MRI – matematiske utfordringer Atle Bjørnerud Fysisk inst, UiO Avd for Med Fys - RRHF

Rikshospitalet / Radiumhospitalet Norges største sykehus (7000 ansatte) 7 MR maskiner Betydelig MR-forskning

En moderne MR

MRI = mangfold og fleksibilitet

Protoner (I=1/2) i et magnetfelt (B0) vil stille seg enten parallelt eller anti-parallelt med B0 ms=+1/2 (’spinn opp’) ms=-1/2 (’spinn ned’)

Magnetisk nettomoment, M0 B0 M0 Det målbare NMR-signalet skalerer med Mo: ønsker størst mulig M0! M0 øker proposjonalt med B0

Vevets magnetisering i et magnetfelt B0

Vevets magnetisering i et magnetfelt M tippes vinkelrett på B0 – kan nå registreres med RF-spole Mxy RF-puls

Formalistic description of the MR reconstruction process The MR image is the Fourier Transform (FT) of the (time varying) magnetization distribution in the object as a function of applied field gradients .

The k-space concept ’k-space’ Phase encoding Frequency encoding K-space is a digital visualization of the signal echoes. The magnitude of the echo signal (as function of applied gradients) is visualized on a greyscale.. echo 1 echo 2 echo 3 ..... ’k-space’ Phase encoding Frequency encoding greyscale visualization

K-space and applied gradients Gy phase encoding

The Fourier integral FT M(t) (r)

Description of the reconstruction problem Need to fill k-space with data points which uniquely describe the imaged object. Think of phase- and frequency encoding gradients as means of ’moving’ (adding new datapoints) in k-space.

K-space (2D) ky kx Phase (preparation) direction Frequency (read-out) direction

K-space (3D) ky kz kx Phase (preparation) direction Frequency (read-out) direction

MRI gir volumetrisk informasjon

Dynamisk MR

Vaskulær framstilling (MR Angiografi)

Diffusjons MR - Traktografi

Statistisk parametrisk kart av cortical tykkelse i schizofrene vs kontroller tykkere tynnere Data Courtesy of Gina Kuperberg, MGH

Noen aktuelle problemstillinger Perfusjons-analyse Diffusjons-analyse

Perfusjons-MR Fire parametre: Blood flow (perfusjon), rBF Blood volume, rBV Mean Transit Time, rMTT Time to Peak, TTP

Slag: Forlenget MTT = area at risk 3 timer efter slag DWI T2 rMTT 5 dagers oppfølging med DWI Østergaard et al, Århus, Danmark

Malign tumor (glioblastom) BV kart T1-v (m/kontrast)

Konvertere signal-respons til KM ’konsentrasjon’ Bruk av raske T2 Konvertere signal-respons til KM ’konsentrasjon’ Bruk av raske T2*-vektede sekvenser (FID-EPI)

Relativ perfusjons-estimering (rBV) R2*max (rBF) rMTT=rBV/rBF

Perfusjons-MR Ca(t) arterie Vevets residualfunksjon C(t) R(t) kapillærnett vene

Vi ønsker å bestemme blodvolum of flow fra målte Ca(t) og C(t) Standard tracer kinetikk modell: Ca(t) C(t) R(t) BF=R(0) => må bestemme R(t)

Standard dekonvolusjons-problem Ca(t) C(t) R(t) F

Deconvolusjon Ideelt (støyløs) situasjon: enkel løsning – f.eks divisjon i Fourier domain:

Estimering av flow I praksis: støy i både Ca(t) og C(t) gir ustabilitet. Må anvende low-pass filter men hva er optimalt cutoff ? W(f) er f.eks Wiener filter med cutoff basert på støyprofilen i C(t)

Estimering av flow Mer robuste metoder for å estimere R(t) ? Parametrisk modellering? Bayesiansk modell? Singular Value Decomposition (SVD) ?

Estimering av flow dekonvolusjons-integral i matrise-notatsjon:

SVD Dekomponere A til produkt av ortogonale matriser (UTU=I) : V,  og UT er alltid inverterbare. Diagnonalen i  er singulærverdiene. Alle ikke-diagonale elementer i  er null.

SVD Utfordring: finne korrekt rank for Ar for å fjerne støy og beholde mest mulig av sant signal. Bare beholde r største singular values: max r rank Hva er korrekt cutoff?

