Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Www.nr.no Forelesning 4 HSTAT1101 Ola Haug Norsk Regnesentral 08.09.04.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Www.nr.no Forelesning 4 HSTAT1101 Ola Haug Norsk Regnesentral 08.09.04."— Utskrift av presentasjonen:

1 Forelesning 4 HSTAT1101 Ola Haug Norsk Regnesentral

2 Husker du? ► Betinget sannsynlighet ► Total sannsynlighet – oppdeling av utfallsrommet i disjunkte begivenheter ► Bayes’ lov ► Binomialkoeffisienten

3 Diagnostiske tester - presisering ► Sensitivitet og spesifisitet sier noe om sannsynligheten for ulike testutslag, gitt pasientens tilstand: ▪P(+ test | syk)(påvise sykdom hos syke) ▪P(- test | frisk)(utelukke sykdom hos friske) ► Positiv og negativ prediktiv verdi (PPV og NPV) angir sannsynligheter for en persons tilstand ut fra testresultatet: ▪PPV = P(syk | + test)(pålitelighet av pos. testutslag) ▪NPV = P(frisk | - test)(pålitelighet av neg. testutslag) ► Alle de fire begrepene ovenfor sier noe om testens egenskaper

4 Diagnostiske tester - presisering ► Koblinger mellom begrepene via Bayes’ lov:

5 Dagens temaer ► Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling ► Binomisk fordeling ► Poissonprosessen ► Poissonfordeling

6 Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling ► Stokastisk forsøk: ▪Et eksperiment hvor utfallet ikke er kjent på forhånd ▪De enkelte utfall kan ha ulik sannsynlighet for å opptre Ex.- Terningkast - Responsen på en antibiotikakur ► Deterministisk forsøk: ▪Et eksperiment hvor utfallet er gitt når inngangsdataene er spesifisert Ex.- Tidspunkt for soloppgang (for bestemt sted og dato) - Hastigheten til ei kule som slippes fra en viss høyde (Newton)

7 Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling ► Stokastisk variabel: ▪Tallstørrelse knyttet til utfallet av et stokastisk forsøk ▪Varierer tilfeldig fra forsøk til forsøk ▪Deles ofte i tellevariabler og målevariabler ▪Angis med stor bokstav (X, Y, …) Ex. Tellevariabler: - Antall ganger ”1” opptrer i løpet av 10 terningkast - Antall pasienter som oppsøker legevakten i løpet av et døgn Ex. Målevariabler: - Hemoglobinnivå i blodet - Levealder til en kreftpasient

8 Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling ► Sannsynlighetsfordeling: ▪Beskriver den tilfeldige variasjonen til en stokastisk variabel ▪Angir sannsynligheten for de forskjellige mulige verdiene x av den stokastiske variabelen X, P(X=x) ▪Sannsynlighetene for de forskjellige mulige utfallene skal summere seg til 1, ▪Kan presenteres i tabellform eller grafisk som et histogram Ex. Terningkast: ◦Registrerer hvor mange ganger ”1” opptrer i løpet av 10 kast ◦Mulige verdier: 0, 1, 2, …, 10 ◦Ikke lik sannsynlighet for alle disse utfallene!

9 Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling

10 Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling ► Forventningsverdi ▪Mål for tyngdepunktet (sentrum) i en sannsynlighets- fordeling ► Varians og standardavvik ▪Mål for spredningen i en sannsynlighetsfordeling (høye verdier indikerer stor spredning)

11 Eksempel - myntkast ► Kast en mynt tre ganger, og la X være antall kron ► Da kan X ta verdiene 0,1, 2 og 3 ► Sannsynlighetene for disse verdiene er henholdsvis 1/8, 3/8, 3/8 og 1/8 (gunstige / mulige) ► Spørsmål: Hva er forventning, varians og standardavvik til X?

12 Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling ► Regneregler for forventning og varians ▪For vilkårlige tall a og b gjelder: ▪For en sum av stokastiske variabler gjelder at

13 Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling ► Stokastisk uavhengighet mellom variabler: ▪Utfallet til hver enkelt variabel blir ikke påvirket av utfallet til den andre. Matematisk: jfr. tidligere for uavhengige hendelser: Ex. Feber og sykkelfarge ▪For variansen til en sum av parvis stokastisk uavhengige variabler gjelder at

14 Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling ► Sammenheng mellom gjennomsnitt og forventning? ▪Gjennomsnittsverdien i et datasett er en ren summasjon av observasjonene og er ikke generelt koblet til noen sannsynlighetsfordeling. ▪Begrepet forventningsverdi er derimot knyttet opp mot en stokastisk variabel med en nærmere bestemt sannsynlighetsfordeling og trenger ikke noe datasett for å kunne beregnes (såfremt sannsynlighets- fordelingen er kjent).

