Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Kap 05 Betinget sannsynlighet

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Kap 05 Betinget sannsynlighet"— Utskrift av presentasjonen:

1 Kap 05 Betinget sannsynlighet
Beregning av sannsynligheter vil alltid være avhengig av de opplysningene som vi til enhver tid har. La oss tenke oss at vi beregner sannsynligheter i en gitt sannsynlighetsmodell. Deretter får vi nye tilleggsopplysninger. Betinget sannsynlighet handler om å gjøre nye sannsynlighetsberegninger med de nye tilleggsopplysningene, men fortsatt ved å arbeide med den opprinnelige sannsynlighetsmodellen.

2 Betinget sannsynlighet
Eksisterende opplysninger Når vi utfører sannsynlighetsberegninger vil beregningene (og dermed svarene) alltid være avhengige av de opplysningene som til enhver tid er tilgjengelige. Hvis disse forhåndsopplysningene endres, vil også sannsynlighetsberegningene (og dermed svarene) endres. Eks: Vi er med på en flytur og har nettopp utført beregninger for hvor stor sannsynligheten P(A) er for at (A) flyet skal styrte. Disse beregningene har vi utført på bakgrunn av eksisterende fly-statistikk. Så får vi opplyst at (B) begge flyets motorer nettopp har eksplodert. De fleste vil vel være enige i at nye sannsynlighetsberegninger for flystyrt med dette flyet nå er endret. Nye opplysninger er kommet til og dette endrer sannsynlighetsberegningene. Beregning av sannsynligheter vil alltid være avhengig av de opplysningene som vi til enhver tid har. Hvis disse opplysningene endres, kan vi også forvente endringer i sannsynlighetsberegningene Eksemplet til venstre en kanskje noe ekstremt, men situasjoner kan ofte bli bedre forstått ved å sette tingene på spissen.

3 Betinget sannsynlighet
Eksempel: Terningkast Uniform sannsynlighetsmodell for terningkast: Etter et kast opplyses det at antall øyne ikke er 6. Da må utfallet B ={1,2,3,4,5} ha inntruffet. Intuitivt bør nå den betingede modell gitt B se ut som følger: I den betingede modell gitt B kunne vi bruke B som utfallsrom i stedet for . I praksis ønsker man ofte å studere flere betingede modeller samtidig og da er det hensiktsmessig å beholde  som felles referanseramme for alle betingede modeller. B Vi har laget en uniform sannsynlighetsmodell for kast med en terning hvor vi i hvert kast registrerer antall øyne og hvor sannsynligheten for hvert enkeltutfall er lik 1/ Etter et kast får vi opplyst at antall øyne ikke var 6 i dette kastet. Da må utfallet B = {1,2,3,4,5} ha inntruffet. Med denne tilleggsopplysningen vil vi jo nå sitte inne med flere opplysninger som gjør at det vil være rimelig å endre beregningen for sannsynligheten for gitt antall øyne. F.eks. vil det jo nå være rimelig å endre sannsynligheten fra 1/6 til 0 for at kastet viste øyne 6. Den totale sannsynligheten lik 1 vil nå fordele seg likt på øyne fra 1 til 5, dvs sannsynligheten for hver av disse vil nå være 1/5. Legg merke til at dette svaret 1/5 kan skrives som (1/6)/(5/6) = P(u)/P(B) hvor P(u) = 1/6 er sannsynligheten for hvert av enkeltutfallene i den opprinnelige modellen og hvor P(B) = 5/6 også gjelder for den opprinnelige modellen. Grunnen til de siste betraktningene er at med slike tilleggsopplysninger viser det seg mer hensiktsmessig å beholde den opprinnelige modellen og utføre beregningene i denne fremfor å skifte sannsynlighetsmodell. Det er bedre å holde seg til en sannsynlighetsmodell enn å forholde seg til flere sannsynlighetsmodeller svarende til hver enkelt av eventuelt flere tilleggsopplysninger. 6 Betinget modell gitt B:

4 Betinget modell I Sannsynlighetsmodell:
Etter et eksperiment får vi opplyst at utfallet B har inntruffet. Betinget modell gitt B: Betraktningene fra foregående side kan vi nå summere i følgende generelle betraktninger: Vi har vår opprinnelige sannsynlighetsmodell inkludert sannsynligheter for hvert av enkeltutfallene. Med tilleggsopplysninger som forteller at en hendelse B må ha inntruffet, får vi da en ny sannsynlighetsmodell som vi kaller betinget modell gitt B. Denne nye modellen har ny sannsynlighet PB(u) og denne sannsynligheten kan vi uttrykke på følgende måte i vår opprinnelige sannsynlighetsmodell: PB(u) = 0 når u ikke er med i B. PB(u) = P(u)/P(B) når u er med i B. I den betingede modell gitt B kunne vi bruke B som utfallsrom i stedet for . I praksis ønsker man ofte å studere flere betingede modeller samtidig og da er det hensiktsmessig å beholde  som felles referanseramme for alle betingede modeller.

