Forelesning 4 HSTAT1101 Ola Haug Norsk Regnesentral 08.09.04.

Presentasjon om: "Forelesning 4 HSTAT1101 Ola Haug Norsk Regnesentral 08.09.04."— Utskrift av presentasjonen:

1 Forelesning 4 HSTAT1101 Ola Haug Norsk Regnesentral

2 Husker du? Betinget sannsynlighet
Total sannsynlighet – oppdeling av utfallsrommet i disjunkte begivenheter Bayes’ lov Binomialkoeffisienten Eks. til Bayes’ lov: A: Blå øyne, B: Fargeblind. Tenkt tilf.: Kjenner P(A|B) ut fra studium av øyenfargen til mange fargeblinde. Ønsker så å bestemme sanns. for fargeblindhet gitt at en person (i utg.pkt. uvisst om vedkommende er fargeblind eller ei) har blå øyne.

3 Diagnostiske tester - presisering
Sensitivitet og spesifisitet sier noe om sannsynligheten for ulike testutslag, gitt pasientens tilstand: P(+ test | syk) (påvise sykdom hos syke) P(- test | frisk) (utelukke sykdom hos friske) Positiv og negativ prediktiv verdi (PPV og NPV) angir sannsynligheter for en persons tilstand ut fra testresultatet: PPV = P(syk | + test) (pålitelighet av pos. testutslag) NPV = P(frisk | - test) (pålitelighet av neg. testutslag) Alle de fire begrepene ovenfor sier noe om testens egenskaper

4 Diagnostiske tester - presisering
Koblinger mellom begrepene via Bayes’ lov:

5 Dagens temaer Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling
Binomisk fordeling Poissonprosessen Poissonfordeling

6 Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling
Et eksperiment hvor utfallet ikke er kjent på forhånd De enkelte utfall kan ha ulik sannsynlighet for å opptre Ex. - Terningkast - Responsen på en antibiotikakur Deterministisk forsøk: Et eksperiment hvor utfallet er gitt når inngangsdataene er spesifisert Ex. - Tidspunkt for soloppgang (for bestemt sted og dato) - Hastigheten til ei kule som slippes fra en viss høyde (Newton)

7 Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling
Stokastisk variabel: Tallstørrelse knyttet til utfallet av et stokastisk forsøk Varierer tilfeldig fra forsøk til forsøk Deles ofte i tellevariabler og målevariabler Angis med stor bokstav (X, Y, …) Ex. Tellevariabler: - Antall ganger ”1” opptrer i løpet av 10 terningkast - Antall pasienter som oppsøker legevakten i løpet av et døgn Ex. Målevariabler: - Hemoglobinnivå i blodet - Levealder til en kreftpasient

8 Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling
Beskriver den tilfeldige variasjonen til en stokastisk variabel Angir sannsynligheten for de forskjellige mulige verdiene x av den stokastiske variabelen X, P(X=x) Sannsynlighetene for de forskjellige mulige utfallene skal summere seg til 1, Kan presenteres i tabellform eller grafisk som et histogram Ex. Terningkast: Registrerer hvor mange ganger ”1” opptrer i løpet av 10 kast Mulige verdier: 0, 1, 2, …, 10 Ikke lik sannsynlighet for alle disse utfallene!

9 Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling

10 Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling
Forventningsverdi Mål for tyngdepunktet (sentrum) i en sannsynlighets-fordeling Varians og standardavvik Mål for spredningen i en sannsynlighetsfordeling (høye verdier indikerer stor spredning)

11 Eksempel - myntkast Kast en mynt tre ganger, og la X være antall kron
Da kan X ta verdiene 0,1, 2 og 3 Sannsynlighetene for disse verdiene er henholdsvis 1/8, 3/8, 3/8 og 1/8 (gunstige / mulige) Spørsmål: Hva er forventning, varians og standardavvik til X?

12 Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling
Regneregler for forventning og varians For vilkårlige tall a og b gjelder: For en sum av stokastiske variabler gjelder at

13 Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling
Stokastisk uavhengighet mellom variabler: Utfallet til hver enkelt variabel blir ikke påvirket av utfallet til den andre. Matematisk: jfr. tidligere for uavhengige hendelser: Ex. Feber og sykkelfarge For variansen til en sum av parvis stokastisk uavhengige variabler gjelder at

14 Stokastisk forsøk – sannsynlighetsfordeling
Sammenheng mellom gjennomsnitt og forventning? Gjennomsnittsverdien i et datasett er en ren summasjon av observasjonene og er ikke generelt koblet til noen sannsynlighetsfordeling. Begrepet forventningsverdi er derimot knyttet opp mot en stokastisk variabel med en nærmere bestemt sannsynlighetsfordeling og trenger ikke noe datasett for å kunne beregnes (såfremt sannsynlighets-fordelingen er kjent).

