Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Kap 06 Diskrete stokastiske variable

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Kap 06 Diskrete stokastiske variable"— Utskrift av presentasjonen:

1 Kap 06 Diskrete stokastiske variable
I dette kapitlet skal vi se på tall tilordnet hvert enkeltutfall i et utfallsrom. Videre skal vi se på begrepene forventning, varians og standardavvik.

2 Diskrete stokastiske variabler
En stokastisk variabel X er en funksjon som til ethvert enkeltutfall u i utfallsrommet  tilordner et tall X(u). ui Med en stokastisk variabel mener vi en funksjon som til ethvert enkeltutfall u i utfallsrommet omega tilordner et reelt tall X(u). I vanlig matematisk språkbruk er det uvanlig å kalle en variabel en funksjon. I statistikk er det imidlertid innarbeidet over tid og er siden blitt stående. Altså: I statistikk er en stokastisk variabel en funksjon. R

3 Sannsynlighetsfordeling
Verdimengden VX til en stokastisk variabel X er mengden av de verdier X kan anta. En samlet oppstilling over verdiene i VX med tilhørende sannsynligheter P(X=x) kalles sannsynlighetsfordelingen eller punktsannsynligheten til X. Med verdimengden VX til en stokastisk variabel X mener vi mengden av alle de verdier som X kan anta. Dette er i overensstemmele med vanlig matematisk definisjon av verdimengde Verdiene i VX sammen med tilhørende sannsynligheter P(X=x) kalles for sannsynlighetsfordelingen eller punktsannsynligheten til X Med skrivemåten (X=x) mener vi: (X=x) = {u|X(u)=x} (X=x) = {u| X(u) = x}

4 Sannsynlighetsfordeling - To myntkast
 = {MM,MK,KM,KK} X(u) : Antall kron VX = { 0, , } P(X=x) : / / /4 P KM MM 1/2 KK MK Eksempel på sannsynlighetsfordeling: To myntkast Vi benytter utfallsrommet omega = {MM,MK,KM,KK}, alle enkeltutfall med sannsynlighet lik 1/ Vi ønsker nå å knytte følgende reelle tall X (stokastisk variabel) til hvert av enkeltutfallene: Antall kron For våre enkeltutfall får vi følgende verdier for X: MM: X=0 MK: X=1 KM: X=1 KK: X= Vi får følgende sannsynlighetsfordeling (punktsannsynlighet): VX = { 0, 1, 2} P(X=x): 1/4,1/2,1/ Til venstre vises en grafisk fremstilling av denne sannsynlighetsfordelingen. Vi ser at for to myntkast er det mest sannsynlige antall kron lik 1 (sannsynlighet lik 1/2). 1/4 R R

5 Sannsynlighetsfordeling - To terningkast
 = {11,12,13,14,15,16, 21,22,23,24,25,26, 31,32,33,34,35,36, 41,42,43,44,45,46, 51,52,53,54,55,56, 61,62,63,64,65,66 } P 6/36 3/36 R VX = {2,3,4,…,12} Eksempel på sannsynlighetsfordeling: To terningkast Vi benytter utfallsrommet omega = {11,12,...16,21,22,...26,...66}, alle enkeltutfall med sannsynlighet lik 1/ Vi ønsker nå å knytte følgende reelle tall X (stokastisk variabel) til hvert av enkeltutfallene: Sum antall øyne For våre enkeltutfall får vi følgende verdier for X: 11: X=2 12: X= : X=7 26: X= : X= Sannsynlighetsfordeling (punktsannsynlighet) er vist til venstre Spesielt er vha gule piler vist hvordan sannsynligheten P(X=4) = 3/36 fremkommer. Telleren (3-tallet) fremkommer pga summen 4 kan dannes på 3 ulike måter: 13,22,31. Vi ser at for to terningkast er den mest sannsynlige sum antall øyne lik 7 (sannsynlighet lik 6/36). Tallet 6 i telleren fremkommer fordi sum 7 kan dannes på 6 ulike måter: 16,25,34,43,52,61.

6 Fordelingsfunksjon Den kumulative fordelingsfunksjonen
eller bare fordelingsfunksjonen til en stokastisk variabel X er definert ved: Den kumulative fordelingsfunksjonen (eller bare fordelingsfunksjonen) til en stokastisk variabel X er definert ved: F(x) = P(X<=x) Denne funksjonen forteller hvor stor sannsynligheten er for at en stokastisk variabel antar verdier som er mindre enn eller lik en gitt verdi x.

