Fakultetssymbolet I kombinatorikken forekommer det ofte at vi skal ta alle heltallene mellom 1 og et eller annet høyt tall og multiplisere dem med hverandre. Fordi det er svært plasskrevende å f.eks. skrive ut hele produktet av alle heltall mellom 1 og 100, har man innført et eget symbol for dette: 100! betyr 100·99·98·97· ··· ·3·2·1 (produktet av alle heltall mellom 1 og 100) 7! betyr 7·6·5·4·3·2·1 n! betyr produktet av alle heltall mellom 1 og n. Man definerer 0! til å bety 1. Dette vil dere se hvorfor når vi lærer mer om de kombinatoriske modellene senere i denne forelesningen. I regneoppgavene i kombinatorikken kommer det noen ganger divisjonsstykker med fakultet både oppe og nede. Hvis vi får f.eks. 10! 7! , da kan vi forkorte oppe og nede på følgende måte: 10! 7! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 =10⋅9⋅8.

3 Fakultetssymbolet Vi går ofte andre veien også. F.eks. kan vi ha lyst til å skrive 40⋅39⋅38⋅37⋅36 på en litt enklere måte. Da har vi følgende: 40⋅39⋅38⋅37⋅36= 40⋅39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33⋅⋯⋅3⋅2⋅1 35⋅34⋅33⋅⋯⋅3⋅2⋅1 , og vi ser at telleren nå er det samme som 40!. I nevneren har vi 35!. Altså: Hele brøken er lik 40! 35! .

4 Oppgaver Skriv følgende produkter ved hjelp av fakultetssymbolet. I noen av oppgavene kan du måttet skrive svaret som et produkt av flere fakulteter (f.eks. 8!·9!). 5·4·3·2·1 2·3·4·5·6·7·8 15·16·17·18·19·20·21 2·2·3·3·4·4·5·5·6·6·7·7 5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10⋅113⋅114⋅115⋅⋯⋅198⋅199⋅200

5 Tre kombinatoriske modeller
I kombinatorikken er det noen typer problemstillinger som går så ofte igjen at man har laget generelle modeller med formler som passer til akkurat de problemstillingene. Modellene skal vi ta for oss en etter en, men vi presenterer dem samlet på neste slide, slik at dere har en oversikt over dem. Formlene og fyldige eksempler skal vi ta for oss skikkelig på de etterfølgende slidene.

6 Kombinatorikk De tre sentrale modellene i kombinatorikk, presentert samlet. Gjennomgang og forklaringer kommer på de neste slidene. Ordnede utvalg med tilbakelegging Hvis klassen på 30 skal velge en klasserepresentant, en ordenselev og en til å hente skolemelken, og samme elev kan ha flere verv, og dette skal velges ved loddtrekning, da kan dette gjøres på 30⋅30⋅30⋅30= 30 4 måter. Generelt: 𝑛 𝑘 måter å velge ut k elementer fra en en mengde på n elementer i ordnet rekkefølge, med tilbakelegging. Ordnede utvalg uten tilbakelegging Samme eksempel som over, bare at samme elev ikke skal kunne ha flere verv: Da kan dette gjøres på 30⋅29⋅28⋅27 måter. Generelt: 𝑛⋅ 𝑛−1 ⋅ 𝑛−2 ⋅⋯⋅ 𝑛−𝑘+1 = 𝑛! (𝑛−𝑘)! måter å velge ut r elementer fra en mengde på n elementer i ordnet rekkefølge, uten tilbakelegging. Uordnede utvalg uten tilbakelegging Klassen skal sette sammen en komité på fire elever. Men komiteen er flatt sammensatt (så det har ingenting å si for en elev om han/hun blir valgt på første, andre, tredje eller fjerde loddet): Dette kan gjøres på 30⋅29⋅28⋅27 4! måter. Generelt: 𝑛! 𝑘! 𝑛−𝑘 ! måter å velge ut k elementer fra en mengde på n elementer i uordnet rekkefølge, uten tilbakelegging. Merk: 7⋅6⋅5= 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 4⋅3⋅2⋅1 = 7! 4! . Det er grunnen til at 𝑛⋅ 𝑛−1 ⋅ 𝑛−2 ⋅⋯⋅ 𝑛−𝑘+1 = 𝑛! (𝑛−𝑘)! . Uordnede utvalg med tilbakelegging blir ikke dekket i dette pensumet.