5 Betinget modell II Verifisering av sannsynlighetsmodell
Betinget modell gitt B: Verifisering av sannsynlighetsmodell: For vår nye modell, betinget modell gitt B, er det viktig å verifisere at dette oppfyller betingelsene til en sannsynlighetsmodell. For det første har vi et utfallsrom med tilhørende sannsynligheter for hvert enkeltutfall. Videre kan vi som vist til venste vise at hver av disse enkeltsannsynlighetene ligger i intervallet [0,1] og at summen av enkeltsannsynlighetene er lik 1.

6 Betinget modell III Bestemmelse av PB(A) Betinget modell gitt B:
Vi ønsker nå å kunne finne et enkelt uttrykk (uttrykt i den opprinnelige sannsynlighetsmodellen) for sannsynligheten for at et utfall A har inntruffet gitt at utfallet B har inntruffet. Denne sannsynligheten betegnes P(A|B) og leses: Sannsynligheten for A gitt B. Det kan vises (se sliden til venstre) at P(A|B) er lik sannsynligheten for A snitt B delt på sannsynligheten til B (alt uttrykt i den opprinnelige sannsynlighetsmodellen). PB(A) skrives som P(A|B):

7 P(A|B) B A Enhver sannsynlighet i den betingede modell B
Oppsummering fra forrige side: Sannsynligheten P(A|B) for at et utfall A har inntruffet gitt at utfallet B har inntruffet. er lik sannsynligheten for A snitt B delt på sannsynligheten til B (alt uttrykt i den opprinnelige sannsynlighetsmodellen) Uttrykket for P(A|B) kan vi uten regning ressonnere oss frem til på følgende måte: I den betingede modellen gitt B vil B være utfallsrommet. Hvis vi i denne modellen skal finne sannsynligheten til A, må vi se på den delen av A som er i B, dvs A snitt B, i forhold til hele B Av uttrykket for P(A|B) ser vi pga nevneren på høyre side at P(A|B) kun har mening hvis P(B) er forskjellig fra null. Dette synes også rimelig siden det vil være meningsløst å snakke om sannsynligheten for A gitt at B har inntruffet hvis sannsynligheten for B er lik null (B kan da umulig ha inntruffet). Enhver sannsynlighet i den betingede modell B kan beregnes ut fra sannsynligheter i den opprinnelige modellen.

8 Eksempel: 2-barnsfamilie
 = {GG,GJ,JG,JJ} P(u) = 1/4 for alle u   Beregn sannsynligheten for den yngste er en jente gitt at familien har minst en jente. A = Den yngste er en jente = {GJ,JJ} P(A) = 2/4 = 1/2 B = Minst en jente = {GJ,JG,JJ} P(B) = 3/4 AB = {GJ,JJ} P(AB) = 2/4 = 1/2 Eksempel på betinget sannsynlighet: 2-barnsfamilie. Vi velger utfallsrommet {GG,GJ,JG,JJ} hver med sannsynlighet lik 1/4. Her velger vi altså en modell hvor sannsynligheten for gutt og jente begge er like (1/2). Dette stemmer rimelig bra med virkeligheten Oppgave: Beregn sannsynligheten for at den yngste er en jente gitt at familien har minst en jente Vi setter: A = Den yngste er en jente = {GJ,JJ} B = Minst en jente = {GJ,JG,JJ} Herav får vi at A snittet med B er {GJ,JJ} Vi skal beregne P(A|B). Fra tidligere har vi at dette er lik P(A snitt B)/P(B) i vår opprinnelige sannsynlighetsmodell. Herav får vi: P(A|B) = (1/2)/(3/4) = 2/3.

