Kap 01 Mengdelære Mengdelære er et eget område innen matematikk som etterhvert har fått et stort anvendelsesområde, bl.a. innen statistikk.

Mengdelære - Historie Georg Cantor (1845-1918): Mengdelærens grunnlegger Mengdelære fremkalt av behovet for studiet av transfinite tall Georg Cantor regnes som mengdelærens grunnlegger. Det var flere forhold som frembrakte behovet for det vi i dag kaller mengdelære, bl.a. studier av 'store tall', såkalte transfinite tall. Mengdelære er blitt et viktig redskap innen statistikk

Mengdelære - Tallbegrep Naturlige tall : 0 1 2 3 4 … Hele tall : … -3 -2 -1 0 1 2 3 … Rasjonale tall : … -3 … -1/2 … 0 … 3/4 … 5 … Irrasjonale tall : … Kvadratroten av 2 … e …  Reelle tall : Rasjonale tall + Irrasjonale tall Complekse tall : z = x + iy hvor i2 = -1 Transfinite tall: 0 1 2 3 …  (Telling av antall) Fra tidlig barndom lærer vi om det vi kaller naturlige tall: 0, 1, 2, 3, ... . Det føles nesten som tallene er med oss fra fødselen av. Men disse tallene har vi selv konstruert. Etterhvert har vi forstått at det kan være nødvendig med flere typer tall, tall med fortegn, slik at vi også får med negative tall: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... . Disse tallene kaller vi tilsammen for heltall. Negative tall kan vi ha nytte av i mange ulike sammenhenger: Kuldegrader, være skyldig penger, ... . Flere tall meldte etterhvert sine behov: I et fødselsdagsselskap med 1 bløtkake og 10 gjester vil heltall ikke kunne fortelle oss hvor mange bløtkaker det blir på hver gjest. Vi må benytte såkalte brøker (eller desimaltall), her 1/10 eller 0.1 med tanke på antall bløtkaker til hver gjest. Heltall sammen med brøker kaller vi for såkalte rasjonale tall. Pythagoras påstod at alle tall kan skrives som brøker. En av hans elever beviste imidlertid at det finnes tall som ikke kan skrives som en brøk, feks. lengden av diagonalen i et kvadrat med side lik 1. Lengden av en slik diagonal vil ifølge Pythagoras' læresetning være lik kvadratroten av 2 og det kan bevises at dette tallet ikke kan skrives som en brøk. Pythagoras ba eleven tie om dette. Det hevdes at de som røpet denne hemmeligheten omkom i skipsforlis. Tall på tallinjen som ikke kan skrives som en brøk kalles for irrasjonale tall (ufornuftige tall). Det finnes uendelig mange slike (kvadratroten av 2, pi, e, ...). Rasjonale tall sammen med irrasjonale tall kalles for reelle tall og utgjør hele den reelle tallinjen. Flere typer tall meldte sine behov: Ligninger av typen x opphøyd i annen + 1 = 0 har ingen løsning blant reelle tall. Vi må inn med såkalte komplekse tall slik at vi kan beregne kvadratroten av negative tall. I første omgang virker slike tall helt meningsløse, men husk: Vi har kun konstuert nye typer tall som vi har nytte av på samme måten som vi startet med å konstruere de første naturlige tall. Komplekse tall har mange anvendelsesområder, bl.a. innen elektronikk, svingesystemer, atom- og kjerne-fysikk, ... . Studier av 'store tall', såkalte transfinite tall gav ved forrige århundreskifte mange problemer og frembrakte behovet for å 'starte forfra igjen' i matematikken. Det var i denne sammenheng mengdelære så dagens lys.

Mengdelære - Transfinite tall Transfinite tall: 0 1 2 3 …  (Telling av antall) På linje med: 0 1 2 mange Enentydig tilordning: Når vi skal telle et antall, benytter vi de naturlige tallene 0, 1, 2, 3, ... . Vi kan fortsette å telle i det uendelige, det finnes ikke noe siste naturlige tall. For et gitt naturlig tall n kan vi alltid finne ett som er større, f.eks. n+1. Hvis vi skal forsøke å telle de rasjonale tallene (alle tall som kan skrives som en brøk), vil vi få uendelig mange av disse. Samtidig vil disse tallene ligge svært tett på den reelle tallinjen. For to gitte rasjonale tall a og b kan vi alltid finne ett som ligger mellom disse to, nemlig (a+b)/2. På samme måten kan vi finne uendelig mange irrasjonale tall. Er det da riktig å si at vi har like mange rasjonale som irrasjonale tall fordi vi har uendelig mange av begge typer eller har vi flere forskjellige 'uendeliger'? Dette blir analogt med å telle på formen 1,2,3,mange. Hvis vi i et større selskap skal finne ut hvorvidt vi har like mange stoler som vi har gjester, kan vi telle antall stoler og antall gjester og deretter se om vi får samme antall, i så fall sier vi at vi har like mange stoler som gjester. En annen og kanskje lettere måte ville være å be alle gjestene om å sette seg på hver sin stol. Hvis alle får satt seg og ingen stoler blir ledige, kan vi si at vi har like mange stoler som gjester. Denne siste metoden danner grunnlaget for definisjonen av 'like mange' i matematikken.