7 Ordnede utvalg med tilbakelegging
Kroneksemplene er følgende: Hvis vi har en urne med 10 kuler i seg som er nummerert fra 1 til 10, og vi trekker en kule, ser på den og skriver ned hvilken det er, og så legger den tilbake; og vi gjør dette totalt 3 ganger; og rekkefølgen spiller en rolle. Da kan vi få f.eks. kule nr. 7, 7, 10. Eller kule nr. 1, 3, 8. Eller kule nr. 2, 5, 5. Osv. Det er 10 muligheter for første kule, 10 muligheter for andre, og 10 muligheter for tredje. Altså, totalt 10·10·10 = 10³ muligheter. Dette er bakgrunnen for at det heter ordnet utvalg med tilbakelegging. Et annet eksempel: Vi triller en terning 15 ganger. Rekkefølgen på hva vi får på terningen spiller en rolle. Det er da 6 muligheter for hva vi får første gangen, 6 muligheter andre gangen, 6 muligheter tredje gangen, osv. Totalt: muligheter. Vi har sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, og skal velge en fire-sifret pinkode til mobilen. Vi har da 10 muligheter for første siffer, 10 muligheter for andre siffer, 10 muligheter for tredje, og 10 muligheter for fjerde. Det er klart at pinkoden 1555 f.eks. regnes som forskjellig fra 5551 eller Altså betyr det at rekkefølgen spiller en rolle. Samme siffer kan (som vi nettopp så) brukes flere ganger. Altså er dette et tilfelle av «ordnet utvalg med tilbakelegging». Vi ser at det er 10⋅10⋅10⋅10= mulige pinkoder å velge mellom. Rent generelt ser vi at hvis vi har n mulige utfall for et forsøk, og vi gjennomfører dette samme forsøket k ganger, har vi da 𝑛⋅𝑛⋅⋯⋅𝑛=𝑛 𝑘 mulige utfall.

8 Eksempler som ikke er ordnet utvalg med tilbakelegging
Et av vanskelighetene studentene møter med dette pensumet, er å skille de ulike situasjonene fra hverandre. Vi skal derfor ta med to eksempler som ikke hører inn under kategorien ordnet utvalg med tilbakelegging, men som derimot hører inn under en av de andre som vi snart skal møte. Lotto-trekning: Det er 34 kuler i en beholder, og vi trekker 7 av dem. Dette er hverken ordnet eller med tilbakelegging. Vi kan aldri få samme Lotto-tall to ganger i samme rekke, f.eks., så dette er uten tilbakelegging. (Vi ser det også klart under Lotto-trekningen: Kulen legges jo ikke tilbake etter at den er blitt trukket.) Det er ikke ordnet, fordi hvis du har spilt f.eks. tallene 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14; og de under trekningen trekker 14, 2, 12, 6, 8, 10, 4; da har du jo vunnet. Det sentrale er at tallene trekkes, ikke i hvilken rekkefølge. (Dette eksempelet hører inn under uordnet utvalg uten tilbakelegging.) Personer som skal stille seg i kø: Hvis f.eks. 5 personer skal stille seg i kø utenfor billettluken til kinoen, og vi skal telle hvor mange måter det kan gjøres på, er dette ordnet utvalg, men det er ikke tilbakelegging her. Hvis Anne stiller seg opp først, da kan ikke hun samtidig være nummer 3 i køen. Da har vi «brukt opp» Anne, og må fundere på hvor mange måter de resterende personene kan stille seg opp bak henne. (Dette eksempelet hører inn under ordnet utvalg uten tilbakelegging.)

