Vi har lært å bestemme: - Nullpunkter (y=0) - Skjæringspunkt med y-aksen (x=0) - Topp-/bunnpunkter (hvor mange) - Gjennomsnittlig og momentan vekst (dervivert) - Arealet under kurven (bestemt integral) Betrakt funksjonen

Stigningstall - parabel Vi ønsker å finne stigningstallet for parabelen f(x) = 0,2x2 - 2 Hvordan kan vi finne stigningstallet? Prøv med punktene (5, 3) og (7, 8)

Gjennomsnittlig vekst y / x = (y2 - y1 ) / (x2 - x1 ) = (8-3) / (7-5) = 5/2 = 2,5

Momentan vekst Momentan vekst i ett punkt x1 finner vi ved å trekke en rett linje gjennom x1 og et nytt punkt nærmest mulig x1. Vi gjør forskjellen mellom x1 og x2 så liten som overhodet mulig x  0 …. da går også y  0 Slik finner vi stigningstallet for et punkt x1

Areal under kurver Integral Finn arealet mellom grafen og x-aksen for 1 < x < 4. Dette går greit med lineære funksjoner, det er bare å beregne arealet av et trapes. Arealet blir (1+4) / 2 · 3 = 7,5. Men hva gjør vi dersom grafen ikke er en rett linje? Da kan vi finne arealet under kurven ved integrasjon. Vi ser på arealet som summen av flere smale rektangler. I figuren er bredden på rektang-lene 1, for mye til å få et tilfredsstillende svar. Legger vi dem sammen, får vi nemlig et areal på 6, ikke 7,5.

Hva blir det samlede arealet av rektanglene mellom x=1 og x=4 nå? Vi gjør derfor rektanglene smalere, og prøver oss fram med en bredde på 0,5: Rødt: 1 · 0,5 = 0,5 Gult: 1,5 · 0,5 = 0,75 Grønt: 2 · 0,5 = 1 Blått: 2,5 · 0,5 = 1,25 Fiolett: 3 · 0,5 = 1,5 Lilla: 3,5 · 0,5 = 1,75 Summen av rektanglene blir 6,75, atskillig nærmere det korrekte svaret, som vi husker var 7,5.

Jo smalere vi gjør rektanglene, jo nærmere kommer vi det riktige arealet. Kan vi finne en generell formel for arealet av hvert av rektanglene? Hva er høyden? Jo, den må være den samme som funksjonsverdien, f(x). Og hva med bredden (som altså er 0,5 i eksemplet)? Kan den skrives generelt? Fra arbeidet med derivasjon husker vi betegnelsen x, og nettopp det blir bredden på hvert rektangel. Arealet av hvert rektangel blir f(x) · x.

Vi har nå en felles formel for arealet av hvert rektangel. Samlet areal er tilnærmet lik summen av disse. Ved hjelp av et eget summe-tegn,  (sigma), kan vi uttrykke det samlede arealet slik: Jo smalere vi gjør rektanglene, det vil si at x0, jo nærmere kommer vi det riktige arealet. Dette kalles en Riemann-sum etter den tyske matematikeren  G.F.B. Riemann (1826-1866).  Riemann som formulerte det teoretiske grunnlaget for de integralene dere vil møte i skolen. Arealet av hvert rektangel blir dermed f(x) · x.

Vi skal nå betrakte en kurve som ikke er rett. Også her ser vi hvordan arealet blir stadig mer nøyaktig når vi gjør x mindre.

Integraltegn bruker vi en egen integralnotasjon. I stedet for å notere det samlede arealet som en Riemannsum bruker vi en egen integralnotasjon. I stedet for  brukes et eget tegn, Dessuten erstattes x med dx. Integralet blir da seende slik ut:

Vi har vist hvordan arealer av denne typen kan regnes ut på lommeregneren

Vi skal se et eksempel på at integrasjon kan benyttes til å Men kan vi bruke integralregning til mer “matnyttige” ting? Vi skal se et eksempel på at integrasjon kan benyttes til å finne samlet mengde.

En syklist starter opp med 0 m/s. Etter 20 s er farten oppe i 10 m/s. Fartsøkningen er ikke jevn, for farten følger funksjonen f(x), der x er tiden (angitt i sekunder). Hva representerer arealet under grafen? 3 2 - x + 30 x f(x) = 400