Mengdelære - Galileis paradoks Enentydig tilordning: f f-1 Natulige tall : 0 1 2 3 4 … n … Kvadrat tall : 0 1 4 9 16 ... n2 ... Det siste eksemplet med gjester og stoler fra forrige side danner som nevnt grunnlaget for definisjonen av 'like mange’ i matematikken. Vi sier at to mengder inneholder like mange elementer hvis vi kan finne en en-entydig tilordning mellom de to mengdene. En slik definisjon fører til flere såkalte paradokser, ett slik eksempel er Galileis paradoks: På den reelle tallinjen finnes det like mange naturlige tall (0,1,2,3,4,...) som kvadrattall (0,1,4,9,16,...). Dette virker ufornuftig eller selvmotsigende (derav navnet paradoks). Ved første øyekast ville vi jo tro at det må finnes flere naturlige tall enn kvadrattall siden kvadrattallene bare utgjør en delmengde av de naturlige tallene. Men her må vi altså huske på hvordan vi har definert 'like mange', nemlig at vi har like mange hvis vi kan finne en en-entydig tilordning. En slik en-entydig tilordning har vi jo i funksjonen f(x) = x^2 (sammen med dens inverse g(x) = sqrt(x)). ^ betyr her opphøyd i og sqrt betyr kvadratrot. Paradokset skyldes altså at vi ikke har 'forstått' hva vi mener med 'like mange'. --> Like mange f(x) =x2

Mengdelære - Notasjon A c a e d b -2/3 = {(-2,3),(2,-3),(4,-6),…} En mengde er en samling av såkalte elementer. Disse elementene kan vi tenke oss kan være hva som helst: Tall, bokstaver, biler, blyanter, appelsiner, skyer, tanker, … . På figuren er tegnet en mengde som vi kaller A og som inneholder elementene a, b, c, d og e. Selve mengden tegnes som en ellipse, sirkel eller annen lukket figur. Det som skrives (eller tegnes) innenfor denne lukkede figuren er elementene i A. Eventuelle elementer som tegnes utenfor A er ikke med i mengden. Matematisk skrives elementene i A innenfor parentesparet { } og de enkelte elementene skrives adskilt med komma, dvs vi skriver A som A = {a,b,c,d,e}. Rekkefølgen som de enkelte er nevnt i er uten betydning, dvs de to mengdene A1 = {a,b,c,d,e} og A2 = {b,c,a,e,d} er like. For å fortelle at d er et element i A, skriver vi: d A. For å fortelle at m ikke er et element i A, skriver vi: m  A Med mengden B = {0,1,2,3,…} mener vi alle naturlige tall (vi må benytte skrivemåten … siden det ikke er mulig eksplisitt å skrive alle tallene). Mengden av alle naturlige tall betegnes i matematikken med N. Mengden C leses som: Mengden av alle x som er slik at x er et naturlig tall og kvadratet av x er mindre enn 10. De tallene som oppfyller disse to betingelsene er 0,1,2,3. Den siste linjen viser hvordan Alexander Abian i sin bok ’The Theory of Sets and Transfinite Arithmetic’ vha mengdelære skriver brøken -2/3. -2/3 = {(-2,3),(2,-3),(4,-6),…}