9 Ordnede utvalg uten tilbakelegging
Kroneksempler: Hvis vi har en urne med 10 kuler i seg som er nummerert fra 1 til 10, og vi trekker en kule og stiller den opp lengst til venstre (uten å legge den tilbake), og så trekker en kule til, stiller den opp ved siden av, og så trekker en tredje kule og stiller den opp ved siden av de to første. Da kan vi få f.eks. kule nr. 1, 7, 5. Eller kule nr. 5, 8, 2. Eller kule nr. 2, 8, 5 (siden rekkefølgen spiller en rolle). Osv. Det er 10 muligheter for første kule, men etter det er det bare 9 kuler igjen å velge mellom, og tredje gangen er det bare 8 kuler igjen. Altså, totalt 10·9·8 muligheter. Det er her navnet «ordnet utvalg uten tilbakelegging» kommer fra. Et annet eksempel: Klassen skal velge en tillitsvalgt, varatillitsvalgt og ordenselev. Det er 30 elever i klassen. Vervene må gå til 3 forskjellige elever (samme elev kan ikke være tillitsvalgt og ordenselev, f.eks.).Vi ser for oss at læreren skriver ned alle navnene på en lapp og legger i en urne. Første lapp som trekkes, bestemmer hvem som blir tillitsvalgt. Vi legger ikke lappen tilbake. Det er nå 29 lapper igjen. Vi trekker en lapp til og finner ut hvem som blir varatillitsvalgt. Tredje lapp bestemmer hvem som blir ordenselev. Dette er ordnet utvalg fordi hvis første lapp er Bente, andre lapp er Cecilie og tredje lapp er Anette, betyr det at Anette blir ordenselev. Hvis Anettes lapp hadde kommet først og Bentes som nr. 3, ville det betydd at Bente ble ordenselev isteden. Det er totalt 30·29·28 mulige utfall her.

10 Ordnede utvalg uten tilbakelegging
Enda et eksempel: 7 barn skal stille seg i kø foran billettluken til kinoen. Hvor mange måter kan de stille seg opp på? Helt fremme kan enten Anette, Bente, Cecilie, David, Erik, Finn eller Gustav stille seg opp. Men etter at en av disse har knabbet førsteplassen, betyr det at det nå er seks barn igjen som skal knive om andreplassen. Når en av disse har stilt seg opp, er det nå fem barn igjen som skal kjempe om tredjeplassen. Osv. Det betyr at vi får 7·6·5·4·3·2·1 muligheter, og dette er det samme som 7! (syv fakultet). Siste eksempel er et spesialtilfelle av ordnet utvalg uten tilbakelegging, der vi velger ut alle elevene fra mengden. Hvis vi i eksempelet på forrige slide skulle tildele verv til hver eneste av de 30 elevene i klassen, ville det blitt 30! muligheter å fordele vervene på. Og i kinoeksempelet, hvis bare tre av disse elevene skulle få lov til å stille seg i kø, ville det blitt 7·6·5 muligheter. Generelt: Hvis vi har n elever og skal tildele ulike verv til r av elevene, er det 𝑛⋅ 𝑛−1 ⋅⋯⋅(𝑛−𝑟+1) mulige måter å gjøre det på. Enda mer generelt: Har vi en mengde på n elementer, og skal velge ut r av disse i ordnet rekkefølge uten tilbakelegging, er det 𝑛⋅ 𝑛−1 ⋅⋯⋅(𝑛−𝑟+1) måter å gjøre det på. Dette produktet kan skrives på en annen måte. F.eks. kan 7·6·5 skrives som 7! 4! . Hvorfor? Jo, vi tar 7·6·5 og skriver som 7⋅6⋅5 1 , og så ganger vi oppe og nede med 4·3·2·1. Dette gir oss: 7⋅6⋅5 1 = 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 4⋅3⋅2⋅1 = 7! 4! I det generelle tilfellet får vi: 𝑛⋅ 𝑛−1 ⋅⋯⋅ 𝑛−𝑟+1 = 𝑛⋅ 𝑛−1 ⋅⋯⋅ 𝑛−𝑟+1 1 = 𝑛⋅ 𝑛−1 ⋅⋯⋅ 𝑛−𝑟+1 ⋅ 𝑛−𝑟 ⋅ 𝑛−𝑟−1 ⋅⋯⋅1 𝑛−𝑟 ⋅ 𝑛−𝑟−1 ⋅⋯⋅1 = 𝑛! 𝑛−𝑟 ! .

