Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning Hva er sjansen? Liten StorSvært stor 40%60% Forskere oppgir til vanlig sjanser.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning Hva er sjansen? Liten StorSvært stor 40%60% Forskere oppgir til vanlig sjanser."— Utskrift av presentasjonen:

1 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning Hva er sjansen? Liten StorSvært stor 40%60% Forskere oppgir til vanlig sjanser eller sannsynligheter som et tall fra 0 til 1 Hendelser betegnes med A, B, C osv. Sannsynligheten for hendelsen A: P(A) P(A) = 0Hendelsen A er umulig P(A) = 1Hendelsen A inntreffer helt sikkert

2 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning; definisjon av sannsynlighet Matematisk definisjon av sannsynlighet Forsøk/eksperiment der vi kan sette opp en oversikt over alle mulige utfall. Utfallsrommet er mengden av alle mulige utfall av forsøket. vi kan ikke på forhånd si hva resultatet blir men Det vi vet er at hver gang forsøket utføres vil resultatet falle innenfor utfallsrommet. HendelseEt eller flere utfall som tilfredsstiller visse krav Eksempel myntkastS ={K, M} Eksempel terningkast S= { } ; antall mulige utfall er 2 ; antall mulige utfall er 6

3 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning Eksempel: kast med to terninger Utfallsrommet 36 mulige utfall

4 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning; Venn diagram Brukes til å illustrere utfallsrom S, hendelser A og sammenfall av hendelser A Ā A B A B A B Ā : “ikke A” A ∩ B: Snitt av A og BA U B: Union av A og B A og B er disjunkte C = A U BD = A ∩ B Har vi to hendelser, kan vi på grunnlag av disse definere en tredje hendelse: A U Ā = S e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 e8e8 e9e9 e 10 Utfallsrom S med 10 enkeltutfall e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 e8e8 e9e9 e 10 Hendelsen A med utfallene e 1, e 2, e 3, e 6, e 7, e 8 A

5 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlightesregning Oppgave: To mynter kastes på samme tid. Sett opp utfallsrommet. Oppgave: Utfallsrommet S for kast av en terning er {1,2,3,4,5,6}. Hvilke hendelser illustreres av delmengdene A ={3}, B ={2,4,6}.

6 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlightesregning; statistisk definisjon Sannsynligheten for en hendelse A er den verdien som den relative frekvensen for A nærmer seg når antallet observasjoner blir stort. =

7 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning; matematisk definisjon Ett myntkast: Ett terningkast: Trekking av kort: Generelt: Uniform sannsynlighetsmodell: Hvert enkeltutfall har den samme sannsynligheten.

8 A: krone i første kastB: Krone i andre kast P(2K) = P(både A og B)= P(A)·P(B) ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlightesregning; multiplikasjonsregelen for uavhengige hendelser To mynter kastes, den ene før den andre. Sett opp utfallsrommet. Finn sannsynligheten for å få to kroner (P2K), 1 krone (P1K) og ingen kroner (P0K). Oppgave Alternativ formulering: Hvis hendelse A ikke avhenger av hendelse B: P(både A og B) = P(A ∩ B) = P(A)·P(B)

9 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning Terningkast A: hendelsen femmerB: hendelsen sekser P(femmer eller sekser) = 2/6 = 1/6 + 1/6 = P(femmer) + P(sekser) A: hendelsen sparB: hendelsen hjerter P(hjerter eller spar) = 26/52 = 13/ /52 = P(hjerter) + P(spar) P(A eller B) = P(A U B) = P(A) + P(B) Forutsetning: Hendelsene A og B utelukker hverandre (disjunkte) Trekking av kort Generelt gjelder at

10 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning; addisjonsregelen P(spar eller dame) = ??????? ♠2, ♠3, ♠4, ♠5, ♠6, ♠7, ♠8, ♠9, ♠10, ♠Kn, ♠Da, ♠Ko, ♠Ess ♠Da, ♦Da, ♥Da, ♣Da AB ▪ ▪▪ ▪▪ ▪▪▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ P(A ∩ B) må trekkes fra, blir ellers tatt med to ganger P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

11 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning, oppsummering av regneregler Når hendelsene A og B overlapper: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A)·P(B) P(AUB) = P(A) + P(B) Når hendelsene A og B er disjunkte: Enten-eller regelen P(A ∩ B) = P(A) · P(B) Både-og regelen Når A og B er uavhengige hendelser:

12 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Betingete sannsynligheter N kuler M røde N-M blå 1. trekkP(x 1 = rød) =Antall røde/Totalt antall = M/N 2.trekkP(x 2 = rød│x 1 = rød) =Antall røde/Totalt antall = M-1/N-1 P(x 2 = rød│x 1 = blå) =Antall røde/Totalt Antall = M/N-1 Sannsynligheten for en hendelse avhenger av utfallet av den foregående Etter en kule er trukket, legges den ikke tilbake.

