Presentasjon lastes. Vennligst vent

Presentasjon lastes. Vennligst vent

Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE1 Chapter 2 Introduction to Optimization and Linear Programming.

Liknende presentasjoner


Presentasjon om: "Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE1 Chapter 2 Introduction to Optimization and Linear Programming."— Utskrift av presentasjonen:

1 Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE1 Chapter 2 Introduction to Optimization and Linear Programming

2 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE Alle står overfor beslutninger om hvordan en skal utnytte begrensede ressurser, som: - Naturressurser, som oljereserver - Areal - Tid - Penger - Ansatte Innledning 2

3 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE3 MP er et fag i operasjonsanalyse som finner den optimale eller mest effektive måten å utnytte begrensede ressurser; for å oppnå målsettingen til et individ eller en organisasjon. m.a.o. Optimering Matematisk programmering

4 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE4 Bestemme produksjonsmiks Produksjonsplanlegging Ruteplanlegging og logistikk Finansiell planlegging Anvendelser av Matematisk Optimering

5 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE5 Beslutninger - Handlingsvariabler Restriksjoner - Begrensninger Målsetting - Målfunksjon Karakteristika for optimeringsproblemer

6 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE6 MAX (eller MIN): f 0 (X 1, X 2, …, X n ) Slik at : f 1 (X 1, X 2, …, X n )<=b 1 : f k (X 1, X 2, …, X n )>=b k : f m (X 1, X 2, …, X n )=b m Merk: Hvis alle funksjonene i et optimeringsproblem er lineære, så er problemet et lineært programmeringsproblem (LP). Generell form på et optimeringsproblem

7 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE7 MAX (eller MIN): c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n X n Slik at:a 11 X 1 + a 12 X 2 + … + a 1 n X n <= b 1 : a k 1 X 1 + a k 2 X 2 + … + a kn X n >= b k : a m 1 X 1 + a m 2 X 2 + … + a mn X n = b m Generell form på et Lineært Programmeringsproblem (LP)

8 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE8 Blue Ridge Hot Tubs produserer to typer varmtvannsberedere : Aqua-Spas & Hydro-Luxes. Eksempel på et LP Problem DataAqua-SpaHydro-Lux Pumper11 Arbeid9 timer6 timer Rør12 dm16 dm DB/pr. stk$350$300 Det er 200 pumper, 1566 arbeidstimer, og 2880 dm rør tilgjengelig.

9 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE9 1.Forstå problemet. 2.Identifiser beslutningsvariablene. X 1 =antall Aqua-Spa produsert X 2 =antall Hydro-Lux produsert 3.Angi målfunksjonen som en lineær kombinasjon av beslutningsvariablene. MAX: 350X X 2 5 trinn i formulering av LP modeller:

10 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE10 4.Angi restriksjonene som lineære kombinasjoner av beslutningsvariablene. 1X 1 + 1X 2 <= 200} pumper 9X 1 + 6X 2 <= 1566} arbeid 12X X 2 <= 2880} rør 5.Identifiser eventuelle øvre og nedre grenser på beslutningsvariablene. X 1 >= 0 X 2 >= 0 5 trinn i formulering av LP modeller:

11 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE11 LP Modellen for Blue Ridge Hot Tubs Max350X X 2 S.T.:1X 1 + 1X 2 <=200 9X 1 + 6X 2 <= X 1 16X 2 <=2880 X1X1 >=0 X2X2 0

12 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE12 Idé: Hver Aqua-Spa (X 1 ) skaper det største dekningsbidraget ($350), produser derfor så mange som mulig! Hvor mange kan vi produsere? La X 2 = 0 1. restriksjon:1X 1 <= restriksjon:9X 1 <=1566eller X 1 <= restriksjon:12X 1 <= 2880eller X 1 <= 240 Hvis X 2 =0, så er den største mulige verdien av X 1 lik 174 og totalt dekningsbidrag er $350*174 + $300*0 = $60,900 NEI! Denne løsningen er mulig, men er den optimal? NEI! Løsning av LP problemer:En intuitiv innfallsvinkel

13 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE13 Restriksjonene i et LP problem definerer et mulighetsområde. Det beste punktet i mulighetsområdet er den optimale løsningen av problemet. For LP problemer med 2 variabler er det lett å plotte mulighetsområdet og finne den optimale løsningen. En akse for hver variabel En linje for hver restriksjon En linje for målfunksjonen Løsning av LP problemer:En grafisk innfallsvinkel

14 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE14 Vi må gjøre ulikhetene om til likheter for å kunne tegne restriksjonene. = For bruk av pumper må vi gjøre om: 1·X 1 + 1·X 2 ≤ 200  1·X 1 + 1·X 2 = 200 Om vi bare har X 2 på venstre side får vi: 1·X 2 = 200 – 1·X 1  X 2 = 200/1 – 1/1·X 1 Vi får dermed: X 2 = 200 – 1·X 1 Dette kan vi tegne inn i et diagram. Tegne restriksjonene

