KOMPLEKSE TALL Laila

Komplekse tall 2.gradsligning: ax2 + bx + c = 0 Har løsning  b2 – 4ac  0 N Z Q R C x2 + 1 = 0  x2 = -1 Def av den imaginære enhet: j2 = -1

Mengden C De komplekse tall Geometrisk representasjon Imaginær akse Generell skrivemåte: z = a + bj Kalles rektangulær form Realdel: Re(z) = a Imaginærdel: Im(z) = b z = Re(z) + Im(z)j (a b) b z a Reell akse z = a + bj Alle reelle tall kan skrives: x + 0j  R  C

Kompleks konjugert z = a + bj z = a - bj Imaginær akse 2 + 3j Reell akse Imaginær akse

Regning med komplekse tall z1 = a1 + b1j  z2 = a2 + b2 j z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2) j z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2) j z1 = a1 + b1j  z2 = a2 + b2 j z1  z2 = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + a2b1) j Eksempel på multiplikasjon Vanlige parentesregler gjelder (Husk at j2 = -1 ) (3 + 2j)  (2 – 5j) = 6 – 15 j + 4 j – 10j2 = 16 – 11j

Konjugatsetningen z = a + bj  z = a – bj z  z = (a + bj ) (a – bj )= a2 - b2j2 = a2 + b2 Modulus z = a + bj  z = a – bj |z | = |a + bj | =  a2 + b2 |z | = |z | Omforme brøk -- eksempel 3 + 4j (3 + 4j)  (2 – 3j) 18 – j 18 1 2 + 3j (2 + 3j)  (2 – 3j) 13 13 13 = = = - j Den kompleks konjugerte til nevner Rektangulær form

Re(z) = a = r cos  = |z| cos  Im(z) = b = r sin  = |z| sin  Polarkoordinater a = r cos  b = r sin  r = |z| = a2 + b2 Imaginær akse (a b) b r  a Reell akse Re(z) = a = r cos  = |z| cos  Im(z) = b = r sin  = |z| sin  z = a + bj z = |z| (cos  +j sin )

Eksempel z = 1 + j argument r = |z| = 12 + 12 modulus r = 2  Imaginær akse r = |z| = 12 + 12 modulus (a b) r = 2 b r  z = |z| (cos  +j sin ) a Reell akse z = 2 (cos + j sin ) z = 2 (cos + j sin )

Fra rektangulær form til polar z = a + bj r = |z | =  a2 + b2  z = |z| (cos  + j sin ) tan = b/a Fra polar til rektangulær form z = 4 (cos + j sin ) = 4  ½ 3 + j  4  ½ = 2 3 + 2j  6  6

= (cos (1 - 2) + j sin (1 - 2)) Produkt z1 = r1 (cos 1 + j sin 1) z2 = r2 (cos 2 + j sin 2) z1  z2 = r1 r2 (cos (1 + 2) + j sin (1 + 2)) Divisjon z1 = r1 (cos 1 + j sin 1) z2 = r2 (cos 2 + j sin 2) = (cos (1 - 2) + j sin (1 - 2)) z1 z2 r1 r2

Potenser z = r (cos  + j sin ) z2 = r2 (cos 2 + j sin 2) z3 = r3 (cos 3 + j sin 3) ……… zn = rn (cos n + j sin n) zn = r (cos n + j sin n) Gjelder for alle n  Q

Spesielle vinkler skrevet som brøker av  90= Spesielle vinkler skrevet som brøker av  135= 45 = 180=  0= 0 360= 2 315= 225= 270= 120= 60 = 150= 30= 330= Vi skriver vinkler som brøker av  når vi kan. Ellers gis radianer som desimaltall. 210= 300= 240=

Eksempel z1 = 1 + j  z2 = 3 + j |z1| = 2  arg(z1 ) = w Eksempel z1 = 1 + j  z2 = 3 + j |z1| = 2  arg(z1 ) = |z2| = 2  arg(z2 ) =  4  6 z1 5 12 z2  4  6 w = z1  z2 |w| = |z1||z2| = 22 arg(w) =  4  6 5 12 + =

Eksempel z3 = r3 (cos 3 + j sin 3) = 1(cos 0 + j sin 0)  r3 = 1  r = 1  3 = 0 + 2k   = k = 0,1,2 Finne z når z3 = 1  z = r (cos  + j sin ) 1 = 1(cos 0 + j sin 0) 2 3 z1 k = 0   = 0  z = 1(cos 0 + j sin 0 ) = 1 k = 1   =  z = 1 (cos + j sin ) = - ½ + ½ j 3 2 3 2 3 k = 2   =  z = 1(cos + j sin ) = - ½ – ½ j 3 4 3 4 3 2 3 z0 2 3 2 3 z2

Vinkelmål: radianer  cos  sin  tan   = 180 -1  2 = 90 1    3 = 60 ½ ½ 3 3  4 = 45 ½ 2 ½ 2 1  6 ½ 3 ½ = 30 1/ 3