11 Ordnede utvalg uten tilbakelegging – generell formel
Det vi endte opp med helt nederst på forrige slide, er den generelle formelen for ordnet utvalg uten tilbakelegging. Vi gjentar den her: Hvis vi har n elementer og ønsker å velge ut r av disse i ordnet rekkefølge uten tilbakelegging, da kan dette gjøres på 𝑛! 𝑛−𝑟 ! mulige måter.

12 Eksempler som ikke er ordnet utvalg uten tilbakelegging
Vi gjentar at Lotto-trekning ikke er ordnet utvalg uten tilbakelegging. Det stemmer at det er uten tilbakelegging, men rekkefølgen spiller ingen rolle. Hvis tallene 3, 5, 9, 14, 17, 23, 29 blir trukket, betyr dette det samme som hvis 14, 17, 29, 3, 9, 5, 23 blir trukket. Kulene blir uansett stilt opp i stigende rekkefølge, og ingen bryr seg om du krysset av på 23 først eller sist da du fylte ut kupongen. Det betyr at Lotto-trekning er et eksempel på uordnet utvalg uten tilbakelegging. Sammensetningen av bilskilt er ikke uten tilbakelegging. Hvis vi f.eks. vil se på hvor mange muligheter det er med skilt som begynner med «SR», ser vi for oss at vi har ti lapper i en urne der alle sifrene fra 0 til 9 er representert. Vi plukker opp en lapp, leser av f.eks. «4» på lappen, skriver opp sifferet, og så legger vi lappen tilbake i urnen. Grunnen til det er at det må kunne gå an å få opp bilskiltet SR40043, f.eks. Samme siffer kan gjentas når vi lager et bilskilt, og derfor må lappene med sifre på legges tilbake i urnen før vi trekker på nytt igjen, for at vi ikke skal ekskludere noen muligheter.

13 Uordnede utvalg uten tilbakelegging
Kroneksempler: Vi har en urne med 5 kuler i seg: kule A, kule B, kule C, kule D og kule E. Vi skal se hvor mange måter det går an å trekke ut 3 kuler på, hvor rekkefølgen ikke spiller en rolle. Da kan vi trekke A,B,C, eller A,B,D, eller A,B,E, eller A,C,D, eller A,C,E, eller A,D,E, eller B,C,D, eller B,C,E, eller B,D,E, eller C,D,E. Altså 10 muligheter. Vi skriver ikke opp f.eks. C,B,A, fordi dette er samme mengde som A,B,C, i og med at rekkefølgen ikke skulle spille en rolle. Det er eksempelet med urnen som navnet «uordnet utvalg uten tilbakelegging» kommer fra. Dette har en notasjon: Vi skriver når vi mener antall måter å velge ut 3 elementer fra en mengde på 5, når rekkefølgen ikke skal spille en rolle og vi ikke har tilbakelegging. Denne notasjonen uttaler vi som «5 over 3» eller «5 velg 3». På engelsk sier man «5 choose 3». På kalkulatorene skriver man «5C3», hvor C står for «choose». På google.com kan man skrive «5 choose 3» i søkefeltet, og Google vil da gi oss svaret. Svaret kan også regnes ut. Vi skriver en brøkstrek, og i telleren er det 5·4·3 (her har vi tre faktorer fordi det er tre kuler vi skal velge fra), og i nevneren er det 3·2·1 (altså 3!, og 3-tallet er fordi det er tre kuler vi skulle velge ut). Altså: 5⋅4⋅3 3⋅2⋅1 =10. Andre eksempler: Vi har en kortstokk med 52 kort, og lurer på hvor mange måter man kan få utdelt 5 kort fra kortstokken. Da er det måter det kan skje på. Dette er lik 52⋅51⋅50⋅49⋅48 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = I en klasse på 30 elever skal det velges ut en komité på 3 elever der komiteen har flat struktur. Da er det = 30⋅29⋅28 3⋅2⋅1 =4060 mulige sammensetninger.