9 Eksempel: Kast med to terninger
 = {11,12,13,14,15,16, 21,22,23,24,25,26, 31,32,33,34,35,36, 41,42,43,44,45,46, 51,52,53,54,55,56, 61,62,63,64,65,66 } P(u) = 1/36 for alle u   A = Begge terninger viser 6 P(A) = 1/36 B = Minst en terning viser 6 P(B) = 11/36 C = Sum øyne er minst 10 P(C) = 6/36 Eksempel på betinget sannsynlighet: Kast med 2 terninger. Vi velger utfallsrommet {11,12,13,...,16,21,22,23,...,66} hver med sannsynlighet lik 1/36. Eksempelvis vil sannsynligheten for å få to seksere være 1/ Oppgave nr 1: Beregn sannsynligheten for å få to seksere gitt at minst en av terningene viser Vi setter: A = Begge terningene viser 6 = {66}. P(A) = 1/36. B = Minst en terning viser 6 = {16,26,36,46,56,61,62,63,64,65,66}. P(B) = 11/ Herav får vi at A snittet med B er {66}. P(A snitt B) = 1/ Vi skal beregne P(A|B). Fra tidligere har vi at dette er lik P(A snitt B)/P(B) i vår opprinnelige sannsynlighetsmodell. Herav får vi: P(A|B) = (1/36)/(11/36) = 1/11.

10 Multiplikasjonssetningen - Bayes lov
Betinget sannsynlighet Multiplikasjonssetningen Bayes lov forteller om sammenhengen mellom: P(B|A) Sannsynligheten for B gitt A og P(A|B) Sannsynligheten for A gitt B Til venstre vises at vi har følgende sammenheng: P(B|A) = P(B)/P(A) * P(A|B) Bayes lov

11 Oppdeling av  Noen ganger kan det være vanskelig å regne ut sannsynligheten P(A) til et gitt utfall A direkte. Av og til kan tilleggsopplysninger være gitt slik at det er enklere å regne ut P(A) indirekte via betingede sannsynligheter Teorem: P(A) = P(A|B)P(B) + P(A)|IkkeB)P(IkkeB) Kommentar til beviset: Vi skriver utfallet A som en union av de to disjunkte mengdene A snitt B og A snitt IkkeB. Ifølge Aksiom 3 kan da P(A) skrives som summen av P(A snitt B) og P(A snitt IkkeB). Hver enkelt av de to siste leddene kan (se utledningen til Bayes lov på forrige side) uttrykkes vha de betingede sannsynlighetene P(A|B) og P(A|IkkeB) Merk at B og IkkeB er disjunkte samtidig som unionen av disse to tilsammen utgjør hele utfallsrommet omega. Vi sier at B og IkkeB gir en oppdeling av utfallsrommet omega. Dette gjør vi bruk av når vi på neste side (i loven om total sannsynlighet) benytter en mer generell oppdeling av utfallsrommet.

12 Lov om total sannsynlighet
Utfallene B1, B2, ….., Br sies å være en oppdeling av utfallsrommet  dersom: 1) B1, B2, ….., Br er disjunkte 2) P(Bi)>0 i = 1,2,…..,r 3) B1 B2  …..  Br =  Følgende gjelder for ethvert utfall A: I loven om total sannsynlighet utfører vi en generalisering av ideene fra forrige side. På forrige side laget vi en oppdeling av utfallsrommet omega vha de to utfallene B og IkkeB. Her lager vi en mer generell oppdeling vha utfallene B1, B2, ..., Br. Hvis disse r utfallene skal danne en oppdeling av utfallsrommet, må de 3 kravene vist til venstre være oppfylt: 1. De r mengdene B1, B2, ..., Br må alle være innbyrdes disjunkte Sannsynligheten til hver av disse mengdene B1, B2, ..., Br må være positiv B1, B2, ..., Br må tilsammen utgjøre hele utfallsrommet omega P(A) vil nå kunne skrives som en sum over alle produkter P(A|Bi)P(Bi) i =1,2,...,r.

13 Lov om total sannsynlighet - Bevis
Kommentar til beviset for loven om total sannsynlighet: Til beregning av P(A) skrives først A som snittet av A og omega. Deretter byttes omega ut med unionen av B1, B2, ..., Br. Fra mengdelæren har vi at A snittet med unionen av B1, B2, ..., Br kan skrives som unionen av snittene mellom A og hver av Bi i=1,2,...,r. Siden A og Bi i=1,2,...,r er disjunkte (fordi alle Bi er disjunkte), så vil sannsynligheten av denne unionen kunne skrives om en sum av sannsynligheten til A snittet med Bi i=1,2,...,r. Den siste relasjonen følger av utledningene til Bayes lov.