7 Fordelingsfunksjon - To myntkast
P 1/2 1/4 R F 1 Eksempel på fordelingsfunksjon: To myntkast Sannsynlighetsfordelingen for antall kron ved to myntkast er gitt ved: VX = {0,1,2} P(X=x): 1/4,1/2,1/ Herav får vi følgende: F(0) = P(X<=0) = 1/4 F(1) = P(X<=1) = P(X=0) + P(X=1) = 1/4 + 1/2 = 3/4 F(2) = P(X<=2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = F(1) + P(X=2) = 3/4 + 1/4 = Både sannsynlighetsfordelingen og fordelingsfunsksjonen er til venstre vist grafisk. Fordelingsfunksjonen vil ved diskrete stokastiske variable (i motsetning til kontinuerlige stokastiske variable) bli en trappefunksjon. 1/2 R

8 Fordelingsfunksjon - To Terningkast
P 6 3 R F 1 Eksempel på fordelingsfunksjon: To terningkast Sannsynlighetsfordelingen for sum antall øyne ved to terningkast er gitt ved: VX = {2,3,4,5,...12} P(X=x): 1/36,2/36,3/36,4/36,...1/ Herav får vi følgende: F(2) = P(X<=2) = 1/36 F(3) = P(X<=3) = F(2) + P(X=3) = 1/36 + 2/36 = 3/36 F(4) = P(X<=4) = F(3) + P(X=4) = 3/36 + 4/36 = 7/ Både sannsynlighetsfordelingen og fordelingsfunsksjonen er til venstre vist grafisk. Fordelingsfunksjonen vil ved diskrete stokastiske variable (i motsetning til kontinuerlige stokastiske variable) bli en trappefunksjon. 1/2 R

9 Forventning Def Forventningen til en stokastisk variabel X
 = { u1, u2, …, un, } P : P(u1) P(u2) … P(un) X : X(u1) X(u2) … X(un) Forventningen til en stokastisk variabel X er definert ved: Når vi til ethvert enkeltutfall i et utfallsrom har tilordent en stokastisk variabel (f.eks. antal kron ved to myntkast, sum antall øyne ved to terningkast, ...) kan det være av interesse å få svar på følgende: Hvilken gjennomsnittsverdi vil vi i det lange løp få for en slik stokastisk variabel ved at vi gjentar eksperimentet mange ganger? Svaret på dette får vi gjennom en såkalt forventning my = E(X) Vi har følgende utfallsrom med tilhørende sannsynlighet og verdi for stokastisk variabel: Omega = {u1, u2,..., un} P: P(u1), P(u2), ..., P(un) X: X(u1), X(u2), ..., X(un) Forventningen E(X) får vi nå ved å summere produktene X(u)P(u) for alle u. Det kan videre vises at denne produktsummen kan skrives som en sum over alle produktene xP(X=x).

10 Forventning Gjennomsnitt i det lange løp  = { u1, u2, …, un, }
n : n(u1) n(u2) … n(un) X : X(u1) X(u2) … X(un) Til venstre vises at vår definisjon av forventning stemmer overens med gjennomsnittlig verdi i det lange løp Vi tar utgangspunkt i utfallsrommet {u1,u2,...,un}. Videre betegner vi antall forekomster (etter N eksperimenter) for hvert av enkeltutfallene for n(u1),n(u2),...,n(un). Gjennomsnittsverdien XMiddel vil nå være definert som 1/N multiplisert med sum av alle produkter X(ui)n(ui). Først trekkes faktoren 1/N inn i summeringen (under leddet n(ui) slik at vi får en sum av produktene X(ui)*(n(ui)/N). Når N går mot uendelig, vil leddet n(ui)/N pr definisjon gå mot sannsynligheten P(ui) for enkeltutfallet ui. Dermed vil gjennomsnitt i det lange løp nærme seg sum av produktene X(u)P(u) for alle u, dvs lik forventningen som vil skulle vise.

11 Regneregler for forventning - Bevis
Forventningen E(X) får vi ved å summere produktene X(u)P(u) for alle u. Det kan videre vises at denne produktsummen kan skrives som en sum over alle produktene xP(X=x). Beviset er vist til venstre. Strategien er å dele opp utfallsrommet i en union av disjunkte utfall C1, C2, ..., Cn hvor Ci er det ufallet hvor samtlige verdier av den stokastiske variable X har konstant verdi xi. Denne konstante verdien xi kan settes utenfor summasjonstegnet og resten av summen (summen av alle P(u) innenfor Ci) er pr def lik P(X=xi).