Perfusjons-analyse

Singular value cutoff r= 0.01 max F=175 mL/100 g / min r =0.2 max

Singular value cutoff r= 0.8 max F=9.6 mL/100 g / min

Hva er korrekt SVD cutoff? Avhengig av støyprofil (SNR) i Ca(t). Finne optimal r som funksjon av SNR? (adaptive thresholding) Iterativ SVD: endre r til oscillasjon i R(t) er < predefinert verdi. Annet?

Alternative metoder til SVD? Parametrisk modellering av R(t): Hvor h(t) er sum av gamma variat funksjoner.

Videre forbedringer Bayesiansk modellering: inkluere apriori informasjon av forventede verdier av flow og volum, samt annen kjent info (e.g. Ikke-negative parameter-verdier i gamma-var estimering etc) Annet?

Diffusjons-tensor avbilding Fremstilling av grad av diffusjons-anisotropi på cellulært nivå i hjernen Grad av anisotropi avhengig av cellulær struktur og viabilitet

Diffusjons-tensor avbilding Karakterisering av hvit substans 3D struktur Måler både grad og retning av vann-molekylers diffusjon i biologisk vev Restricted self diffusion Self diffusion

Diffusjon Vann-molekyler opplever konstant termisk bevegelse (Brownian motion) t1 t2 t3 Diffusjon beskrives ved diffusjons-koeffisient, D y x

(An)isotropisk diffusjon Sfærisk distribusjon Fri diffusion (1 = 2 = 3) Retningsorientert diffusion (1 > 2 > 3) Anisotropisk diffusjon Ellipse-formet distribusjon

Tensor diagonalization Diffusjons tensor Fri diffusjon: Retnings-orientert diffusjon: y x ÷ ø ö ç è æ zz yz xz yy xy xx D Tensor diagonalization ÷ ø ö ç è æ 3 2 1 l

Hvordan bestemme en diffusjons-tensor: Trenger 6 uavhengige målinger (3D) Dx << Dy Anisotrop diffusjon Dx = Dy isotrop diffusjon?? Dx = Dy Isotrop diffusjon I 2D: trenger Dx, Dy and Dxy (min 3 målinger) I 3D: trenger Dx, Dy, Dz and Dxy, Dxz, Dyz (min 6 målinger)

DTI: Min. 7 bilder per snitt (0,0,0) (1,0,1) (-1,0,1) (0,1,1) (0,1,-1) (1,1,0) (-1,1,0)

Diffusjons tensor analyse Forhold mellom signal bortfall og gradient puls (Stejskal-Tanner): i=1,…,n : signal intensitet med gradienter (b>0) : opprinnelig signal intensitet i T2 bildet (b=0) : gradient retninger

Diffusjons tensor analyse n=6 6 ligninger med 6 ukjente Eksakt analytisk løsning n>6 Overdeterminert system Singular Value Decomposition (SVD)

Diffusjons tensor analyse: Parametriske kart ÷ ø ö ç è æ zz yz xz yy xy xx D D = ÷ ø ö ç è æ 3 2 1 l Tensor diagonalization voxel Anisotropic Tensor roteres til billed-planet Isotropic

Parametriske kart: Retning = farge Farge = Retning til største egenvektor Rød = Høyre-Venstre Grønn = Anterior-Posterior Blå = Superior-Inferior Intensitet skalert med anisotropi (FA)

Fiber Tracking Sporing av diffusjon mellom suksessive voksler; gruppering av punkter som utgjør fiber-baner Følg egenvektor med størst egenverdi Bruk av Region-Of-Interest for utvelgelse av fiber-baner Seed and target ROI ekskluderende/inkluderende ROIs ‘Exhaustive’ search Stopp-kriterier: for lav FA-verdi inkoherens mellom suksessive egenvektorer FACT (Fiber Assignment by Continous Tracking) Mori et.al Ann. Neurol. 1999;45:265-269

‘Search from seed’ vs ‘Exhaustive search’

Utfordringer… Største tensor egenvektor representerer ikke nødvendigvis sann diffusjons-retning 1 = 2 > 3 (Sigar-form -> Pannekake) Signal-to-noise Partial-Volume-Effects 1 voxel kan dekke flere typer vev (ulike fibre, CSF, grå substans). Ikke nødvendigvis bare 1 dominant diffusjons-retning Kryssende fiberbaner

Mange ytterligere matematiske utfordringer … Koregistrering av forskjellige datasett Optimalisering av MR rekonstruksjon Forbedre algoritmer innen MR traktografi Automatisering av analysemetoder Statistiske metoder innen Funksjonell MRI (fMRI) Etc, etc.