Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA1 Ch 4 INTEGRASJON 1.Integrasjon innebærer å finne alle funksjoner F som har f derivert.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA1 Ch 4 INTEGRASJON 1.Integrasjon innebærer å finne alle funksjoner F som har f derivert."— Utskrift av presentasjonen:

1 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA1 Ch 4 INTEGRASJON 1.Integrasjon innebærer å finne alle funksjoner F som har f derivert. Disse funksjoner kalles antiderivert av f og formelen for de er det ubestemte integral av f 2. Det er nødvendig med kjente verdier for å finne en spesiell antiderivert.

2 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA2 Definisjon - antiderivert En funksjon F(x) er antiderivert av f(x) hvis F`(x) = f(x) for alle x i definisjonsområdet. Mengden av alle antideriverte f(x) er det ubestemte integral av f(x) med hensyn på x og skrives f(x)dx Når antiderivert av f(x) som er F(x) er funnet, vil alle antideriverte være like bortsett fra en konstant f(x)dx = F(x) + C hvor C er en vilkårlig konstant. Dette gir den generelle løsningen av integralet

3 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA3 Integrasjonsregler

4 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA4 4.2 Integrasjonsregler

5 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA5 4.2 Substitusjon Hvis u er en deriverbar funksjon av x og n er et tall forskjellig fra –1, sier kjerneregelen at dvs at den derivert er lik den deriverte av den ytre funksjonen u dvs eksponenten, ganger den deriverte av den indre funksjonen dvs av u Dette sier oss at : hvor n er forskjellig fra -1 eller Hvor n er forskjellig fra -1

6 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA6 4.2 Substitusjon2 Eksempel 4 hvor u=1+y 2 deriverer u for å finne ut hva er du du/dy=2y eller du=2ydy Substitusjon 1. Sett u=g(x) og dermed blir du=g`(x)dx Integrer 4. Erstatt u med g(x)

7 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA7 4.4 Bestemte integral Har en kurve til en funksjon y=f(x) på et lukket intervall [a,b] Intervallet deles i n underintervaller fra x lik a= x 0,, x 1, x 2,…x n-1, x n =b På hvert intervall reises et rektangel fra x-aksen som i pkt c k berører kurven i f(c k ) Produktet f(c k )*  x gir arealet av underintervall nr k Danner summen av disse produktene, kalt Riemann sum for f(x) over intervallet fra a til b. Når inndelingen blir finere og finere dvs  x går mot null vil summen nærme seg arealet mellom kurven og x-aksen dvs det bestemte integral av f fra a til b

8 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA8 4.4 Bestemte integral Teorem 1. Alle kontinuerlige funksjoner er integrerbare. Dvs hvis f(x) er kontinuerlig på [a,b], da har den et bestemt integral fra [a,b] som er arealet mellom kurven y=f(x) og x-aksen definert ved

9 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA9 4.4 Arealet under en kurve Definisjon: Hvis y=f(x) er positiv over et lukket intervall [a,b], da er arealet under kurven y=f(x) fra a til b integralet av f fra a til b: ΔxΔx b a f(c k )

10 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA Gjennomsnittsverdi f(x) er kontinuerlig på [a,b]. Deler [a,b] i n-intervaller. Hvert delintervall har lengden  x=(b-a)/n. Regner ut f(x) i x=c k i hvert underintervall. Middelverdien eller gjennomsnittsverdien blir da Hvis vi lar antall delintervall gå mot uendelig, blir middelverdien

11 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA Regler for bestemt integral

12 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA Middelverditeoremet teoremet sier at middelverdien av en funksjon er en funksjonsverdi minst engang i intervallet til funksjonen Arealet mellom kurven og x-aksen. Et rektangel med høyden f(b) blir for stort (f(b)*(b-a)) Et rektangel med høyden f(a) blir for lite (f(a)*(b-a)) Mellom disse rektanglene må det være et rektangel som gir riktig areal, nemlig et med høyde f(c). Teoremet sier: Hvis f(x) er en kontinuerlig funksjon på [a,b]. Da er det et punkt c i [a,b] hvor

13 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA13 Eksempel, middelverdisetningen Eks: 1 Hva er middelverdien til f(x) = 4-x på intervallet fra 0 til 3? x har verdien: 4-x=5/2  x=4-5/2=(8-5)/2 = 3/2 3/2 3 4

