René Descartes (1596–1650) Innførte koordinatsystemet Løste geometriske problemer ved å regne med likninger for kurver. Vårt koordinatsystem kalles ofte ”kartesisk”, oppkalt etter Descartes.

Gottfried Leibniz (1646–1716) Isaac Newton (1643–1727)

Arkimedes beregnet arealet under en andregradskurve (parabel). Han beregnet også omkretsen og arealet av en sirkel, og kom dermed fram til verdien av p. Leselekse til i morgen: Kap. 6.8: Historisk bakgrunn Arkimedes (287–212 f. Kr.)

Over til nåtiden! Finn fram lomme-regneren, og legg inn følgende funksjon/graf:

Vi har lært å bestemme: - Nullpunkter (y=0) - Skjæringspunkt med y-aksen (x=0) - Topp-/bunnpunkter (hvor mange) - Gjennomsnittlig og momentan vekst (dervivert) - Flere aktuelle? - Hva med arealet?

Areal under kurver Integral Finn arealet mellom grafen og x-aksen for 1 < x < 4. Dette går greit med lineære funksjoner, det er bare å beregne arealet av et trapes. Arealet blir (1+4) / 2 · 3 = 7,5. Men hva gjør vi dersom grafen ikke er en rett linje? Vi skal snuse litt på en annen metode for å finne arealet under kurver, kalt integrasjon. Da ser vi på arealet som summen av flere smale rektangler. I figuren er bredden på rektang-lene 1, for mye til å få et tilfredsstillende svar. Legger vi dem sammen, får vi nemlig et areal på 6, ikke 7,5.

Vi gjør derfor rektanglene smalere, og prøver oss fram med en bredde på 0,5: Rødt: 1 · 0,5 = 0,5 Gult: 1,5 · 0,5 = 0,75 Grønt: 2 · 0,5 = 1 Blått: 2,5 · 0,5 = 1,25 Fiolett: 3 · 0,5 = 1,5 Lilla: 3,5 · 0,5 = 1,75 Summen av rektanglene blir: Ja, riktig: 6,75 Dette ligger atskillig nærmere det korrekte svaret, som vi husker var 7,5. Hva blir det samlede arealet av rektanglene mellom x=1 og x=4 nå?

Jo smalere vi gjør rektanglene, jo nærmere kommer vi det riktige arealet. Kan vi finne en generell formel for arealet av hvert av rektanglene? Hva er høyden? Jo, den må være den samme som funksjonsverdien, f(x). Og hva med bredden (som altså er 0,5 i eksemplet)? Kan den skrives generelt? Fra arbeidet med derivasjon husker vi betegnelsen x, og nettopp det blir bredden på hvert rektangel. Arealet av hvert rektangel blir dermed f(x) · x.

Vi har nå en felles formel for arealet av hvert rektangel. Samlet areal er tilnærmet lik summen av disse. Ved hjelp av et eget summe-tegn,  (sigma), kan vi uttrykke det samlede arealet slik: Jo smalere vi gjør rektanglene, det vil si at x0, jo nærmere kommer vi det riktige arealet. Dette kalles en Riemann-sum etter den tyske matematikeren  G.F.B. Riemann (1826-1866).  Riemann som formulerte det teoretiske grunnlaget for de integralene dere vil møte i skolen. Arealet av hvert rektangel blir dermed f(x) · x.

Vi skal nå betrakte en kurve som ikke er rett. Også her ser vi hvordan arealet blir stadig mer nøyaktig når vi gjør x mindre.

Integraltegn bruker vi en egen integralnotasjon. I stedet for å notere det samlede arealet som en Riemannsum bruker vi en egen integralnotasjon. I stedet for  brukes et eget tegn, Dessuten erstattes x med dx. Integralet blir da seende slik ut:

Oppgave: Hvordan skriver du det blå området i koordinatsystemet under som integral? Regn ut dette arealet på lommeregneren!