Noen kortfattete eksempler. Litt gresk matematikk Noen kortfattete eksempler.

Thales fra Miletos (624-547 B.C.E.) Thales har blitt tillagt æren for å være den første som sa at naturen er styrt av lover som kan oppdages og beskrives. Han er blant annet kjent for følgende ting: Kunne forutsi solformørkelser. Kunne måle avstander til skip på sjøen. Fant ut at vinklene ved grunnlinja i en likebeint trekant er like store. Fant at diameteren deler en sirkel i to like store deler.

Pytagoras og pytagoreerne Pytagoras (572-497 B.C.E) Tall, dvs. hele tall, var bygningsstein for alle ting. Alle ting kunne beskrives med tall. Arbeidet bl.a. med harmonier og svingende strenger. Studerte mange sider ved de hele tallene. Pytagoreerne brukte sannsynligvis prikker eller småstein som tegn for tall. De kunne derfor få svært konkrete illustrasjoner

Partall og oddetall

Kvadrattall     Her kan man lett se at kvadratet av et partall er et partall, mens kvadratet av et oddetall er et oddetall.

Kvadrattall forts. Når du legger til nye sider i kvadratet, legger du til to så lange lengder som du har fra før + et tall i hjørnet. Pytagoreerne generaliserte dette og viste at du kan få kvadrattallene ved å addere etterfølgende oddetall: 1 + 3 = 22 1 + 3 + 5 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 42

Trekanttall Trekanttallene får du ganske enkelt ved suksessivt å legge til de naturlige tallene.

Avlange tall De avlange tallene (figur 5) er 1  2, 2  3, 3  4, 4  5 og så videre.

Smhg. trekanttall og kvadrattall Her kan vi lett se at ethvert kvadrattall er summen av to påfølgende trekanttall og at avlange tall er det dobbelte av et trekanttall.

Klassiske problemer Slik kunne Pytagoreerne leke med tall. De fikk imidlertid problemer med lengder, for de mente at alle lengder måtte kunne uttrykkes som hele tall eller deler av dem. Dermed kom de til å benekte eksistensen av irrasjonale tall. (For eksempel så er diagonalen i et kvadrat der sidene er et helt tall, et irrasjonalt tall). Dette standpunktet førte til mye trøbbel.

Antikkens tre store matematiske problemer Sirkelens kvadratur. Fordobling av en terning. Tredeling av en vinkel ved konstruksjon

Platon (429-347 B.C.E). Grunnla i år 385 B.C.E sitt Akademi. I ettertid er det blitt påstått at følgende setning sto over døra: “La ingen som er ukjent med geometri få komme inn her”. Den matematiske delen av studiet besto av aritmetikk, plangeometri, romgeometri, astronomi og harmoni (musikk).

Aristoteles (384-322 B.C.E). Var student hos Platon. Ble senere lærer for Aleksander (den store). Dannet så sin egen skole, Lyceum. Utviklet regler for logiske argumenter

Euklid (Nøyaktige årstall for levetid mangler). Skrev de berømte Elementene i 13 bind, de mest innflytelsesrike av alle matematiske verker. Bøkene er kompendier som summerer opp den matematiske viten som fantes på den tiden og systematiserer denne viten.

Elementene. Elementene starter med en del definisjoner. Eks.: et punkt er noe som ikke har noen deler. Etter definisjonene kommer en del postulater. Dette er sannheter som gjelder spesielt for matematikk, og som ikke trenger bevis. Eks.: alle rette vinkler er like store. Så kommer et sett aksiomer, sannheter som er felles for alle vitenskaper. Eks.: helheten er større enn delene.

Tallteori hos Euklid. Tre av bøkene (7, 8 og 9) omhandler tallteori. Også disse starter med definisjoner. Eks.: et større tall er et multiplum av et mindre tall når det kan måles med det mindre. I bok 7 introduseres den berømte Euklidske algoritme for å finne største felles mål for to tall, eller vise at de er inkommensurable. (Algoritmen var kjent lenge før Euklid).