15 Binomisk forsøksrekke ► Tenk deg et forsøk hvor vi ser på blodtypen til forskjellige personer og teller antall som har blodtype B ► Anta uavhengighet mellom blodtypene til de enkelte personene ► Dette er et eksempel på en binomisk forsøksrekke

16 Binomisk forsøksrekke ► Definisjon: En binomisk forsøksrekke bestående av n enkeltforsøk må oppfylle følgende betingelser i.De enkelte forsøk må være uavhengige av hverandre ii.I hvert enkeltforsøk registreres det om en begivenhet A inntreffer (suksess) eller ikke (fiasko) iii.Sannsynligheten for A er den samme i hvert forsøk Sannsynligheten for A betegnes p.

17 Binomisk forsøksrekke ► Flere eksempler på binomiske forsøksrekker: ▪Terningkast ◦A: ”6”-er, p=1/6 ◦A: ”Like antall øyne”, p=1/2 ▪Barnefødsler ◦A: jente, p=1/2 ◦A: ryggmargsbrokk, p=0.001 ◦A: fødselsvekt < 2500g, p=… ▪Genetikk: Mor og far bærere av genet for cystisk fibrose ◦A: barn sykt, p=1/4

18 Binomisk forsøksrekke ► Vi sier at antall suksesser (X) i en binomisk forsøksrekke er binomisk fordelt ► Formel for sannsynligheten av utfallene i den binomiske fordelingen ► Forventning og varians i den binomiske fordelingen

19 Binomisk forsøksrekke ► Utledning av binomisk fordeling ▪Betrakter en binomisk forsøksrekke med n enkeltforsøk ▪Lar den stokastiske variabelen X betegne antall ganger A inntreffer ▪Sannsynlighetsfordelingen til X, P(X=x) = ?.

20 Binomisk forsøksrekke

21 Eksempel – blodtype ► Anta at 8% av en befolkning har blodtype B ► Spørsmål: ▪Hva er sannsynligheten for at man i en gruppe på 10 personer finner én person med blodtype B? ▪To personer? ▪Hvor mange personer i gruppa kan forventes å ha blodtype B?

22 Poissonprosessen ► Betrakt antall nye tilfeller av brystkreft registrert til et kreftregister i løpet av et år ► Anta at: ▪raten av (eller sannsynligheten for) registreringer er lik gjennom hele perioden ▪registreringene skjer uavhengig av hverandre ▪ingen registreringer kan være fullstendig sammenfallende i tid ► Vi har da et eksempel på en Poissonprosess

23 Poissonprosessen ► Poissonprosessen framkommer når vi betrakter hendelser som fordeler seg tilfeldig over et kontinuum, f.eks. ▪Volum Ex. Plasseringen til røde blodlegemer i en mengde blod ▪Tid Ex. Registrering av krefttilfeller i løpet av et år tid

24 Poissonfordelingen ► Antall hendelser/objekter X innenfor et område av kontinuumet sies å være Poissonfordelt ► Sannsynlighetene i Poissonfordelingen er gitt ved hvor er forventet antall hendelser/objekter innenfor området (tidsperioden, volumet, …) man betrakter.

25 Poissonfordelingen

26 Poissonfordelingen ► Poissonfordelingen som tilnærmelse til binomisk fordeling ▪Tommelfingerregel: En binomisk fordelt variabel er tilnærmet Poissonfordelt (med ) hvis ▪Dette er en ganske vanlig situasjon i medisin: liten sannsynlighet for hendelsen, men mange forsøk (=personer) ► Direkte bruk av Poissonfordelingen som fordelingen til antall hendelser i en Poissonprosess kan være mer hensiktsmessig i situasjoner hvor vi ikke kjenner n og p

27 Eksempel – ryggmargsbrokk ► Vi ønsker å se på forekomster av ryggmargsbrokk hos nyfødte ▪Antall fødsler på Ullevål sykehus i Oslo per år er ca. n = 5000 ▪P(ryggmargsbrokk) = 1 / 1000 ► Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at 6 barn fødes med ryggmargsbrokk i løpet av et år?

28 Eksempel - AIDS ► Nye AIDS-tilfeller i 1991, registrerte tilfeller per uke, 47 uker: ► Gjennomsnittlig antall tilfeller per uke (fra dataene): ► Spørsmål: Hva er sannsynligheten for 0 nye AIDS-tilfeller i løpet av en uke?


Laste ned ppt "Www.nr.no Forelesning 4 HSTAT1101 Ola Haug Norsk Regnesentral 08.09.04."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google