Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE1 Chapter 6 Integer Linear Programming.

Presentasjon om: "Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE1 Chapter 6 Integer Linear Programming."— Utskrift av presentasjonen:

1 Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE1 Chapter 6 Integer Linear Programming

2 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE Når en eller flere variabler i et LP problem må anta heltallsverdier har vi et heltallsproblem, Integer Linear Programming (ILP) problem. ILP problemer er ganske vanlige: Fordele arbeidsstyrke Produsere fly Heltallsvariabler gjør oss også i stand til å lage mer nøyaktige modeller for en mengde økonomiske problemer. Introduksjon 2

3 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE3 Heltallsrestriksjoner Max350X 1 + 300X 2 Dekningsbidrag S.T.:1X 1 + 1X 2 <=200Pumper 9X 1 + 6X 2 <=1566Arbeid 12X 1 16X 2 <=2880Rør X1X1 >=0Ikke-negativitet X2X2 >=0Ikke-negativitet X1X1Heltall X2X2Heltall Heltallsbetingelser er enkle å angi, men problemet blir ofte mye vanskeligere (og noen ganger umulig) å løse.

4 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE4 Forenkling Opprinnelig ILP problem: Max2X 1 + 3X 2 S.T.:1X 1 + 3X 2 <=8,25 2,5X 1 + 1X 2 <=8,75 X1X1 >=0 X2X2 0 X1X1Heltall X2X2Heltall I forenklingen ser en ganske enkelt bort fra heltallsbetingelsene. Forenklet LP problem: Max2X 1 + 3X 2 S.T.:1X 1 + 3X 2 <=8,25 2,5X 1 + 1X 2 <=8,75 X1X1 >=0 X2X2 0 Heltallsbetingelseneutelates.

5 Rasmus Rasmussen5 Mulighetsområdet og heltallsløsninger X1X1 X2X2 2,75 3,5 2,5·X 1 + 1·X 2 ≤ 8,75 1·X 1 + 3·X 2 ≤ 8,25 X 1 ≥ 0 X 2 ≥ 0 BØK350 OPERASJONSANALYSE 8,25 2 1 3 2 1 0 Mulighetsområdet til LP problemet De røde punktene angir mulige heltallsløsninger

6 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE6 Når en løser et LP-forenklet heltallsproblem, kan en noen ganger være heldig å få en optimal heltallsløsning. Det var tilfellet i det opprinnelige Blue Ridge Hot Tubs problemet i tidligere kapitler. Men hva hvis vi reduserer tilgjengelig arbeidstid til 1520 timer og tilgjengelig mengde rør til 2650 dm ? Løsning av ILP problemer

7 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE7 LP problem med desimalløsning

8 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE8 Den optimale løsningen til et LP-forenklet heltallsproblem gir oss en grense for den optimale verdien på målfunksjonen. maksimerings For maksimerings problemer er den optimale forenklede målfunksjonen en øvre grense for den optimale heltallsløsningen. minimerings For minimerings problemer er den optimale forenklede målfunksjonen en nedre grense for den optimale heltallsløsningen. Grenser

9 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE9 Det er fristende å ganske enkelt avrunde en desimalløsning til nærmeste heltallsløsning. Generelt vil dette ikke virke tilfredsstillende: Den avrundede løsningen kan være umulig. Den avrundede løsningen kan være suboptimal. Avrunding

10 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE10 Hvordan avrunding nedover kan skape en umulig løsning X1X1 X2X2 0 0 1234 1 2 3 Optimal forenklet løsning Ikke mulig løsning som resultat av å runde av nedover

11 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE11 Branch-and-Bound (B&B) algoritmen kan brukes for å løse ILP problemer. Krever løsning av en serie med LP problemer kalt ”kandidat problemer”. Teoretisk kan dette løse et hvilket som helst ILP. enormt I praksis krever det ofte enormt mye regnekraft (og tid). Branch-and-Bound