14 Bayes teorem I Bayes teorem omskriver vi Bayes lov ved at vi først vha B1, B2, ..., Bn lager en oppdeling av omega og vha dette fra loven om total sannsynlighet bytter ut P(A).

15 Bayes teorem Bevis I Bayes teorem omskriver vi Bayes lov ved at vi først vha B1, B2, ..., Bn lager en oppdeling av omega og vha dette fra loven om total sannsynlighet bytter ut P(A).

16 Eksempel: Pirquetprøve - Oppgave
På en skole skal alle elevene ta piquetprøve for å finne elever med tuberkulose. Vi vet at prøven gir noen falske positive reaksjoner. Alle elevene med positiv reaksjon må derfor gjennomgå nøyere klinisk undersøkelse. Sykehuset vil ha et overslag over hvor mange av elevene de må undersøke. Det sykehuset altså er interessert i, er sannsynligheten for at prøven skal være positiv. Ved tidligere utprøvinger har en funnet at ca 80% av de som er syke, viser positivt utslag, og ca 10% av de friske. Generelt har en også funnet at ca 1% av elevene i denne aldersgruppen har tuberkulose. a) Beregn sannsynligheten for positivt utslag på en vilkårlig elev. b) En elev som får positivt utslag på testen, vil gjerne vite: Hvor stor er sjansen for at jeg virkelig har tuberkulose? Eksempel på anvendelse av betinget sannsynlighet: Pirquetprøve Løsningen finnes på neste side Simulering av nevnte pirquetprøve vha Excel regneark.

17 Eksempel: Pirquetprøve - Løsning
A = Pirquetprøven er positiv B = Personen er syk a) Løsning på pirquetprøve-oppgaven Vi lager følgende to passende utfall: A = Pirquetprøven er positiv B = Personen er syk Fra oppgaveteksten har vi gitt følgende opplysninger: P(B) = 0.01 Sannsynligheten for at en person er syk. P(A|B) = 0.80 Sannsynligheten for at pirquetprøven er positiv gitt at personen er syk. P(A|IkkeB) = 0.10 Sannsynligheten for at pirquetprøven er positiv gitt at personen er frisk I a) benytter vi loven om total sannsynlighet (eller forløperen til denne loven) med bruk av B og IkkeB som en oppdeling av utfallsrommet. I b) benytter vi Bayes lov om sammenhengen mellom P(B|A) og P(A|B), den førstnevnte skal vi finne, den sistnevnte er gitt i oppgaveteksten Simulering av nevnte pirquetprøve vha Excel regneark. b)

18 Bertrands skuffeparadoks - Oppgave
Tre like skuffer har hver to rom. Den første skuffen inneholder to gullmynter, den andre en gullmynt og en sølvmynt og den tredje to sølvmynter. En skuff velges tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at den inneholder to ulike mynter? Svar: 1/3. En skuff velges tilfeldig, ett av rommene inneholder en gullmynt. Hva er sannsynligheten for at skuffen inneholder to ulike mynter? En fristes lett til å tro at nå er det bare to muligheter og at sannsynligheten for å finne en sølvmynt i det andre rommet er 1/2. Det korrekte svaret er fortsatt 1/3 og det skyldes at når det registreres en gullmynt i ett av rommene, så er sannsynligheten for at skuff nr 1 er valgt dobbelt så stor som for skuff nr 2. Eksempel på anvendelse av lov om total sannsynlighet: Bertrands skuffeparadoks. Løsning finnes på neste side. Det er lett å la seg lure av intuisjon, særlig til å tro at utfall er like sannsynlige. G G G S S S 1 2 3

19 Bertrands skuffeparadoks - Løsning
Løsning av Bertrands skuffeparadoks: 1 2 3 Ai = Skuff nr i er valgt Ai i=1,2,3 danner en oppdeling av  G = En gullmynt er observert Løsning på oppgaven om Bertrands skuffeparadoks. Vi velger følgende to passende utfall: Ai = Skuff nr i er valgt G = En gullmynt er observert Oppgaven går ut på å beregne sannsynligheten for at skuff nr 2 er valgt gitt at en gullmynt er observert, dvs P(A2|G). Bayes lov sier at det finnes en enkel sammenheng mellom P(A2|G) og P(G|A2) og den sistnevnte (sannsynligheten for at en gullmynt observeres gitt at skuff nr 2 er valgt) er jo opplagt lik en 1/2. De to andre størrelsene som inngår i Bayes lov er P(A2) som er lik 1/3 og P(G). Den sistnevnte kan vi resonnere oss frem til må være lik 1/2 eller vi kan benytte loven om total sannsynlighet idet Ai i=1,2,3 danner en oppdeling av utfallsrommet.