15 Rasmus Rasmussen15 Plotte den første restriksjonen X1X1 X2X2 Bruk av pumper: X 2 = 200 – 1·X X 1 = 0  X 2 = 200 (punkt på Y-aksen) X 2 = 0  200 – 1·X 1 = 0  1·X 1 = 200  X 1 = 200/1 = 200 (punkt på X-aksen) 200 Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = 200 Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 ≤ 200 X 1 ≥ 0 X 2 ≥ 0 BØK350 OPERASJONSANALYSE Merk ikke-negativitet: X 2 ≥ 0

16 Rasmus Rasmussen16 Plotte den andre restriksjonen X1X1 X2X2 Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = 1566 X 1 = 0  6X 2 = 1566  X 2 = 1566/6 = 261 (punkt på Y-aksen) X 2 = 0  9X 1 = 1566  X 1 = 1566/9 = 174 (punkt på X-aksen) Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = 1566 Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 ≤ 1566 BØK350 OPERASJONSANALYSE

17 Rasmus Rasmussen17 Felles mulighetsområde X1X1 X2X2 200 Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = 1566 Område som tilfredsstiller begge restriksjonene BØK350 OPERASJONSANALYSE

18 Rasmus Rasmussen18 Plotte den tredje restriksjonen X1X1 X2X2 Bruk av rør: 12X X 2 = 2880 X 1 = 0  16X 2 = 2880  X 2 = 2880/16 = 180 (punkt på Y-aksen) X 2 = 0  12X 1 = 2880  X 1 = 2880/12 = 240 (punkt på X-aksen) Bruk av rør: 12X X 2 = 2880 Bruk av rør: 12X X 2 ≤ 2880 BØK350 OPERASJONSANALYSE

19 Rasmus Rasmussen19 Felles mulighetsområde X1X1 X2X2 200 Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = 1566 Område som tilfredsstiller alle restriksjonene Bruk av rør: 12X X 2 = 2880 BØK350 OPERASJONSANALYSE

20 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE20 Vi ønsker å maksimere DB = 350X X 2. Anta at vi f.eks. produserer X 1 = 100 og X 2 = 0. Da blir DB = 350· ·0 = Om vi skal ha samme DB men lar X 1 = 0, må: DB = 350· · X 2 =  300· X 2 =  X 2 = /300 ≈ 116,67. Begge disse punktene: (100, 0) og (0, 116,67) gir samme DB = Tegne målfunksjonen

21 Rasmus Rasmussen21 Plotte nivåkurver for målfunksjonen X1X1 X2X2 200 Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = Bruk av rør: 12X X 2 = DB =350X X 2 Totalt DB= BØK350 OPERASJONSANALYSE

22 Rasmus Rasmussen22 Ny nivåkurve for målfunksjonen X1X1 X2X DB =350X X 2 Totalt DB= (0,175) (150, 0) Første nivåkurve tar utgangspunkt i X 1 = 100. Andre nivåkurve tar utgangspunkt i X 1 = 150. BØK350 OPERASJONSANALYSE

23 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE23 I figuren har vi tegnet isobidragslinjen for totalt dekningsbidrag lik Alle punkt på denne linjen har samme DB. Om vi parallellforskyver linjen oppover (nordøst) i diagrammet vil DB øke (jo mer vi produserer av produktene jo større blir DB). Når isobidragslinjen akkurat tangerer mulighetsområdet har vi maksimalt DB, en større produksjon er ikke mulig. Denne tangeringen vil alltid skje i ett (eller 2) hjørnepunkt. Maksimalt dekningsbidrag

24 Rasmus Rasmussen24 Parallellforskyve nivåkurver X1X1 X2X DB: 350X X 2 = DB: 350X X 2 = Optimal løsning Størst mulig dekningsbidrag når nivåkurven ligger lengst nordøst, og samtidig tangerer mulighetsområdet. BØK350 OPERASJONSANALYSE

25 Rasmus Rasmussen25 Optimal løsning X1X1 X2X2 200 Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = Bruk av rør: 12X X 2 = 2880 DB =350X X 2 Optimal løsning der restriksjonene for arbeid og pumper krysser hverandre BØK350 OPERASJONSANALYSE

26 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE26 Den optimale løsningen inntrer der linjene for pumpe- og arbeidstids- restriksjonene krysser. Det skjer når de er like: X 1 + X 2 = 200 (1) 9X 1 + 6X 2 = 1566(2) Fra (1) får vi, X 2 = 200 -X 1 (3) Setter vi (3) for X 2 inn i (2) får vi, 9X (200 -X 1 ) = 1566 Som forenkles til X 1 = 122 Så den optimale løsningen er, X 1 =122, X 2 = 200 – X 1  X 2 =200 – 122 = 78 Totalt DB = $350  $300  78 = $66,100 Beregne den optimale løsningen

