Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Finn ligningen for det planet  som inneholder linja x = -1 + 3t y = 5 + 2t z = 2 – t og er vinkelrett på planet  2x – 4y + 2z = 9  normalvektor ( 2.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Finn ligningen for det planet  som inneholder linja x = -1 + 3t y = 5 + 2t z = 2 – t og er vinkelrett på planet  2x – 4y + 2z = 9  normalvektor ( 2."— Utskrift av presentasjonen:

1 Finn ligningen for det planet  som inneholder linja x = t y = 5 + 2t z = 2 – t og er vinkelrett på planet  2x – 4y + 2z = 9  normalvektor ( ) Punkt i planet er punktet på linja p = (-1 5 2) Vektorligning for  x = p + s u + t v Parameterfremstilling for  x = s + 2t y = 5 + 2s – 4t z = 2 – s + 2t Finner ligningen for planet ved å eliminere s og t (prøv selv) y + 2z = 9 Normalvektor n = (a b c) til planet  er ortogonal til u og v  n  u = 0  n  v = 0  (a b c)  (3 2 -1) = 0  (a b c)  (2 -4 2) = 0  3a + 2b –c = 0 2a -4b + 2c = 0 (ganger 1. ligning med 2 og summerer) 8a = 0  a = 0 2b – c = 0  b = 1  c = 2 passer i ligningen  n = ( 0 1 2) Planligningen: n  x = n  p ( 0 1 2)  (x y z) = ( 0 1 2)  (-1 5 2) y + 2z = 9 23 To vektorer i planet: u = (3 2 -1) og v = (2 -4 2) To løsningsmetoder. Studer dem nøye. De kan brukes i lignende oppgaver

2 Finn ligningen for det planet om går gjennom punktet (2 4 -1) og inneholder skjæringslinja mellom planene x – y – 4z = 2 og -2x + y + 2z = 3 24 Finne skjæringslinje mellom to plan To ligninger med 3 ukjente: velge f eks z som parameter og setter z = t x – y – 4z = 2  y = x – 2 – 4z sett inn i den andre ligningen -2x + y + 2z = 3 Da får vi denne parameterfremstillingen for linja x = -5 – 2t y = -7 – 6t z = t Da har vi en vektor og to punkter i planet. Vektoren er retningsvektoren for linja u = ( ) Punktene er (2 4 -1) og punktet på linja ( ) Bruker de to punktene til å finne en vektor til v = ( ) Deretter følges fremgangsmåte fra oppgave 23

3 LYKKE TIL Laila Oppgave 26: En linje som er parallell med to plan er parallell med skjæringslinja mellom dem. Se oppgave 24. Oppgave 27: Et plan som er vinkelrett på to andre plan må ha normalvektor lik retningsvektor for skjæringslinja mellom planene. Finn den først, se oppgave 24. Oppgave 30 : To linjer er parallelle hvis retningsvektorene er parallelle. Finn en vektor til i planet utfra punktene på linjene. For øvrig som oppgave 23. Oppgave 32: Her finner vi en vektor til i planet ved å finne skjæringslinja. Oppgave 34: En linje er parallell med et plan hvis planets normalvektor og linjas retningsvektor er ortogonale. Oppgave 39 : Sett inn i formel. Tips til de andre oppgavene

4 Vis at linjene L og M er parallelle og finn en ligning for det planet de bestemmer L x = 3 – 2t y = 4 + t t = 1 – t M x = 5 + 2t y = 1 - t t = 7 + t 30 To linjer er parallelle hvis retningsvektorene er parallelle. Retningsvektorer: a l = ( )vi ser at a m = (-1) a l  a m || a l a m = (2 -1 1)  L || M Trenger en vektor || retningsvektorene Vektor mellom punktene på de to linjene: p l = (3 4 1)  p m = (5 1 7) u = p m - p l = (2 -3 6) Normalvektor for planet n || a m x u = = ( ) Bruker n = (3 10 4) Ligning for planet: n  x = n  p l (3 10 4)  (x y z) = (3 10 4)  (3 4 1) 3x + 10y + 4z = 53 Anton

5 Vis at punktene a = ( ), b = (-2 0 1), c = ( ) og d = (2 0 1) ligger i samme plan vektorer mellom punktene: u = a – b = ( ) v = a – c = (3 -1 2) w = a – d = ( ) p = u x v = = ( ) p  u  p  v Hvis p  w ligger alle punktene i samme plan dvs p  w = 0 p  w = ( )  ( ) = 20 – 20 = 0VIST!

6 Finn ligningen for et plan hvor alle punkter i planet har lik avstand fra punktene P = ( ) og Q = (0 -2 2) 33 Avstandsformelen: PQ skjærer planet i A  d = PA = QA PQ Planet sett fra siden d Planet ligger midt mellom P og Q og vinkelrett på PQ  n = PQ = (1 2 4) er normalvektor til planet  Planets ligning: ax + by + cz = d d A  |-17 – D| = | 4 – D| -17 – D = 4 – D  -17 –D = -4 + D (to muligheter fordi det er absoluttverdi)  ingen løsning D = -13/2  planets ligning: 2x + 4y + 8z = -13  

7 Vis at linjene L og M skjærer hverandre og finn skjæringspunktet L x – 3 = 4t y – 4 = t z – 1 = 0 M x + 1 = 12t y – 7 = 6t z – 5 = 3t 35 Skriver om ligningene slik L x = 3 + 4t y = 4 + t z = 1 M x = s y = 7 + 6s z = 5 + 3s Setter koordinatene lik hverandre 3 + 4t = s4t - 4  3s = -4  4t – 4(-4) = -4  4t = - 20  t = t = 7 + 6s t - 2  3s = 3  t – 2(-4) = 3  t = -5 1 = 5 + 3s  3s = -4 Samme verdi for t  L||M Skjæringspunkt: x = 3 + 4t = -17 y = 4 + t = - 1 z = 1

8 Finn ligningen for planet som inneholder linjene i oppgave PunktRetningsvektor L x = 3 + 4t y = 4 + t z = 1 (3 4 1)u =(4 1 0) M x = s y = 7 + 6s z = 5 + 3s(-1 7 5)(12 6 3) setter v = (4 2 1) Normalvektor til planet : n = u x v = Punkt i planet: p = ( ) = (1 -4 4) Ligning for planet: n  x = n  p (1 -4 4)  (x y z) = (1 -4 4)  ( ) x - 4y + 4z = -9

9 Finn avstanden mellom de to parallelle planene a)3x – 4y + z = 1 og 6x – 8y + 2z = 3 b)-4x + y -3z = 0 og 8x – 2y + 6z = 0 c)2x –y + z = 1 og 2x –y + z = -1 Avstanden mellom to parallelle plan: finn et punkt i det ene planet og sett inn i avstandsformelen for det andre planet. a)3x – 4y + z = 1 og 6x – 8y + 2z = 3 Vi ser at f eks punktet (0 0 1) passer i det første planet.  40


Laste ned ppt "Finn ligningen for det planet  som inneholder linja x = -1 + 3t y = 5 + 2t z = 2 – t og er vinkelrett på planet  2x – 4y + 2z = 9  normalvektor ( 2."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google