14 Uordnede utvalg uten tilbakelegging
Her er hvordan vi kommer frem til formelen for uordnede utvalg uten tilbakelegging: Vi ser for oss at vi har de fem kulene i urnen, og at vi nå skal velge ut alle mulige delmengder på 3 kuler. Vi begynner med å velge ut kulene der rekkefølgen spiller en rolle, for det vet vi allerede hvordan vi skal gjøre. Det er 5⋅4⋅3 måter å velge ut 3 kuler på hvis rekkefølgen spiller en rolle. Disse ulike utvalgene skriver vi opp under: A,B,C A,B,D A,B,E A,C,D A,C,E A,D,E B,C,D B,C,E B,D,E C,D,E A,C,B A,D,B A,E,B A,D,C A,E,C A,E,D B,D,C B,E,C B,E,D C,E,D B,A,C B,A,D B,A,E C,A,D C,A,E D,A,E C,B,D C,B,E D,B,E D,C,E B,C,A B,D,A B,E,A C,D,A C,E,A D,E,A C,D,B C,E,B D,E,B D,E,C C,A,B D,A,B E,A,B D,A,C E,A,C E,A,D D,B,C E,B,C E,B,D E,C,D C,B,A D,B,A E,B,A D,C,A E,C,A E,D,A D,C,B E,C,B E,D,B E,D,C Nå skal vi se på hvor mange av disse utvalgene som faktisk er distinkte utvalg, der det ikke bare er sånn at rekkefølgen er litt annerledes og vi egentlig bare har listet opp de samme bokstavene. Hvis vi ser på A,B,C, så ser vi at det som står under, bare er de samme bokstavene, men i en annen rekkefølge. Altså kan vi stryke over A,C,B, B,A,C, B,C,A, osv. Alt under A,B,C, altså. Vi ser også umiddelbart at det samme gjelder for alle de andre kolonnene. Hver kolonne er bare de samme bokstavene listet opp i en annen rekkefølge. Hvor stor er hver kolonne? Det er like mange elementer i kolonnen som det er mulige ordninger av tre bokstaver. Det er seks måter å liste opp f.eks. A,B,C på, seks måter å liste opp A,B,D på, seks måter å liste opp A,B,E på, osv. Tallet seks kommer av gangestykket 3·2·1. Hadde det vært fire bokstaver som skulle ordnes i ulike rekkefølger, ville det vært 4·3·2·1 elementer i hver kolonne. Vi tar derfor alle de 5·4·3 opplistingene og dividerer med 3·2·1, og da har vi antall måter vi kan velge ut 3 kuler fra urnen på der rekkefølgen ikke spiller en rolle. Det er altså 5⋅4⋅3 3⋅2⋅1 måter å velge ut 3 kuler på når rekkefølgen ikke spiller en rolle.

15 Uordnede utvalg uten tilbakelegging
Fra eksempelet på forrige slide ser vi at hvis vi f.eks. skulle velge ut 5 kort fra en kortstokk på 52 kort, da kunne vi først latt rekkefølgen spille en rolle, og vi ville fått 52·51·50·49·48 mulige måter å velge ut 5 kort på der rekkefølgen spiller en rolle. Vi kunne listet opp alle disse mulighetene på samme måte som med kulene på forrige slide, der hver kolonne ville være ulike ordninger av de samme kortene. Hver kolonne ville da hatt 5·4·3·2·1 elementer i seg. Siden vi ikke ønsker å la rekkefølgen spille en rolle, må vi da dividere med antallet elementer det er i hver kolonne. Svaret blir da 52⋅51⋅50⋅49⋅48 5⋅4⋅3⋅2⋅1 måter å velge ut 5 kort på når rekkefølgen ikke spiller en rolle. For å forenkle skrivingen, kan vi isteden huske at 5! er det samme som 5·4·3·2·1, og skrive brøken som 52⋅51⋅50⋅49⋅48 5! . Dette kan faktisk skrives på en enda mer effektiv måte. Vi har at 52⋅51⋅50⋅49⋅48 5! = 52⋅51⋅50⋅49⋅48⋅47⋅46⋅45⋅⋯⋅3⋅2⋅1 5!⋅47⋅46⋅45⋅⋯⋅3⋅2⋅1 . Men her er jo telleren lik produktet av alle heltallene fra 52 til og med 1, og dette er det samme som 52!. I nevneren har vi 47⋅46⋅45⋅⋯⋅3⋅2⋅1, som er det samme som 47!. Dermed blir hele denne brøken det samme som 52! 5!⋅47! . Den generelle formelen for uordnet utvalg uten tilbakelegging er på den formen, der vi skriver n istedenfor 52, og vi skriver k istedenfor 5. Og så blir jo 47 det samme som n–k. Så alle måter å velge ut k elementer fra n elementer på, når det er uordnet uten tilbakelegging, er 𝑛! 𝑘!⋅ 𝑛−𝑘 ! .