15 Binomisk forsøksrekke
Tenk deg et forsøk hvor vi ser på blodtypen til forskjellige personer og teller antall som har blodtype B Anta uavhengighet mellom blodtypene til de enkelte personene Dette er et eksempel på en binomisk forsøksrekke

16 Binomisk forsøksrekke
Definisjon: En binomisk forsøksrekke bestående av n enkeltforsøk må oppfylle følgende betingelser De enkelte forsøk må være uavhengige av hverandre I hvert enkeltforsøk registreres det om en begivenhet A inntreffer (suksess) eller ikke (fiasko) Sannsynligheten for A er den samme i hvert forsøk Sannsynligheten for A betegnes p.

17 Binomisk forsøksrekke
Flere eksempler på binomiske forsøksrekker: Terningkast A: ”6”-er, p=1/6 A: ”Like antall øyne”, p=1/2 Barnefødsler A: jente, p=1/2 A: ryggmargsbrokk, p=0.001 A: fødselsvekt < 2500g, p=… Genetikk: Mor og far bærere av genet for cystisk fibrose A: barn sykt, p=1/4

18 Binomisk forsøksrekke
Vi sier at antall suksesser (X) i en binomisk forsøksrekke er binomisk fordelt Formel for sannsynligheten av utfallene i den binomiske fordelingen Forventning og varians i den binomiske fordelingen

19 Binomisk forsøksrekke
Utledning av binomisk fordeling Betrakter en binomisk forsøksrekke med n enkeltforsøk Lar den stokastiske variabelen X betegne antall ganger A inntreffer Sannsynlighetsfordelingen til X, P(X=x) = ?.

20 Binomisk forsøksrekke

21 Eksempel – blodtype Anta at 8% av en befolkning har blodtype B
Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at man i en gruppe på 10 personer finner én person med blodtype B? To personer? Hvor mange personer i gruppa kan forventes å ha blodtype B?

22 Poissonprosessen Betrakt antall nye tilfeller av brystkreft registrert til et kreftregister i løpet av et år Anta at: raten av (eller sannsynligheten for) registreringer er lik gjennom hele perioden registreringene skjer uavhengig av hverandre ingen registreringer kan være fullstendig sammenfallende i tid Vi har da et eksempel på en Poissonprosess

23 Poissonprosessen Poissonprosessen framkommer når vi betrakter hendelser som fordeler seg tilfeldig over et kontinuum, f.eks. Volum Ex. Plasseringen til røde blodlegemer i en mengde blod Tid Ex. Registrering av krefttilfeller i løpet av et år tid

24 Poissonfordelingen Antall hendelser/objekter X innenfor et område av kontinuumet sies å være Poissonfordelt Sannsynlighetene i Poissonfordelingen er gitt ved hvor er forventet antall hendelser/objekter innenfor området (tidsperioden, volumet, …) man betrakter.

25 Poissonfordelingen

26 Poissonfordelingen Poissonfordelingen som tilnærmelse til binomisk fordeling Tommelfingerregel: En binomisk fordelt variabel er tilnærmet Poissonfordelt (med ) hvis Dette er en ganske vanlig situasjon i medisin: liten sannsynlighet for hendelsen, men mange forsøk (=personer) Direkte bruk av Poissonfordelingen som fordelingen til antall hendelser i en Poissonprosess kan være mer hensiktsmessig i situasjoner hvor vi ikke kjenner n og p

27 Eksempel – ryggmargsbrokk
Vi ønsker å se på forekomster av ryggmargsbrokk hos nyfødte Antall fødsler på Ullevål sykehus i Oslo per år er ca. n = 5000 P(ryggmargsbrokk) = 1 / 1000 Spørsmål: Hva er sannsynligheten for at 6 barn fødes med ryggmargsbrokk i løpet av et år?

28 Eksempel - AIDS Nye AIDS-tilfeller i 1991, registrerte tilfeller per uke, 47 uker: Gjennomsnittlig antall tilfeller per uke (fra dataene): 0.936 Spørsmål: Hva er sannsynligheten for 0 nye AIDS-tilfeller i løpet av en uke?