13 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Betingete sannsynligheter Gitt en eller annen sannsynlighetsmodell. Etter at modellen er satt opp, får vi ny informasjon som fører til at noen av enkeltutfallene i den opprinnelige modellen er uaktuelle. De andre utfallene får dermed ny sannsynlighet. Eksempel ”Russisk rullett”. Seksløper-magasinet med ett skudd slås rundt før start, deretter ikke Hendelse B: Første person overlever. Før første avtrekk: Hendelse A: Andre person overlever, gitt at det gikk bra med den første. P (A) = 4/5 = 0.8 P(B) = 5/6 = 0.83 P(A│B) = 4/5

14 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning, betingete sannsynligheter Metode: 1) Vi justerer utfallsrommet, og beregner den nye sannsynligheten P(A I B)2)

15 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Kombinatorikk e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 e5e5 e6e6 e7e7 e8e8 e9e9 e 10 e 11 e 12 e 13 e 14 e 15 Hvordan kan r (3) av totalt n (15)enheter ordnes eller trekkes? Tilfelle 1; r = n (4 bøker A, B, C, D)Vi tar hensyn til rekkefølgen 1234 ABCD 1234 ACBD 1234 ACDB 1234 ABDC 1234 ADBC 1234 ADCB Vi har 24 mulighetereller4 ·3 ·2 ·1

16 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning ”urnemodell” Ulike situasjoner (eksempel for r = 2): 3) Rekkefølgen av de uttrukne elementene spiller en rolle 4) Rekkefølgen av de uttrukne elementene har ingen betydning 1) Vi legger det uttrukne elementet tilbake hver gang 2) Vi legger ikke det uttrukne elementet tilbake hver gang e i, e i er mulig e i, e i er ikke mulig e i,e j # e j,e i e i,e j er det samme som e j,e i

17 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning; kombinatorikk Med tilbakeleggingUten tilbakelegging Ordnet Uordnet Tipping Lotto Permutasjoner (eks. vinsmaking) Binomiske forsøk Eksempler på ulike måter å velge r elementer blant n

18 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning: permutasjoner (ombyttinger) Ordnet utvalg – uten tilbakelegging Plassering av bøker; 4 i 4 posisjoner (n = r = 4) 4·3·2·1 muligheter (4 !) Valg av styre til et idrettslag 50 medlemmer (n = 50), ingen vil stille til valg Styret skal ha 4 medlemmer (r = 4) Det trekkes; første uttrukne blir leder, andre nestleder, tredje kassere og fjerde blir styremedlem Mulige kombinasjoner er: n·(n-1) ·(n-2)· (n-r+1) 50·49·48·47 = NB! n·(n-1) ·(n-2)· (n-r+1) = n!/(n-r)!

19 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning: potensregelen Ordnet utvalg – med tilbakelegging Eksempel tipping n = 3 element (H, U,B) r = 12 elementer trekkes tilbakelegging rekkefølgen spiller en (stor) rolle Antall mulige kombinasjoner: n r Sannsynligheten for at en rekke er en vinnerrekke???

20 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlightesregning; kombinasjonsregelen Uordnet utvalg – uten tilbakelegging Eksempel: Lotto, poker n = 37 element er trekkbare (lotto), n= 52 element i poker 7 r = 7 element trekkes (lotto), r = 5 element i poker uordnet utvalg ingen tilbakelegging Antall kombinasjoner: Sannsynligheten for en vinnerrekke i lotto?? Antall mulige kortkombinasjoner i poker???

21 ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsreging, binomiske forsøk (Bernoulli -forsøk) n uavhengige enkeltforsøk hvert forsøk har to utfall, A og Ā, med sannsynlighetene p og (1-p) Ikke ordnet utvalg- med tilbakelegging Eksempler: Anvendelser: Stikkprøvekontroll Terningkast Kast med mynt Alle typer problem der en har å gjøre med en kombinasjon av to sannsynligheter (for eksempel leteprogram etter petroleum, ulike biologiske og geologiske prosesser)


Laste ned ppt "ME420 STATISTIKK-NATURFAG med bruk av programvare Sannsynlighetsregning Hva er sjansen? Liten StorSvært stor 40%60% Forskere oppgir til vanlig sjanser."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google