27 Rasmus Rasmussen27 Undersøke alle hjørneløsninger X1X1 X2X2 (0,0) Målfunksjon = 0 (0,180) Målfunksjon = (80,120) Målfunksjon = (122,78) Målfunksjon = (174,0) Målfunksjon = MERK: Denne metoden fungerer ikke hvis mulighetsområdet ikke er lukket. BØK350 OPERASJONSANALYSE

28 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE28 1.Plott grenselinjen for hver restriksjon. 2.Identifiser mulighetsområdet. 3.Finn optimal løsning enten ved: 1. Plott nivåkurver for målfunksjonen, eller 2. Beregn alle hjørneløsningene. Sammendrag Grafisk løsning av LP Problemer

29 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE29 Forskjellig unormale forhold kan inntreffe i LP problemer: Alternative optimale løsninger Overflødige restriksjoner Ubegrenset gode løsninger Ingen mulige løsninger Spesielle tilfeller av LP Modeller

30 Rasmus Rasmussen30 Alternative optimale løsninger X1X1 X2X2 Alle punktene på linjestykket har like stort dekningsbidrag, inklusive endepunktene, som er hvert sitt hjørnepunkt. I tillegg til disse to hjørnepunktene er altså også alle punkt imellom like gode. DB: 450X X 2 = (122,78) (174,0) BØK350 OPERASJONSANALYSE MERK: gunstig Alternative optimale løsninger er gunstig. En har flere valgmuligheter.

31 Rasmus Rasmussen31 Overflødig restriksjon X1X1 X2X Bruk av pumper: 1·X 1 + 1·X 2 = Bruk av arbeid: 9X 1 + 6X 2 = Bruk av rør: 12X X 2 = 2880 MERK: «Overflødige» restriksjoner bør ikke fjernes. De er nødvendige når en skal foreta sensitivitetsanalyse. Pumper påvirker ikke lenger mulighetsområdet BØK350 OPERASJONSANALYSE

32 Rasmus Rasmussen32 Ubegrenset løsning X1X1 X2X ·X 1 + 2·X 2 ≤ Max: X 1 + X X 1 + X 2 ≥ 400 MERK: Ved ubegrenset løsning vil det ikke fungere å beregne alle hjørnepunkter for å finne optimal løsning. Mulighetsområdet er ikke lukket i alle retninger. Kan øke verdien på målfunksjonen i de uendelige. Problemet har derfor en ubegrenset god løsning. BØK350 OPERASJONSANALYSE

33 Rasmus Rasmussen33 Ingen mulig løsning X1X1 X2X2 150 X 1 + X 2 ≤ Max: X 1 + X X 1 + X 2 ≥ 200 MERK: Ved ingen mulig løsning er det ofte feil fortegn, eller feil retning på restriksjonsgrensene, eventuelt feil verdi på noen restriksjonsgrenser. Hvis alle data er riktig, må en vurdere tiltak for å gjøre problemet løsbart. (Øke kapasitet) Mulighetsområdet er tomt. Det finnes ingen områder som tilfredsstiller alle restriksjonene samtidig. BØK350 OPERASJONSANALYSE

34 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE34 Slutt på kapittel 2

35 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE35 MAX (eller MIN): c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n X n Slik at:a 11 X 1 + a 12 X 2 + … + a 1 n X n <= b 1 : a k 1 X 1 + a k 2 X 2 + … + a kn X n >= b k : a m 1 X 1 + a m 2 X 2 + … + a mn X n = b m LP på generell form

36 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE36 MAX (eller MIN): c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n X n Slik at:a 11 X 1 + a 12 X 2 + … + a 1 n X n <= b 1 : a k 1 X 1 + a k 2 X 2 + … + a kn X n <= b k : a m 1 X 1 + a m 2 X 2 + … + a mn X n <= b m Merk at alle restriksjonene er på formen ”<=” LP på standard form

37 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE37 a k 1 X 1 + a k 2 X 2 + … + a kn X n >= b k Multipliser gjennom med -1: -1| a k 1 X 1 + a k 2 X 2 + … + a kn X n >= b k  -a k 1 X 1 - a k 2 X 2 - … - a kn X n <= -b k Tilsvarende erstattes en ”=” med både ” =”: a m 1 X 1 + a m 2 X 2 + … + a mn X n = b m  a m 1 X 1 + a m 2 X 2 + … + a mn X n <= b m oga m 1 X 1 + a m 2 X 2 + … + a mn X n >= b m dvs.a m 1 X 1 + a m 2 X 2 + … + a mn X n <= b m og-a m 1 X 1 - a m 2 X 2 - … - a mn X n <= -b m Omformulering til standard form

38 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE38 MAX (eller MIN): Slik at: LP på kompakt form

39 Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE39 MAX (eller MIN): Slik at: Der: LP på matriseform


Laste ned ppt "Managerial Decision Modeling Cliff Ragsdale 6. edition Rasmus RasmussenBØK350 OPERASJONSANALYSE1 Chapter 2 Introduction to Optimization and Linear Programming."

Liknende presentasjoner


Annonser fra Google