20 Snitt av høyere orden 2 snitt 3 snitt 4 snitt n snitt
Fra loven om betinget sannsynlighet P(A|B) = P(A snitt B)/ P(B) får vi: P(A snitt B) = P(A|B)P(B) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A). Den siste relasjonen følger av at P(A snitt B) = P(B snitt A) Denne relasjonen for 2-snitt kan vi som vist til venstre enkelt utvide til å gjelde 3-snitt, 4-snitt og generelt n-snitt Disse snittene av høyere orden kan vi nå bruke hvis vi skal bestemme sannsynligheten for snitt mellom flere utfall, dvs sannsynligheten for at flere utfall samtidig inntreffer hvis vi kjenner betinget sannsynlighet innbyrdes mellom disse utfallene På neste side vises et eksempel på anvendelse av snitt av høyere orden.

21 Eksempel: Urne med kuler
En urne inneholder 12 kuler, 5 hvite, 4 sorte og 3 røde. 4 kuler trekkes sekvensielt uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for rekkefølgen hvit-rød-hvit-sort ? A = Hvit kule trekkes ved første valg B = Rød kule trekkes ved andre valg C = Hvit kule trekkes ved tredje valg D = Sort kule trekkes ved fjerde valg 5 h 4 s 3 r 1 h 4 h 4 s 3 r 1 r 4 h 4 s 2 r 1 h 3 h 4 s 2 r 1 s Eksempel på anvendelse av loven om snitt av høyere orden: Urne med kuler Her har vi et 4-snitt. Med valgene av utfallene A, B, C og D som vist til venstre, skal vi bestemme P(A snitt B snitt C snitt D). Vi benytter loven om snitt av høyere orden (her orden 4) Kommentar til de enkelte ledd: P(A) = 5/12. Vi har 12 kuler hvorav 5 er hvite. P(B|A) = 3/11. Vi har igjen 11 kuler hvorav 3 er røde. P(C|A snitt B) = 4/10. Vi har igjen 10 kuler hvorav 4 er hvite. P(D|A snitt B snitt C) = 4/9. Vi har igjen 9 kuler hvorav 4 er sorte.

22 Uavhengighet og produktmodeller I
A sies å være uavhengig av B når: Dette gir følgende: A sies å være uavhengig av B når: P(A|B) = P(A) Dette kan sies å være en rimelig definisjon av uavhengighet siden sannsynligheten til A er lik sannsynligheten til A gitt B, dvs sannsynligheten til hvorvidt A inntreffer er den samme (dvs uavhengig) av hvorvidt B har inntruffet eller ikke Fra loven om betinget sannsynlighet får vi, som vist til venstre, at dette er ekvivalent med P(A snitt B) = P(A)P(B) Fra Bayes lov får vi videre: P(B|A) = P(B)/P(A)*P(A|B) = P(B). Det betyr at hvis A er uavhengig av B, så er B uavhengig av A, dvs A og B er innbyrdes uavhengige Konklusjon: Hvis P(A) og P(B) begge er større enn null (for å kunne benytte betinget sannsynlighet) så er følgende utsagn ekvivalente: 1: A og B er uavhengige 2: P(A|B) = P(A) 3: P(B|A) = P(B) 4: P(A snitt B) = P(A)P(B) Følgende tre utsagn er ekvivalente når P(A)>0 og P(B)>0:

23 Uavhengighet og produktmodeller II
A1, A2, A3, ….., An, er uavhengige dersom sannsynligheten for snittet av ethvert utvalg av to eller flere av utfallene er lik produktet av sannsynlighetene for de enkelte utfall. Spesielt gjelder da: Med betraktningene fra forrige side, vil definisjonen vist til venstre være en rimelig definisjon på uavhengighet mellom utfallene A1, A2, ..., An.