12 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE12 Fordi B&B tar så lang tid, tillater de fleste ILP pakker å angi en suboptimalitets toleranse faktor. Den lar deg stoppe straks en heltallsløsning er funnet som er innenfor en gitt % av den globale optimale løsningen. Grenser oppnådd fra LP-forenklingen er her nyttige. F.eks. LP forenklingen har optimal verdi på målfunksjonen lik $64.306. 95% av $64.306 er $61.090. En heltallsløsning med verdi på målfunksjonen lik $61.090 eller mer må derfor ligge innenfor 5% av den optimale løsningen. Stoppe - regler

13 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE13 Angi heltall som en restriksjon på de aktuelle beslutningsvariablene: Bruk av Solver på heltall beslutningsvariabler Bare beslutningsvariabler kan ha heltallskrav.

14 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE14 Under Engine tab i Task Pane, Integer Tolerance. I den nye Solver (V9 osv.) er standard Integer Tolerance = 0 Forbedret B&B algoritmer (strong branching) gjør at Solver raskere finner gode heltallsløsninger. Integer Tolerance

15 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE15 Hvis Integer Tolerance > 0, så er det ikke sikkert at optimal løsning er funnet: Angi toleranse i Solver

16 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE16 Optimal heltallsløsning

17 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE17 Behovet for antall ansatte varierer med ukedagene. Lønn pr. ansatt pr. uke er lavest for de som har fri i helgene (lørdag og søndag). Et skiftplanleggingsproblem: Dag Behov Skift 1Skift 2Skift 3Skift 4Skift 5Skift 6Skift 7 Mandag 27 Fri Tirsdag 22 Fri Onsdag 26 Fri Torsdag 25 Fri Fredag 21 Fri Lørdag 19 Fri Søndag 18 Fri Lønn 680705 680655

18 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE18 X 1 = antall arbeidere tildelt skift 1 X 2 = antall arbeidere tildelt skift 2 X 3 = antall arbeidere tildelt skift 3 X 4 = antall arbeidere tildelt skift 4 X 5 = antall arbeidere tildelt skift 5 X 6 = antall arbeidere tildelt skift 6 X 7 = antall arbeidere tildelt skift 7 Definer beslutningsvariablene

19 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE19 Lønnen er $131 pr. dag, med tillegg $25 pr. dag for helg (lørdag og søndag). De som jobber 5 ukedager har ukelønn 131  5 = 655 De som i tillegg jobber en helgedag har 655 + 25 = 680 De som jobber to helgedager har 655 + 25  2 = 705. Minimer totale lønnskostnader: MIN: 680X 1 +705X 2 +705X 3 +705X 4 +705X 5 +680X 6 +655X 7 Definer målfunksjonen

20 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE20 Behov for arbeidere hver ukedag: 0X 1 + 0X 2 + 1X 3 + 1X 4 + 1X 5 + 1X 6 + 1X 7 >= 27 } Mandag 1X 1 + 0X 2 + 0X 3 + 1X 4 + 1X 5 + 1X 6 + 1X 7 >= 22 } Tirsdag 1X 1 + 1X 2 + 0X 3 + 0X 4 + 1X 5 + 1X 6 + 1X 7 >= 26 } Onsdag 1X 1 + 1X 2 + 1X 3 + 0X 4 + 0X 5 + 1X 6 + 1X 7 >= 25 } Torsdag 1X 1 + 1X 2 + 1X 3 + 1X 4 + 0X 5 + 0X 6 + 1X 7 >= 21 } Fredag 1X 1 + 1X 2 + 1X 3 + 1X 4 + 1X 5 + 0X 6 + 0X 7 >= 19 } Lørdag 0X 1 + 1X 2 + 1X 3 + 1X 4 + 1X 5 + 1X 6 + 0X 7 >= 18 } Søndag Ikke-negativitets-betingelsene: X i >= 0 for alle i Definere restriksjonene

21 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE21 Standard LP i regneark En kolonne for hver variabel, en LHS (total)- og en RHS -kolonne. (Kolonne C – I for variabler, J for LHS/total og L for RHS) En linje for verdier til beslutningsvariablene. (Linje 3) En linje for målfunksjonen. (Linje 4) En linje for hver restriksjon. (Linje 6 – 12)

22 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE22 Alternativ LP formulering Formler beregner koeffisientene, istedenfor manuell inntasting av beregnede verdier.

