Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

1 Kap 06 Diskrete stokastiske variable. 2 Diskrete stokastiske variabler En stokastisk variabel X er en funksjon som til ethvert enkeltutfall u i utfallsrommet.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "1 Kap 06 Diskrete stokastiske variable. 2 Diskrete stokastiske variabler En stokastisk variabel X er en funksjon som til ethvert enkeltutfall u i utfallsrommet."— Utskrift av presentasjonen:

1 1 Kap 06 Diskrete stokastiske variable

2 2 Diskrete stokastiske variabler En stokastisk variabel X er en funksjon som til ethvert enkeltutfall u i utfallsrommet  tilordner et tall X(u). uiui R

3 3 Sannsynlighetsfordeling Verdimengden V X til en stokastisk variabel X er mengden av de verdier X kan anta. En samlet oppstilling over verdiene i V X med tilhørende sannsynligheter P(X=x) kalles sannsynlighetsfordelingen eller punktsannsynligheten til X. (X=x) = {u| X(u) = x}

4 4 Sannsynlighetsfordeling - To myntkast MM R MK KM KK  = {MM,MK,KM,KK} X(u) : Antall kron V X = { 0, 1, 2 } P(X=x) : 1/4 1/2 1/ R 1/2 1/4 P

5 5 Sannsynlighetsfordeling - To terningkast  = {11,12,13,14,15,16, 21,22,23,24,25,26, 31,32,33,34,35,36, 41,42,43,44,45,46, 51,52,53,54,55,56, 61,62,63,64,65,66 } V X = {2,3,4,…,12} R P 6/36 3/36

6 6 Fordelingsfunksjon Den kumulative fordelingsfunksjonen eller bare fordelingsfunksjonen til en stokastisk variabel X er definert ved:

7 7 Fordelingsfunksjon - To myntkast R /2 1/4 P R /2 F

8 8 Fordelingsfunksjon - To Terningkast R P 6 3 R F 1 1/2

9 9 Forventning Forventningen til en stokastisk variabel X er definert ved:  = {u 1, u 2, …, u n, } P:P(u 1 ) P(u 2 ) …P(u n ) X : X(u 1 ) X(u 2 ) …X(u n ) Def

10 10 Forventning Gjennomsnitt i det lange løp  = {u 1, u 2, …, u n, } n:n(u 1 ) n(u 2 ) …n(u n ) X : X(u 1 ) X(u 2 ) …X(u n )

11 11 Regneregler for forventning - Bevis

12 12 Forventning - To myntkast  = {MM,MK,KM,KK} X(u) : Antall kron P(u): 1/4 1/4 1/4 1/4 V X = { 0, 1, 2 } P(X=x) : 1/4 1/2 1/4 Forventet antall kron ved kast med to mynter vil i det lange løp være lik 1.

13 13 Forventning - Ett terningkast Forventet sum antall øyne ved kast med en terninger vil i det lange løp være lik 7/2.

14 14 Forventning - To terningkast Forventet sum antall øyne ved kast med to terninger vil i det lange løp være lik 7.

15 15 Forventning - Tombola  = {1, 2, 3,…, N} X(u) : v 1, v 2, v 3,…, v N Verdien til hvert enkelt lodd P(u): 1/N 1/N 1/N 1/N Forventet verdi er lik gjennomsnittlig verdi av loddene i tombolaen.

16 16 Forventning - Ett myntkast Ventetid inntil første kron  = {K, MK, MMK, MMMK, … } N(u) : 1, 2, 3, 4, … Ventetid inntil første kron Forventet antall kast med en mynt inntil første kron er lik 2

17 17 Forventning - Spill 1 Ett kast med en mynt Innsats:kr 10 pr kast Kron:Vinner en gevinst lik innsatsen Mynt:Taper innsatsen  = {K, M} P(u) : 1/2, 1/2 G(u) : Et spill hvor forventet gevinst er lik 0 kalles et rettferdig spill x = { -10, 10 } P(G=x) : 1/2 1/2

18 18 Forventning - Spill 2 Kast med en terning Innsats:kr a 6:Utbetaling kr 10 5:Utbetaling kr 5 1,2,3,4:Ingen utbetaling Bestem a slik spillet skal balansere i det lange løp  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(u) : 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 G(u) : x = { 0, 5, 10 } P(G=x) : 4/6 1/6 1/6

19 19 Forventning - Spill 3 Kast med en mynt inntil kron, maks 3 ganger. Innsats a. Kron:Vinner en gevinst lik innsatsen Mynt:Taper innsatsen Spill 1 :Innsatsen er kr 10 i hver omgang Spill 2 :Innsatsen er kr 10 i første omgang, men dobles for hver ny omgang.  = {K, MK, MMK, MMM} P(u) : 1/2 1/4 1/8 1/8 G1(u) : G2(u) : x1 = { -30, -10, 0, 10 } P(G1=x1): 1/8 1/8 1/4 1/2 x2 = { -70, 10 } P(G2=x2): 1/8 7/8

20 20 Regneregler for forventning

21 21 Regneregler for forventning - Bevis 2

22 22 Regneregler for forventning - Bevis 3

23 23 Forventning - Tre myntkast  = {MMM,MMK,MKM,MKK, KMM, KMK,KKM,KKK } x : Antall kron P(u): 1/8 3/8 3/8 1/8 Spill 1:Gevinst Y=2X + 1 Spill 2:Gevinst Z =X 2 Forventet gevinst:

24 24 Varians / Standardavvik

25 25 Regneregler for varians

26 26 Regneregler for varians - Bevis

27 27 Varians - To terningkast

28 28 Forventning/Varians - Uavhengige variabler Vi skal bestemme forventning og varians til gjennomsnittet av n uavhengige stokastiske variabler som alle har forventning  og varians  2.

29 29 Varians Tsebysjevs ulikhet Bevis:

30 30 Standardisert stokastisk variabel Definisjon Regneregler

31 31 ENDEND


Laste ned ppt "1 Kap 06 Diskrete stokastiske variable. 2 Diskrete stokastiske variabler En stokastisk variabel X er en funksjon som til ethvert enkeltutfall u i utfallsrommet."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google