12 Forventning - To myntkast
 = {MM,MK,KM,KK} X(u) : Antall kron P(u): 1/4 1/4 1/4 1/4 VX = { 0, , } P(X=x) : / / /4 Vi stiller følgende spørsmål: Hva er forventet antall kron ved kast med to mynter? Som før setter vi utfallsrommet til {MM,MK,KM,KK} hver av disse med sannsynlighet lik 1/4. Den stokastiske variable X som skal angi antall kron i hvert enkeltutfall vil da være henholdsvis 0,1,2 og 2. Verdimengden VX til X vil da være {0,1,2} med tilhørende sannsynlighet 1/4, 1/2 og 1/4. Forventningen E(X) er beregnet på to måter slik som beskrevet på de tidligere sidene. Svaret er 1. Forventet antall kron ved kast med to mynter vil i det lange løp være lik 1.

13 Forventning - Ett terningkast
Vi stiller følgende spørsmål: Hva er forventet verdi av antall øyne ved kast med en terning? Som før setter vi utfallsrommet til {1,2,3,4,5,6} hver av disse med sannsynlighet lik 1/6. Den stokastiske variable X som skal angi antall øyne i hvert enkeltutfall vil da være 0,1,2,3,4,5,6. Verdimengden VX til X vil da være {0,1,2,3,4,5,6} med tilhørende sannsynlighet lik 1/6 for hver. Forventningen E(X) er beregnet på to måter slik som beskrevet på de tidligere sidene. Svaret er 7/2. Legg merke til at svaret ikke er lik noen av de mulige antall øyne ved et enkeltkast. Ikke nødvendigvis så veldig overraskende kanskje når vi vet at forventning er gjennomsnittsverdi i det lange løp. Forventet sum antall øyne ved kast med en terninger vil i det lange løp være lik 7/2.

14 Forventning - To terningkast
Vi stiller følgende spørsmål: Hva er forventet verdi av sum antall øyne ved kast med to terninger? Som før setter vi utfallsrommet til {11,12,...,66} hver av disse med sannsynlighet lik 1/36. Den stokastiske variable X som skal angi sum antall øyne i hvert enkeltutfall vil da kunne anta følgende verdier: 2,3,4,...,12. Verdimengden VX til X vil da være {2,3,4,...,12} med tilhørende sannsynlighet P(X=x)som vist til venstre. Forventningen E(X) er beregnet på to måter slik som beskrevet på de tidligere sidene. Svaret er 7. Forventet sum antall øyne ved kast med to terninger vil i det lange løp være lik 7.

15 Forventning - Tombola  = {1 , 2 , 3 ,…, N}
X(u) : v1, v2, v3,…, vN Verdien til hvert enkelt lodd P(u): 1/N 1/N 1/N /N Vi har N antall lodd nummerert 1,2,3,...,N. Verdien til disse loddene er henholdsvis v1,v2,v3,...,vN. Hva er forventet verdi til et vilkårlig lodd? Vi lar utfallsrommet bestå av enkeltloddene: {1,2,3,...,N} Vi lar den stokastiske variabelen X anta verdiene som disse loddene har: X(u): v1,v2,v3,...,vN. Verdimengden VX til X er da: {v1,v2,v3,...,vN} med tilhørende sannsynligheter lik 1/N for hver av dem Beregningene til venstre viser at forventet verdi er lik loddenes gjennomsnittsverdi. Forventet verdi er lik gjennomsnittlig verdi av loddene i tombolaen.

16 Forventning - Ett myntkast Ventetid inntil første kron
 = {K , MK , MMK , MMMK, … } N(u) : , , , , … Ventetid inntil første kron Vi foretar kast med en mynt og kaster inntil vi får kron. Hva er forventet antall kast som vi må utføre før vi får vår første kron? Mulige enkeltutfall her er: 1) Kron i første kast 2) Kron først i andre kast 3) Kron først i tredje kast Her kan vi fortsette i det uendelige Et passende utfallsrom vil her være: Omega = {K,MK,MMK,MMMK,MMMMK,...} Vi lar den stokastiske variable N angi antall kast inntil første kron. N vil da anta verdiene 1,2,3,4,... Tilhørende sannsynligheter P(N=n) vil være: 1/2, (1/2)^2, (1/2)^3, Beregningene av E(N) gir en uendelig geometrisk rekke med sum 2. Forventet antall kast med en mynt inntil første kron er lik 2