23 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE23 Alternativ layout LP-modellen snudd 90 grader. Husker du trikset? Copy  Paste &Transpose

24 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE24 Binære variabler er heltallsvariabler som bare kan anta to verdier: 0 eller 1 Slike variabler kan være meget nyttige i en mengde praktiske modelleringssituasjoner. Binær -variabler

25 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE25 Forventet NPVKapital (i $000) som trengs i Prosjekt(i $000)År 1 År 2 År 3 År 4 År 5 1$141 $75$25$20$15$10 2$187 $90$35 $0 $30 3$121 $60$15 4 $83 $30$20$10 $5 5$265$100$25$20 6$127 $50$20$10$30$40 Et kapitalbudsjetteringsproblem: Selskapet har $250,000 disponibelt år 1 til å investere i nye prosjekter. Det har budsjettert $75,000 til fornyet dekning til disse prosjektene i år 2. Og det er budsjettert inntil $50,000 per år for årene 3, 4, og 5.

26 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE26 Vi kan altså investere i prosjektene 1 – 6, men bare i hele prosjekter. Vi kan heller ikke investere i mer enn ett prosjekt av samme type, dvs. prosjektene kan ikke dupliseres. Definere beslutningsvariablene

27 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE27 Maksimer total netto nåverdi av de valgte prosjektene. MAX: 141X 1 + 187X 2 + 121X 3 + 83X 4 + 265X 5 + 127X 6 Merk at de prosjektene som ikke velges «nulles» ut. Definere målfunksjonen

28 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE28 Kapitalrestriksjoner 75X 1 +90X 2 + 60X 3 + 30X 4 + 100X 5 + 50X 6 <= 250} år 1 25X 1 +35X 2 + 15X 3 + 20X 4 + 25X 5 + 20X 6 <= 75} år 2 20X 1 +0X 2 + 15X 3 + 10X 4 + 20X 5 + 10X 6 <= 50} år 3 15X 1 +0X 2 + 15X 3 + 5X 4 + 20X 5 + 30X 6 <= 50} år 4 10X 1 + 30X 2 + 15X 3 + 5X 4 + 20X 5 + 40X 6 <= 50} år 5 Binærrestriksjoner X i <= 1, i = 1, 2,..., 6 X i >= 0, i = 1, 2,..., 6 Alle X i må være heltall Definere restriksjonene

29 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE29 Solver har en “bin” mulighet for angivelse av binære variabler (enten 0 eller 1). Du slipper da å angi 3 betingelser (0 ≤ heltall ≤ 1). Binærvariabler

30 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE30 Implementere LP modellen En kolonne for hver variabel, en LHS (total)- og en RHS -kolonne. (Kolonne C – H for variabler, I for LHS/total og K for RHS) En linje for verdier til beslutningsvariablene. (Linje 4) En linje for målfunksjonen. (Linje 5) En linje for hver restriksjon. (Linje 6 – 10)

31 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE31 Alternativ lay-out LP-modellen snudd 90 grader. Copy  Paste &Transpose. Samt litt formatering.