De fire siste bøkene I bok 10 (den som av mange regnes som den beste) behandler Euklid irrasjonale størrelser. De siste bøkene handler om romgeometri.

Arkimedes 287-212 B.C.E). Arkimedes var den første som skapte skikkelige matematiske modeller fra fysiske problemer. Spesielt kjent er loven om oppdrift i vann. Godt kjent er også hans lover for vektstenger. Eks.: Vekter som balanserer i like avstander (fra aksen) er like store.

Litt av hans matematikk. En av hans teoremer er det følgende: Arealet av sirkel er lik arealet av en rettvinklet trekant hvor en av katetene er lik radius og den andre lik omkretsen. (SJEKK DETTE SELV.) Arkimedes fant ut at forholdet mellom omkretsen og diameteren til sirkelen ligger mellom 3 1/7 og 3 10/71. Arkimedes fant mange matematiske sammenhenger som vi ikke kan gå inn på her.

Hvor nøyaktig var hans ? 3 1/7  3,1428571 3 10/71  3,140845   3,1415926.. Vi ser at 3 1/7 -   0,0012645 og at  - 3 10/71  0,0007476. Arkimedes kom altså svært nær en moderne verdi for . ( er nå regnet ut med noen milliarder desimaler!)

Appolonius (250-175 B.C.E). Appolonius er først og fremst kjent for sine arbeider med såkalte kjeglesnitt, dvs. ellipser, parabler og hyperbler. Hans funn var forbløffende avanserte. Han behandler for eksempler brennvidden i parabler, det som i dag utnyttes i slike ting som parabolantenner og lysreflektorer.

Ptolemaios (c. 100 - 178 C.E). Ptolemaios er kjent for sin astronomi. Han ga en komplett beskrivelse av gresk astronomi i sin “Matematisk samling”, også den i 13 bøker. Flere hundreår etter at den var skrevet, begynte islamske vitenskapsmenn å kalle den for al-magisti, “den største”. Verket har siden vært kjent under navnet Almagest. Alle senere verker i astronomi til og med Copernicus bygget på den.

Nikomakus. (Nøyaktige årstall for levetid mangler). Nikomakus var tallteoretiker. Han fant f.eks. de fire første perfekte tallene, 6, 28, 496 og 8128. De perfekte tallene er lik summen av sine faktorer (de tallene som går opp i tallet). F.eks. så er 28 = 1+2+4+7+14. (Euklid hadde beskrevet perfekte tall, men kjente ikke det fjerde).

Nikomakus forts. Nikomakus utvidet pytagoreernes plane tall (se over) til flersidete tall (5-kanttall osv.) Han opererte også med romlige tall, f. eks. pyramidetall.

Diofantos. (Nøyaktige årstall for levetid mangler. Diofantiske likninger: Dette er likningssett med flere ukjente enn antall likninger (f.eks. 3 ukjente og bare to likninger). Slike likninger har gjerne mange løsninger, av og til uendelig mange. Løsningene er forutsatt å være rasjonale tall.

Diofantos forts. Diofantos er også kjent for å ha innført bruk av symboler (symbolske forkortinger) i sine likninger. (Eks..  som oversatt skal bety 3 kvadrater, 12 tall og 9 enheter). Også Diofantos skal ha skrevet 13 bøker. Bare 6 av dem er kjente i ettertiden. Dette er arabiske oversettelser av en kommentarutgave skrevet av Hypatia.

Hypatia (ca. 370-415 B.C.E). Hypatia var den siste store matematikeren i den hellenistiske kulturen. Også hun bodde i Aleksandria. (Datter av en annen matematiker, Theon). Hun fortsatte å undervise i den gamle platonske filosofien, selv om kristendommen hadde blitt statsreligion. Dette førte til at hun ble myrdet under stridigheter mellom de kristne og hedningene. Striden var dessuten blandet opp med personstrid om det politiske lederskapet i byen.