17 Forventning - Spill 1 Ett kast med en mynt Innsats : kr 10 pr kast
Kron : Vinner en gevinst lik innsatsen Mynt : Taper innsatsen  = {K , M} P(u) : 1/2 , 1/2 G(u) : x = { -10, } P(G=x) : 1/ /2 Vi kaster en mynt. Innsatsen er 10 kroner. Hvis vi får kron, vinner vi en gevinst lik innsatsen, dvs vi får igjen innsatsen pluss at vi får 10 kr ekstra, dvs vi får 10 kr i netto overskudd. Hvis vi får mynt, taper vi innsatsen, dvs vi får et netto underskudd på 10 kr Spørsmål: Hva er forventet gevinst ved et slikt spill? Et naturlig utfallsrom vil være {K,M} med tilhørende sannsynligheter lik 1/2 på hver av dem. Vi lar den stokastiske variable G angi netto-gevinst ved hvert enkeltutfall, dvs henholdsvis 10 og Verdimengden VG til G vil være VG = {-10,10} hver med en sannsynlighet P(G=x) lik 1/2. Beregningene viser at forventet verdi til G E(G) er 0. Et spill hvor forventet gevinst er lik 0 kalles et rettferdig spill

18 Forventning - Spill 2 Kast med en terning Innsats : kr a
6 : Utbetaling kr 10 5 : Utbetaling kr 5 1,2,3,4 : Ingen utbetaling Bestem a slik spillet skal balansere i det lange løp  = {1 , , , , , 6} P(u) : 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 G(u) : x = { 0, , } P(G=x) : 4/ / /6 Du ønsker å drive et spill hvor det kastes med en terning. Innsatsen for ett spill er kr a. Hvis spilleren får antall øyne lik 6, utbetales kr Hvis spilleren får antall øyne lik 5, utbetales kr 5. Hvis spilleren får antall øyne lik 1,2,3 eller 4, foretas ingen utbetaling. Du ønsker å bestemme innsatsen a slik at spillet balanserer, dvs bestemme minsteprisen slik at du ikke taper på å administrere dette spillet Et naturlig utfallsrom er her antall øyne ved et terningkast, dvs omega = {1,2,3,4,5,6} med tilhørende sannsynligheter hver lik 1/6. Vi lar den stokastiske variabelen G være gevinsten ved hvert kast, dvs henholdsvis 0,0,0,0,5,10. Verdimengden VG til G vil være: VG = {0,5,10} med tilhørende sannsynligheter 4/6, 1/6 og 1/6. Beregning av forventet verdi til G E(G) gir verdien Konklusjon: Hvis du som administrator ikke skal tape på spillet, må du la innsatsen være minst kr 2.50.

19 Forventning - Spill 3 Kast med en mynt inntil kron, maks 3 ganger. Innsats a. Kron : Vinner en gevinst lik innsatsen Mynt : Taper innsatsen Spill 1 : Innsatsen er kr 10 i hver omgang Spill 2 : Innsatsen er kr 10 i første omgang, men dobles for hver ny omgang. x = { -30, -10, 0, } P(G1=x1): 1/8 1/8 1/4 1/2  = {K , MK , MMK , MMM} P(u) : 1/ / / /8 G1(u) : G2(u) : x = { -70, 10 } P(G2=x2): 1/8 7/8 Vi har to spill, begge med kast med en mynt. Mynten kan kastes inntil vi får kron, maksimalt 3 kast (eller omganger). I begge spill vil kron gi en gevinst lik opprinnelig innsats mens ved mynt tapes opprinnelig innsats. I spill 1 er innsatsen kr 10 i hver omgang. I spill 2 er innsatsen kr 10 i første omgang, men dobles for hver ny omgang Undersøk hvorvidt disse to spillene er 'rettferdige spill', dvs hvorvidt forventet gevinst er lik null Et naturlig utfallsrom er følgende: Omega = {K,MK,MMK,MMM} med tilhørende sannsynligheter lik 1/2, 1/4, 1/8, 1/8. Hvis vi lar G1 og G2 være de stokastiske variable svarende til netto overskudd i spill 1 og spill 2, får vi: G1(u): 10, 0, -10, G2(u): 10, 10, 10, Vi får følgende verdimengder og tilhørende sannsynligheter: VG1 = {-30,-10,0,10} med P(G1): 1/8, 1/8, 1/4, 1/2 VG2 = {-70,10} med P(G2): 1/8, 7/ Beregninger av E(G1) og E(G2) viser at begge spillene er såkalte 'rettferdige spill'.

20 Regneregler for forventning
Til venstre vises en del regneregler som gjelder for forventning til stokastiske variable. Bevis for reglene vises på neste side.

21 Regneregler for forventning - Bevis 2
Bevis for tre av regnereglene som gjelder for forventning til stokastiske variable.