32 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE32 Binære variabler er også nyttige ved modellering av en rekke logiske betingelser. Av prosjektene 1, 3 & 6, kan maksimalt ett velges: X 1 + X 3 + X 6 <= 1 Av prosjektene 1, 3 & 6, må nøyaktig ett velges: X 1 + X 3 + X 6 = 1 Prosjekt 4 kan ikke velges med mindre også prosjekt 5 velges: X 4 <= X 5 eller X 4 – X 5 <= 0 Binære Variabler & Logiske Betingelser

33 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE33 Mange beslutninger medfører at faste kostnader endres: l Kostnad ved leasing, leie eller kjøp av utstyr som kreves hvis et spesielt alternativ velges. l Klargjøringskostnader som er nødvendige for å forberede en maskin eller et produksjonsutstyr til å produsere en annen type produkt. l Kostnaden ved å konstruere nytt produksjonsutstyr som kreves hvis en bestemt beslutning fattes. l Kostnader ved å ansette mer personale som vil bli nødvendig hvis en bestemt beslutning tas. Faste kostnader

34 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE34 OperasjonProd. 1Prod. 2Prod. 3Timer tilgjengelig Maskinering236600 Sliping634300 Montering562400 DB pr. Stk.$48$55$50 Klargjøringskost$1000$800$900 Eksempel med faste kostnader : Tabellen viser produktenes tidsforbruk og tilgjengelig tid i de tre produksjonsavdelingene. Den viser også produktenes dekningsbidrag pr. stk, samt klargjøringskostnader før en produksjonsserie.

35 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE35 Y i Y i angir om vi har klargjort til produksjon av produkt X i. Y i = binærvariabel. X i X i = kvantum av produkt i som skal produseres, i = 1, 2, 3 X i = standard kontinuerlig variabel (delbar, ikke-negativ). Definere beslutningsvariablene

36 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE36 Maksimere total fortjeneste: MAX: – 1000Y 1 – 800Y 2 – 900Y 3 + 48X 1 + 55X 2 + 50X 3 Faste klargjøringskostnader oppstår når binærvariablene Y i = 1. Definere målfunksjonen

37 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE37 Ressursrestriksjoner 2X 1 + 3X 2 + 6X 3 <= 600} maskinering 6X 1 + 3X 2 + 4X 3 <= 300} sliping 5X 1 + 6X 2 + 2X 3 <= 400} montering Binær-restriksjoner Y i <= 1, i = 1, 2, 3 Y i >= 0, i = 1, 2, 3 Alle Y i må være heltall Ikke-negativitetsrestriksjoner X i >= 0, i = 1, 2, 3 Definere restriksjonene Er det noe som mangler?

38 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE38 Koble restriksjonene (med “Big M”) X 1 <= M 1 Y 1 eller X 1 - M 1 Y 1 <= 0 X 2 <= M 2 Y 2 eller X 2 - M 2 Y 2 <= 0 X 3 <= M 3 Y 3 eller X 3 - M 3 Y 3 <= 0 Hvis Y i = 0 så vil disse restriksjonene tvinge X i til å bli lik 0. Hvis Y i = 1 så tillater disse restriksjonene X i å være 0 eller større. Men hvis X i = 0 vil målsettingen da medføre at også Y i settes til 0, for å spare kostnader. Merk at M i angir en øvre grense for X i. Vi må velge en tilstrekkelig stor men ikke for stor verdi til M i. Definere restriksjonene (forts.)

39 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE39 Betrakt ressursrestriksjonene 2X 1 + 3X 2 + 6X 3 <= 600} maskinering 6X 1 + 3X 2 + 4X 3 <= 300} sliping 5X 1 + 6X 2 + 2X 3 <= 400} montering Hva er maksimum verdi X 1 kan anta? La X 2 = X 3 = 0 X 1 = MIN(600/2, 300/6, 400/5) = MIN(300, 50, 80) = 50 Maximum verdier for X 2 & X 3 kan finnes på samme måte. Finne rimelige verdier for M 1