16 Uordnede utvalg uten tilbakelegging
Oppsummert: Hvis vi f.eks. skal velge ut 5 kort fra en kortstokk på 52, og rekkefølgen ikke spiller en rolle, kan dette gjøres på = 52⋅51⋅50⋅49⋅48 5! måter. Regnestykket kan også settes opp som = 52! 5!⋅47! . Den generelle formelen er 𝑛 𝑘 = 𝑛! 𝑘!⋅ 𝑛−𝑘 ! .

17 Uordnede utvalg uten tilbakelegging
Vær oppmerksom på følgende: Hvis vi har en kortstokk på 52 kort, og vi ønsker å velge ut 0 kort fra kortstokken, da kan dette gjøres på én måte. Altså er =1. Mange studenter og elever tror at dette tallet skulle vært lik 0, men det stemmer ikke. Hvis det var 0, ville det vært som å si at det er umulig å velge 0 kort fra kortstokken. Men det er jo ingen som blir tvunget til å måtte velge kort fra kortstokken. Det som er riktig, er å si at det er umulig å velge f.eks. 100 kort fra en kortstokk på 52. Så det tallet er faktisk lik 0. Altså, =0. Formelen vår, som sier at 𝑛 𝑘 = 𝑛! 𝑘!⋅ 𝑛−𝑘 ! , gir oss faktisk også 1 i tilfellet der vi skal velge 0 kort. Hvis vi setter inn n = 52 og k = 0, da får vi = 52! 0!⋅ 52−0 ! , og så husker vi at vi pr. definisjon har at 0! = 1, og vi får dermed 52! 1⋅52! =1, som ønsket. Hvis vi har lyst til å velge alle 52 kortene fra kortstokken, er det også én måte det kan gjøres på. Dette oppfattes som ganske logisk av de fleste studenter og elever, men vi tar allikevel dette med som en ekstra merknad for å vise at formelen stemmer fint også i dette tilfellet. Vi setter da n = 52 og k = 52, og får = 52! 52!⋅ 52−52 ! = 52! 52!⋅0! , og her ser vi helt klart at det er logisk at 0! er definert til å være lik 1, for det er kun da at denne brøken blir lik 1. Altså: 52! 52!⋅1 =1.

18 Oppgaver Vurder hvilken kombinatoriske modell som skal brukes i de ulike situasjonene: Du har 20 ulike bøker du skal velge mellom, og du ønsker å velge ut 4 bøker å ha med deg på feriereisen. Du har flyttet og skal nå pakke ut bøkene fra flytteeskene og plassere dem i bokhyllen. Du lurer på hvor mange måter bøkene kan plasseres på. Du har 300 bøker totalt. Per, Pål og Kari er på besøk og ønsker å låne noen filmer fra deg. Du bestemmer deg for å låne én film til hver av dem. Du har 30 filmer i samlingen din. Hvor mange måter kan du velge ut filmer til dem på? Du har dine fem barnebarn på besøk. Du har tatt dem med deg på fisketur. Det er fem ulike fiskeslag i innsjøen, og du har tenkt å fiske én fisk til hvert av barnebarna (de får ikke lov til å låne det dyre fiskeutstyret ditt, så de får bare se på at du fisker). Hvor mange måter kan du fiske fisk til dem på?

19 Hjemmearbeid 7.29, 7.30, 7.33, 7.34, 7.35, 7.36, 7.37, 7.38, 7.39 (krever litt tenkning), 7.40, 7.41, 7.42, 7.43, 7.44, 7.45, 7.46, 7.47, 7.48 (ikke direkte rettet inn mot pensum, men tankegangen er den samme, og det er en interessant oppgave), 7.49 (regn ut både ved hjelp av formelen, og ved logisk resonnering).