Mengdelære - Russels paradoks R er mengden av alle mengder som ikke er element i seg selv. Spørsmål: Er R element i seg selv eller ikke? Vi nevnte på forrige side at en mengde kan bestå av hva som helst. En matematiker med navn Russel oppdaget imidlertid at dette kan føre til visse problemer. Han tenkte som følger: Hvis en mengde kan bestå av hva som helst, så kan vi jo tenke oss at elementene selv kan være mengder. Russel tenkte seg så følgende mengde R: R er mengden som består av alle de mengder som ikke er element i seg selv, dvs mengden av alle mengder som ikke inneholder seg selv. Så spør Russel: Inneholder R seg selv? Uansett hva du svarer (ja eller nei), så får du problemer. Analogt: En barberer barberer alle som ikke barberer seg selv og ingen andre. Barberer denne barbereren seg selv? Hvis vi svarer nei, så blir dette feil fordi hvis barbereren ikke barberer seg selv, så skal han barbere seg selv fordi han skal jo barbere alle som ikke barbarer seg selv. Hvis vi svarer ja, så blir også dette feil fordi hvis barbereren barberer seg selv, så skal han ikke barbere seg selv fordi han skal jo ikke barbere de som barberer seg selv. Konklusjon: Svaret nei er feil og svaret ja er feil. Det samme gjelder Russels mengde R. Hverken barbereren eller Russels mengde kan eksistere. Konklusjon: Hva angår mengder må vi altså ekskludere R (Russels mengde). Det sies at dette holdt på å drive Cantor til fortvilelse. Ingenting i Cantors opprinnelige beskrivelse av mengder advarer mot at visse objekter ikke kan utgjøre en mengde. Analogt: En barberer barberer alle som ikke barberer seg selv og ingen andre. Barberer denne barbereren seg selv eller ikke?

Mengdelære - Eksempler Kast med en mynt :  = {K,M} Kast med to mynter :  = {KK,KM,MK,MM}  = {KK,MM,KM}  = {To like, En av hver} Kast med en terning :  = {1,2,3,4,5,6} Kast med to terninger:  = {11,12,13,…,21,22,23,…,66}  = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 2-barns familie :  = {GG,GJ,JG,JJ}  = {GG,JJ,GJ} Sykdom :  = {Frisk, Smittet, Syk} La oss nå benytte notasjonen fra mengdelære til å vise noen eksempler innen statistikk. Hvis vi kaster en mynt, kan mynten lande med en av to mulige sider opp: Kron eller mynt (vi ser bort fra at mynten kan bli stående på høykant). Hvert av disse to mulige resultatene kaller vi et utfall (eller enkeltutfall). Mengden av alle mulige enkeltutfall kaller vi for utfallsrommet og betegner det med  (stor omega). Utfallsrommet skal være slik at når vi kaster en mynt, så skal hver gang ett og bare ett av enkeltutfallene forekomme (enten så blir resultatet kron eller så blir det mynt). Sannsynligheten for kron eller mynt er like stor (50% sannsynlighet for kron og 50% sannsynlighet for mynt). Slike utfallsrom hvor hvert enkeltutfall har lik sannsynlighet er som regel enklest å regne med. Vi skriver nå utfallsrommet som  = {K,M}. Hvis vi kaster med to mynter, kan vi tenke oss flere mulige utfallsrom:  = {KK,KM,MK,MM} Første kron andre kron eller første kron andre mynt eller første mynt andre kron eller første mynt andre mynt.  = {KK,MM,KM} To kron eller to mynt eller en av hver.  = {To like, En av hver} To like eller en av hver. Hvilket utfallsrom vi bør velge, er avhengig av hva hvilke egenskaper vi ønsker å studere ved kast med to mynter samt hvilke utfallsrom som er mest hensiktsmessig å gjøre beregninger med. Vi skal legge merke til at det er kun det første utfallsrommet hvor alle enkeltutfallene har samme sannsynlighet. Hvis vi foretar kast med en terning, kan vi tenke for hvert kast tenke oss at vi registrerer antall øyne som vises. Et naturlig utfallsrom vil da være:  = {1,2,3,4,5,6}. Hvis vi foretar kast med to terninger, kan vi tenke oss flere mulige utfallsrom (avhengig av hva vi ønsker å studere): 1: Antall øyne for terning nr 1 og antall øyne for terning nr 2 2: Sum antall øyne for de to terningene til sammen, dvs verdiene 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. Hva angår barna i en tobarnsfamilie, kan vi tenke oss at vi registrerer 1: Kjønn for den førstefødte og kjønn for den andrefødte. 2: Hvorvidt familien har to gutter, to jenter eller en av hver. Hva angår sykdom hos en person kan vi tenke oss at vi registerer hvorvidt personen er frisk, smittet eller syk.