40 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE40 MAX:- 1000Y 1 - 800Y 2 - 900Y 3 + 48X 1 + 55X 2 + 50X 3 Slik at:2X 1 + 3X 2 + 6X 3 <= 600} maskinering 6X 1 + 3X 2 + 4X 3 <= 300} sliping 5X 1 + 6X 2 + 2X 3 <= 400} montering X 1 <= 50Y 1 X 2 <= 67Y 2 kobling X 3 <= 75Y 3 Y i <= 1, i = 1, 2, 3 Y i >= 0, i = 1, 2, 3 binær-restriksjoner Alle Y i må være heltall X i >= 0, i = 1, 2, 3} ikke-negativitet Sammendrag av modellen

41 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE41 Ikke IF( ) Ikke bruk IF( ) funksjonen til å modellere sammenhengen mellom X i og Y i. Anta celle A5 representerer X 1 Anta celle A6 representerer Y 1 Du ønsker å lage A6 = IF(A5>0;1;0) Dette vil skape store problemer for Solver! La Y i være som en hvilken som helst variabel. Gjør dem til binære beslutningsvariabler. Bruk koblingsrestriksjoner til å skape de nødvendige sammenhengene mellom X i og Y i. Mulige feller

42 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE42 Implementere LP modellen En kolonne for hver variabel, en LHS (total)- og en RHS -kolonne. (Kolonne C – H for variabler, I for LHS/total og K for RHS) En linje for verdier til beslutningsvariablene. (Linje 4) En linje for målfunksjonen. (Linje 5) En linje for hver restriksjon. (Linje 7 – 12)

43 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE43 Alternativ lay-out Merk at Set-Up kapasiteten er avhengig av verdien på den binære Set-Up variabelen.

44 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE44 Anta at Remington ikke ønsker å produsere noe av produkt 3 uten at det blir produsert minst 40 enheter. Vurder følgende: X 3 <= M 3 Y 3 X 3 >= 40 Y 3 Minimum ordre størrelse

45 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE45 Kvantumsrabatter: Ved produksjon over 75 stk. X 1 oppnås rabatter slik at dekningsbidraget økes til 375$ pr. enhet. Ved produksjon over 50 stk. X 2 oppnås rabatter slik at dekningsbidraget økes til 325$ pr. enhet. Kvantumsrabatter Max350X 1 + 300X 2 Dekningsbidrag S.T.:1X 1 + 1X 2 <=200Pumper 9X 1 + 6X 2 <=1566Arbeid 12X 1 16X 2 <=2880Rør X1X1 >=0Og heltall X2X2 >=0Og heltall

46 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE46 I tillegg må vi ha følgende betingelser: X 1M <= M 1M Y 1M } kan ikke produsere med rabatt X 1U >= 75Y 1M } før vi ha produsert 75 uten. X 2M <= M 2M Y 2M } kan ikke produsere med rabatt X 2U >= 50Y 2M } før vi ha produsert 50 uten. Y 1M, Y 2M binærvariabler; X ij ikke-negative heltall. LP modell med rabatter Max350X 1U + 375X 1M + 300X 2U + 325X 2M Dekningsbidrag S.T.:1X 1U + 1X 1M + 1X 2U + 1X 2M <=200Pumper 9X 1U + 9X 1M + 6X 2U + 6X 2M <=1566Arbeid 12X 1U + 12X 1M + 16X 2U + 16X 2M <=2880Rør Uten rabatt Med rabatt

47 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE47 Revidert LP modell med rabatter Max350X 1U + 375X 1M + 300X 2U + 325X 2M Dekningsbidrag S.T.:1X 1U + 1X 1M + 1X 2U + 1X 2M <=200Pumper 9X 1U + 9X 1M + 6X 2U + 6X 2M <=1566Arbeid 12X 1U + 12X 1M + 16X 2U + 16X 2M <=2880Rør X 1U -75Y 1M >=0 X 1M -200Y 1M <=0 X 2U -50Y 2M >=0 X 2M -200Y 2M <=0 X 1U X 1M X 2U X 2M >=0Og heltall Y 1M Y 2M Binærvariabler

48 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE48 LP modell med rabatter En kolonne for hver variabel, en LHS (total)- og en RHS -kolonne. (Kolonne C – H for variabler, I for LHS/total og K for RHS) En linje for verdier til beslutningsvariablene. (Linje 3) En linje for målfunksjonen. (Linje 4) En linje for hver restriksjon. (Linje 5 – 11) Restriksjonene gruppert etter type – forenkler bruk av Solver.