24 Uavhengighet og produktmodeller Eksempel: Kort-trekking
Et kort trekkes tilfeldig fra en kortstokk. A = Sort kort B = Honnør kort (knekt, dame, konge, ess) Eksempel på anvendelse av uavhengighet mellom utfall: Kort-trekking Vi trekker et tilfeldig kort fra en kortstokk. Vi ønsker å finne ut om følgende utfall: A = Sort kort B = Honnør kort (knekt, dame, konge, ess) er uavhengige utfall. Sagt med andre ord: Hvis jeg trekker et kort, er sannsynligheten for hvorvidt dette kortet er et sort kort uavhengig av hvorvidt vi får opplyst at dette er et honnørkort eller ikke? Og omvendt: Hvis jeg trekker et kort, er sannsynligheten for hvorvidt dette kortet er et honnørkort uavhengig av hvorvidt vi får opplyst at dette er et sort kort eller ikke? For å svare på spørsmålet om hvorvidt A og B er uavhengige eller ikke, beregner vi P(A), P(B) og P(A snitt B). Hvis P(A snitt B) viser seg å være lik P(A)P(B), så vil A og B være uavhengige. Vi får: P(A snitt B) = 8/52 = 2/13. Av de 52 kortene er 8 sorte honnørkort. P(A)P(B) = 26/52 * 16/52 = 1/2 * 4/13 = 2/13. Vi har 26 sorte kort og 16 honnørkort. Siden vi fikk samme svar (her 2/13), har vi følgende konklusjon: A og B er uavhengige.

25 Uavhengighet og produktmodeller Eksempel: Terningkast I
En terning kastes 3 ganger. Hva er sannsynligheten for at alle tre kastene gir 6 ? Eksempel på anvendelse av uavhengighet mellom utfall: Terningkast En terning kastes 3 ganger. Hva er sannsynligheten for at alle tre kastene gir 6? Vi innfører følgende utfall: Aij = Antall øyne i kast nr j er i. B = Antall øyne er lik 6 i hvert av de tre kastene Vi har: P(Aij) = 1/6 for alle i,j. Videre har vi: P(B) = P(A61 snitt A62 snitt A63). Siden terningkastene er uavhengige (Alle Aij er uavhengige) får vi videre: P(B) = P(A61 snitt A62 snitt A63) = P(A61)P(A62)P(A63) = 1/6 * 1/6 * 1/6 = 1/216.

26 Uavhengighet og produktmodeller Eksempel: Terningkast II
En terning kastes 20 ganger. Hva er sannsynligheten for å få minst en sekser? Ai = Ikke sekser i kast nr i A1, A2, A3, ….., A20, uavhengige. Eksempel på anvendelse av uavhengighet mellom utfall: Terningkast En terning kastes 20 ganger. Hva er sannsynligheten for å få minst en sekser? Vi innfører følgende utfall: Ai = Ikke sekser i kast nr i Sannsynligheten for å få 6 i et kast er lik 1/6, dvs p = P(ikkeAi) = 1/6 for alle i. Videre får vi P(Ai) = 1-P(ikkeAi) = 1-p = 1-1/6 = 5/ Hvis vi nå lager følgende utfall: B = A1 snitt A2 snitt ... snitt A20 så vil B være utfallet: Ingen sekser i de 20 første kastene. Siden terningkastene er uavhengige, kan vi nå enkelt beregne P(B): P(B) = P(A1 snitt A2 snitt ... snitt A20) = P(A1)P(A2)...P(A20) = (1-p)^ Vi innfører nå ut utfallet C gitt ved: C = ikkeB. C vil da være utfallet: En sekser i minst ett av de 20 kastene. Vi får: P(C) = P(ikkeB) = 1-P(B) = 1-(1-p)^20 = 1-(5/6)^20 = 0.974

27 Uavhengighet og produktmodeller P(minst ett treff)
A1, A2, A3, ….., An, uavhengige. Ai = Ikke treff i eksperiment nr i. Sannsynlighet for treff i forsøk nr i er p. Betraktningene fra forrige side kan vi generalisere til følgende: Vi har utfallene A1, A2, ..., An som alle er uavhengige hvor Ai betyr: Ikke treff i eksperiment nr i. Vi lar p betegne sannsynligheten for treff i forsøk nr i. Sannsynligheten for treff i minst ett av de n forsøkene er nå gitt ved: P(minst ett treff) = 1-(P(ett treff))^n Konklusjon:

28 Uavhengighet og produktmodeller Eksempel: Kast med to terninger
Hvor mange kast må vi foreta med to terninger for at det skal lønne seg å satse på en dobbel sekser, dvs hvor mange kast må vi foreta med to terninger for at sannsynligheten for to seksere skal være større enn eller lik 0.5 ? Svar: Eksempel på betraktningene fra forrige side: Beregning av hvor mange kast som må utføres med to terninger for at det skal lønne seg å satse på 2 seksere P(minst to seksere) = 1-(1-P(dobbel seker i ett kast))^n.

29 END


Laste ned ppt "Kap 05 Betinget sannsynlighet"

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google