14 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA Fundamentalteoremet Hvis f(t) er integrerbar og kontinuerlig fra a til b, så vil integralet fra et tall a til et tall x definere en funksjon F(x) som er Hvis f>0 og x>a definerer F(x) arealet mellom grafen til f(t) fra a til x. F blir en ny normal funksjon som er deriverbar og hvis deriverte er f dvs Teoremet sier at enhver kontinuerlig funksjon f er en derivert av en annen funksjon

15 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA15 Eksempel 4 Finn den deriverte dvs dy/dx av Setter u=x 2 deriverer for å finne hva u-derivert er:du=2xdx for kjerneregelen sier dy/dx= dy/du *du/dx Altså når vi deriverer en slik funksjon 1.setter inn øvre grenseverdi i funksjonen og ganger med den deriverte av denne grenseverdien 2. trekker fra 3. setter inn nedre grenseverdi i funksjonen og ganger med den deriverte av grenseverdien (nedre grenseverdi). ( i eksemplet er den deriverte av 1 lik null)

16 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA Fundamentalteorem 2 Hvis f er kontinuerlig på [a,b] og F er en antiderivert av f på [a,b] så er

17 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA Substitusjon i bestemt integral Når det er nødvendig med substitusjon i et bestem integral kan det gjøres på to måter 1.Regn ut det tilsvarende ubestemte integral og løs så det bestemte integral ut fra svaret til det ubestemte og sett inn grensene 2. Skift grenser til hvilke verdier u vil få for grensene hvor u=g(x) og deriverte du=g`(x)dx Når x=a blir u=g(a) og x=b blir u=g(b)

18 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA eksempel 1 hvor u=x 3 +1 du=3x 2 dx og x=-1 gir u=0 x=1 gir u=2

19 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA Arealet mellom kurver Arealet mellom to kurver y 1 =f(x) og y 2 =g(x) fra x lik a til x lik b Deler innintervallet i n-underintervaller og tegner opp n rektangler. Arealet av rektangel nummer k blir  A k = høyde x bredde = [f(c k )-g(c k )]  x Når antall rektangler går mot uendelig eller  x mot 0 får vi

20 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA Arealet mellom to kurver 2 1.Tegn grafen til de to kurvene. Se hvem som er øverst (f) og hvem som er nederst (g) 2.Finn grensene dvs ofte hvor de skjærer hverandre 3.Finn f(x)-g(x) og forenkle hvis mulig 4.Integrer mellom grensene

21 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA Trapesregelen Del intervallet som skal integreres inn i passende intervaller. [a,b] deles i n-intervaller, med lengden h=(b-a)/n Arealet mellom kurven og x-aksen tilnærmes et trapes y0y0 y1y1 Arealet av et trapes er [(y 0 +y 1 )/2]*h som er høyden mellom de parallelle sidene Arealet av et trapes blir: [y 0 +y 1 ]*1/2*h hvor h=(b-a)/n Arealet blir: T=1/2(y 0 +y 1 )h+ 1/2(y 1 +y 2 )h+ …… 1/2(y n-2 +y n-1 )h +1/2(y n-1 +y n )h T= h(1/2y 0 +y 1 +y 2 +y 3 + ……..+y n-2 +y n-1 +1/2y n ) T=h/2(y 0 +2y 1 +2y 2 +2y 3 + ……..+2y n-2 +2y n-1 +y n ) hvor y 0 =f(a), y 1 =f(x 1 ) og y n =f(b) h

22 HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA Simpsons regel Bedre tilnærming enn trapeser er å tilnærme kurven vår til parabler Del inn intervallet [a,b] inn i et par talls like intervaller med lengde h. h=(b-a)/n (altså n et partall) Det bestemte integral av vår funksjon fra x=a til x=b blir da: S=h/3(y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y 4 +….+ 2y n-2 + 4y n-1 + y n ) eller S=(b-a)/3n(y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y 4 +….+ 2y n-2 + 4y n-1 + y n ) hvor n er partall Formel i tabell side 24 S=(b-a)/6n(y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y 4 +….+ 2y n-2 + 4y n-1 + y n ) hvor hvor intervallet b-a deles i 2n like store deler


Laste ned ppt "HØGSKOLEN I AGDER Agder University College © Kjell Erik Skaug, HiA1 Ch 4 INTEGRASJON 1.Integrasjon innebærer å finne alle funksjoner F som har f derivert."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google