49 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE49 Alternativ lay-out

50 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE50 Kostnad pr levert tonn sement Selskap Prosjekt 1Prosjekt 2Prosjekt 3Prosjekt 4Kapasitet 1$120 $115$130$125525 tonn 2$100 $150$110 $105 450 tonn 3$140 $95$145$165550 tonn Behov450 tonn 275 tonn300 tonn350 tonn Et kontraktstildelingsproblem: Selskap 1 leverer bare ordrer på minst 150 tonn. Selskap 2 kan levere ordrer på over 200 tonn bare for ett prosjekt. Selskap 3 leverer totalt bare i kvanta på 200, 400 eller 550 tonn.

51 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE51 X ij = tonn sement kjøpt fra selskap i til prosjekt j i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4 Definere beslutningsvariablene

52 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE52 Minimere totale kostnader: MIN:120X 11 + 115X 12 + 130X 13 + 125X 14 + 100X 21 + 150X 22 + 110X 23 + 105X 24 + 140X 31 + 95X 32 + 145X 33 + 165X 34 Definere målfunksjonen

53 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE53 Kapasitetsrestriksjoner X 11 + X 12 + X 13 + X 14 <= 525} Selskap 1 X 21 + X 22 + X 23 + X 24 <= 450} Selskap 2 X 31 + X 32 + X 33 + X 34 <= 550} Selskap 3 Etterspørselsrestriksjoner X 11 + X 21 + X 31 = 450} Prosjekt 1 X 12 + X 22 + X 32 = 275} Prosjekt 2 X 13 + X 23 + X 33 = 300} Prosjekt 3 X 14 + X 24 + X 34 = 350} Prosjekt 4 Ikke-negativitetsrestriksjoner X ij >= 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4 Definere restriksjonene

54 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE54 Selskap 1 leverer bare ordrer på minst 150 tonn X 1j <= 525Y 1j j = 1, 2, 3, 4 X 1j >= 150Y 1j j = 1, 2, 3, 4 Selskap 2 kan levere over 200 tonn bare for ett prosjekt X 2j <= 200 + 250Y 2j j = 1, 2, 3, 4 Y 21 + Y 22 + Y 23 + Y 24 <= 1 Selskap 3 leverer totalt bare 200, 400 eller 550 tonn X 31 + X 32 + X 33 + X 34 = 200Y 31 + 400Y 32 + 550Y 33 Y 31 + Y 32 + Y 33 <= 1 Definere restriksjonene (forts.)

55 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE55 MIN:120X 11 + 115X 12 + 130X 13 + 125X 14 + 100X 21 + 150X 22 + 110X 23 + 105X 24 + 140X 31 + 95X 32 + 145X 33 + 165X 34 slik at:X 11 + X 12 + X 13 + X 14 <= 525} Selskap 1 X 21 + X 22 + X 23 + X 24 <= 450} Selskap 2 X 31 + X 32 + X 33 + X 34 <= 550} Selskap 3 X 11 + X 21 + X 31 = 450} Prosjekt 1 X 12 + X 22 + X 32 = 275} Prosjekt 2 X 13 + X 23 + X 33 = 300} Prosjekt 3 X 14 + X 24 + X 34 = 350} Prosjekt 4 Sammendrag av modellen

56 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE56 X 1j <= 525Y 1j j = 1, 2, 3, 4 X 1j >= 150Y 1j j = 1, 2, 3, 4 X 2j <= 200 + 250Y 2j j = 1, 2, 3, 4 Y 21 + Y 22 + Y 23 + Y 24 <= 1 X 31 + X 32 + X 33 + X 34 = 200Y 31 + 400Y 32 + 550Y 33 Y 31 + Y 32 + Y 33 <= 1 X ij >= 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4 Y ij =binær-variabel; i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4 Sammendrag av modellen (forts.)