Mengdelære - Snitt / Union / ... Vi skal se på noen flere nyttige begrep i mengdelære. Mengden av alle elementer som ikke er med i A betegnes med A med en strek over og kalles komplementet til A. Mengden av alle elementer som er med i enten mengden A eller mengden B eller med i begge (både A og B) betegnes med en U mellom A og B og kalles unionen av A og B. Mengden av alle elementer som er med i både mengden A og mengden B samtidig betegnes med en oppned U mellom A og B og kalles snittet av A og B. Mengden av alle elementer som er med i A, men som ikke samtidig er med i B betegnes som A-B (eller mer vanlig A\B) og kalles differensen av A og B. A sies å være en delmengde av B hvi s alle elementene i A også er med i B. Notasjonsmessig benyttes en liggende U mellom A og B. To mengder A og B sies å være like hvis A er en delmengde av B og B samtidig en delmengde av A, dvs alle elementer i A er elementer i B og alle elementer i B er elementer i A. Betegnelsen Ø benyttes til den såkalte tomme mengde, dvs den mengden som ikke inneholder noen elementer.

Mengdelære - Venndiagram Komplement Disjunkte mengder B A A Union Inklusjon B A B A Til grafisk å illustrere begrepene fra forrige side benyttes såkalte Venndiagram. I 4 av delfigurene er begrepene (komplement, union, snitt og diffferens) vist hva skravering. Med disjunkte mengder menes mengder som ikke har noen ellementer felles (snittet av dem må da være den tomme mengde). Ved inklusjon er A en delmengde av B. Komplement: Mengden av alle elementer som ikke er med i A. Union: Mengden av alle elementer som er med i enten A eller B eller begge. Snitt: Mengden av alle elementer som er med i både A og B. Disjunkte mengder: Mengder som ikke har noen elementer felles. Inklusjon: A er en delmengde av B. Differens: Mengden av alle elementer som er med i A, men som ikke samtidig er med i B. Snitt Differens B B A A

De Morgans lover Komplementet til en union av n mengder er lik snittet til komplementet til hver av de n mengdene. Komplementet til snittet av n mengder er lik unionen til komplementet

Mengdelære - Addisjonsprinsippet - 2 mengder B A n(A) = Antall elementer i mengden A n(B) = Antall elementer i mengden B n(AB) = Antall elementer som befinner seg både i A og i B samtidig n(AB) = Antall elementer til sammen i A og B Vi tenker oss at vi skal beregne antall elementer som til sammen befinner seg i de to mengdene A og B. Vi benytter følgende betegnelser: n(A) = Antall elementer som befinner seg i A. n(B) = Antall elementer som befinner seg i B. n(AB) = Antall elementer som til sammen befinner seg i A eller B. n(AB) = Antall elementer som befinner seg i både A og B samtidig. Hvis A og B er disjunkte (ikke har noen elementer felles) har vi: n(A  B) = n(A) + n(B). Hvis derimot A og B har elementer felles, vil vi i summen ovenfor telle med disse felleselementene to ganger og det vil jo bli feil. Vi får korrekt svar hvis vi trekker fra antall felleselementer en gang. Derfor får vi: n(A  B) = n(A) + n(B) - n(AB). Den siste formelen vil alltid gjelde. Hvis A og B er disjunkte vil nemlig det siste leddet være lik null.

Mengdelære - Addisjonsprinsippet - 3 mengder n(A) = Antall elementer i mengden A n(B) = Antall elementer i mengden B n(C) = Antall elementer i mengden C n(AB) = Antall elementer som befinner seg både i A og i B samtidig n(AC) = Antall elementer som befinner seg både i A og i C samtidig n(BC) = Antall elementer som befinner seg både i B og i C samtidig n(ABC) = Antall elementer som befinner seg både i A, B og C samtidig n(AB C) = Antall elementer til sammen i A, B og C B A C Samme som forrige side, men nå skal vi summere antall elementer i 3 mengder A, B og C. Her må vi i summen n(A) + n(B) + n(C) trekke fra antall i snittet av A og B, antall i snittet av A og C antall i snittet av B og C og plusse på igjen antall i snittet av A, B og C.

Mengdelære - Addisjonsprinsippet - n mengder n(Ai) = Antall elementer i mengden A n(AiAj) = Antall elementer som befinner seg både i Ai og i Aj samtidig n( Ai) = Antall elementer som befinner seg i alle Ai samtidig n( Ai) = Antall elementer til sammen i A1, A2, …, An Samme som forrige side, men nå skal vi summere antall elementer i n mengder A1, A2, A3, …, An. Her må vi i summen n(A1) + n(A2) + n(A3) + … + n(An) trekke fra antall i alle dobbeltsnitt, plusse på igjen antall i trippelsnitt og fortsette slik med alternerende minus/pluss antall i de neste snittene til og med nsnitt.

END

Irrasjonale tall Bevis for at lengden av diagonalen i et kvadrat med side 1 ikke kan skrives som en brøk. d 1 1

B A De angitte mengdene er farget rosa. B B A A B A = B B A A