22 Regneregler for forventning - Bevis 3
Bevis for den siste av reglene angående forventning av stokastiske variable.

23 Forventning - Tre myntkast
 = { MMM, MMK, MKM, MKK, KMM, KMK, KKM, KKK } x : Antall kron P(u): 1/8 3/ / /8 Spill 1 : Gevinst Y = 2X + 1 Spill 2 : Gevinst Z = X2 Forventet gevinst: Her vises et eksempel på bruk av regneregler for forventning av stokastiske variable. Vi foretar et kast med tre mynter. For hvert kast med de tre terningene foretar vi en opptelling av antall kron. Vi tilbyr nå to typer spill: 1) For hvert kast får du utlevert en gevinst lik 2*antall kron ) For hvert kast får du utlevert en gevinst lik kvadratet av antall kron Spørsmål: Hvilket av de to spillene lønner det seg å velge? Et naturlig utfallsrom er: Omega = {MMM,MMK,MKM,MKK,KMM,KMK,KKM,KKK}, hver med sannsynlighet lik 1/8. Vi lar den stokastiske variable X angi antall kron. Verdimengden VX til X er da: VX = {0,1,2,3} med tilhørende sannsynlighet 1/8, 3/8, 3/8, 1/8. Beregningene viser at forventningen E(X) til X er gitt ved: E(X) = Vi lar nå Y=2X+1 og Z= X^2 være de stokastiske variable svarende til gevinsten i spill 1 og spill 2 henholdsvis. Vha regnereglene fra de foregående sidene kan vi nå beregne følgende: Forventet gevinst i spill 1: E(Y) = Forventet gevinst i spill 2: E(Z) = Konklusjon: Det lønner seg å velge spill nr 1 med tanke på størst mulig forventet gevinst.

24 Varians / Standardavvik
I kap 03 Beskrivende statistikk innførte vi bl.a. begrepene gjennomsnitt, varians og standardavvik. Angående stokastiske variable innfører vi de samme begrepene. Gjennomsnitt i beskrivende statistikk kan vi sammenligne med forventning E(X) angående en stokastisk variabel X. Siden en stokastisk variabel X vil ha en spredning i sine verdier, er det (på samme måte som i kap 03) fornuftig å innføre en tilsvarende definisjon av varians og standardavvik for stokastiske variable.

25 Regneregler for varians
Her vises regneregler for varians knyttet til stokastiske variable. Bevis for disse regnereglene finnes på neste side.

26 Regneregler for varians - Bevis
Bevis for regnereglene for varians knyttet til stokastiske variable.

27 Varians - To terningkast
Vi foretar kast med to terninger og registrerer sum antall øyne. Tidligere har vi vist at forventet antall øyne er lik 7. Her vises beregninger av variansen til den stokastiske variable knyttet til sum antall øyne. Variansen blir 35/6 (og standardavviket kvadratroten av denne).

28 Forventning/Varians - Uavhengige variabler
Vi skal bestemme forventning og varians til gjennomsnittet av n uavhengige stokastiske variabler som alle har forventning  og varians 2. Vi tenker oss at vi har n antall uavhengige stokastiske variabler X1, X2, ..., Xn. Vi antar videre at alle disse n stokastiske variablene har samme forventning my og varians sigma^ Vi ønsker å beregne forventning og varians til gjennomsnittsverdien til disse stokastiske variablene Beregningene viser at forventningen E(XMiddel) = my og at variansen Var(XMiddel) = (1/n)*sigma^ Vi legger merke til at forventningen til gjennomsnittet er lik forventningen til hver av Xi. mens variansen blir forminsket med en faktor n.

29 Tsebysjevs ulikhet Varians Bevis:
Analogt med Tsebysjevs ulikhet i kap 03 Beskrivende statistikk, vises her den samme ulikheten for stokastiske variable. Resultatet sier at innenfor et område på k*standardavviket fra forventet verdi til en stokastisk variabel X ligger minst en (1-(1/k^2))-del av samtlige X- verdier.

30 Standardisert stokastisk variabel
Definisjon Regneregler Til en gitt stokastisk variabel X med tilhørende forventning my og standardavvik sigma, er det hensiktsmessig å innføre en såkalt standardisert stokastisk variabel Z gitt ved: Z = (X-my)/sigma Beregninger viser at Z har forventning lik 0 og varians lik 1. Denne standardiserte stokastiske variable skal vi komme tilbake til i seinere kapitler.

31 END


Laste ned ppt "Kap 06 Diskrete stokastiske variable"

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google