57 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE57 Lay-out som nettverk En tabell for greinene (variablene) En tabell for nodene (restriksjonene) Tilleggsrestriksjoner på greinene (variablene)

58 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE58 Regneark med standard LP lay-out

59 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE59 Branch-And-Bound algoritmen Opprinnelig ILP problem: Max2X 1 + 3X 2 S.T.:1X 1 + 3X 2 <=8,25 2,5X 1 + 1X 2 <=8,75 X1X1 >=0 X2X2 0 X1X1Heltall X2X2Heltall

60 Rasmus Rasmussen60 Mulighetsområdet og heltallsløsninger X1X1 X2X2 2,75 3,5 2,5·X 1 + 1·X 2 ≤ 8,75 1·X 1 + 3·X 2 ≤ 8,25 BØK350 OPERASJONSANALYSE 8,25 2 1 3 2 1 0 Optimal Relaxed løsning X 1 = 2,769, X 2 =1,826 Målfunksjon = 11,019

61 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE61 Branch-And-Bound algoritmen Problem I: Max2X 1 + 3X 2 S.T.:1X 1 + 3X 2 <=8,25 2,5X 1 + 1X 2 <=8,75 X1X1 <=2 X1X1 >=0 X2X2 0 X1X1Heltall X2X2Heltall Problem II: Max2X 1 + 3X 2 S.T.:1X 1 + 3X 2 <=8,25 2,5X 1 + 1X 2 <=8,75 X1X1 >=3 X1X1 0 X2X2 0 X1X1Heltall X2X2Heltall

62 Rasmus Rasmussen62 Løsninger av Problem I og II X1X1 X2X2 2,75 3,5 2,5·X 1 + 1·X 2 ≤ 8,75 1·X 1 + 3·X 2 ≤ 8,25 BØK350 OPERASJONSANALYSE 8,25 2 1 3 2 1 0 Problem I Problem II X 1 =2, X 2 =2,083, Målfunksjon = 10,25

63 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE63 Branch-And-Bound algoritmen Problem III: Max2X 1 + 3X 2 S.T.:1X 1 + 3X 2 <=8,25 2,5X 1 + 1X 2 <=8,75 X1X1 <=2 X2X2 2 X1X1 >=0 X2X2 0 X1X1Heltall X2X2Heltall Problem IV: Max2X 1 + 3X 2 S.T.:1X 1 + 3X 2 <=8,25 2,5X 1 + 1X 2 <=8,75 X1X1 <=2 X2X2 >=3 X1X1 0 X2X2 0 X1X1Heltall X2X2Heltall

64 Rasmus Rasmussen64 Løsninger av Problem II og III X1X1 X2X2 2,75 3,5 2,5·X 1 + 1·X 2 ≤ 8,75 1·X 1 + 3·X 2 ≤ 8,25 BØK350 OPERASJONSANALYSE 8,25 2 1 3 2 1 0 Problem III Problem II X 1 =2, X 2 =2, Målfunksjon = 10 X 1 =3, X 2 =1,25, Målfunksjon = 9,75

65 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE65 B&B Sammendrag X 1 =2,769 X 2 =1,826 Obj = 11,019 X 1 =2 X 2 =2,083 Obj = 10.25 X 1 =2 X 2 =2 Obj = 10 infeasible X 1 =3 X 2 =1,25 Obj = 9,75 Opprinnelig Problem Problem II Problem I Problem IIIProblem IV X 1 >=3 X 1 <=2 X 2 >=3X 2 <=2

66 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE66 Slutt på kapittel 6