A2A / A2B M1 årskurs 4. november 2009 Emner i sannsynlighet A2A / A2B M1 årskurs 4. november 2009

Innhold Sannsynlighetsbegrepet Pascals trekant Hypergeometriske sannsynlighetsfordelinger Binomiske sannsynlighetsfordelinger Betinget sannsynlighet

§1. Sannsynlighetsbegrepet Et forsøk gjennomføres mange ganger. Vi teller hvor mange ganger hvert utfall oppstår. Da kan vi beregne de relative frekvensene for utfallene. De relative frekvensene angir “hvor ofte” hvert utfall oppstår.

Sannsynlighet for et utfall Når vi gjennomfører et forsøk flere og flere ganger, kan den relative frekvensen for hvert utfall “nærme seg til” eller “gå mot” en bestemt verdi. Denne verdien kalles for utfallets sannsynlighet. En sannsynlighet er alltid mellom 0 og 1.

Teoretisk sannsynlighet Et hjørnestein: Uniform sannsynlighet (Laplaceprinsippet) Hvis alle utfallene i forsøket er like sannsynlige, da er sannsynligheten for en hendelse gitt av: P(hendelse) = antall gunstige utfall antall mulige utfall

§2. Pascals trekant Vi husker at betegner antall uordnet utvalg av k gjenstander fra n uten tilbakelegging. Pascals trekant gir en annen måte å beregne disse tallene på.

Noen få egenskaper av Pascals trekant For å beregne tallene . Trekanttall Summen av en “kolonne” Se regnetreningsoppgave 2 for noen flere artige egenskaper

§3. Hypergeometriske sannsynlighetsfordelinger En klasse består av 8 jenter og 10 gutter. En komité på to skal velges ut. Hvor stor er sannsynlighetene for at komitéen vil bestå av to gutter? to jenter? en gutt og ei jente?

I en bøtte er det tre røde kuler og syv blå kuler. Fire tilfeldige kuler trekkes ut, uten tilbakelegging. Hvor store er sannsynlighetene for å trekke fire blå kuler? én rød kule og tre blå kuler? to røde kuler og to blå kuler? tre røde kuler og én blå kule?

Formelen En populasjon består av m enheter, hvorav l er av type A. Det velges ut n av enhetene, uordnet og uten tilbakelegging. Da gjelder p(k av de utvalgte er av type A) =

§4. Binomiske sannsynlighetsfordelinger Tre mynter kastes. Her er en fordeling som viser sannsynlighetene for hvert antall kron: Antall kron 1 2 3 Sannsynlighet 1/8 3/8

Antall 2ere 1 2 Sannsynlighet 25/36 10/36 1/36 To terninger kastes. Her er en fordeling som viser sannsynligheten for hvert antall 2ere: Antall 2ere 1 2 Sannsynlighet 25/36 10/36 1/36

Nå kastes tre terninger. Her lar vi “¤” betegne “ikke 2er”. Utfall ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ 2 ¤ 2 ¤ 2 ¤ ¤ Sanns (5/6)3 (5/6)2(1/6) (5/6)(1/6)(5/6) (1/6)(5/6)2 ¤ 2 2 2 ¤ 2 2 2 ¤ 2 2 2 (5/6)(1/6)2 (1/6)(5/6)(1/6) (1/6)2(5/6) (1/6)3

Det å telle “utfallsgruppene” som svarer til én 2er, er egentlig det samme som å telle hvor mange måter én 2er kan puttes inn blant ¤-ene på, altså hvor mange måter kan vi velge én posisjon av tre på, som er . Dermed får vi: På samme måte:

Antall 2ere 1 2 3 Sannsynlighet 125/216 25/72 5/72 1/216 Her er en fordeling som viser sannsynligheten for hvert antall 2ere ved kast av tre terninger: Antall 2ere 1 2 3 Sannsynlighet 125/216 25/72 5/72 1/216

Binomisk fordeling Tenk om et forsøk har to utfall A og B, og at p(A) = q og p(B) = 1 − q. (Husk at q er et tall mellom 0 og 1.) Hvis forsøket gjennomføres n ganger, da gjelder p(utfall A forekommer k ganger) =

To kort trekkes fra et kortstokk, med tilbakelegging To kort trekkes fra et kortstokk, med tilbakelegging. Hvor stor er sannsynligheten for å få presist én spar? Tre kort trekkes, igjen med tilbakelegging. Hvor stor er sannsynligheten for å få (a) én spar; (b) to spar?

§5. Betinget sannsynlighet En blå og en rød terning kastes. Hvor stor er sannsynligheten for at den røde terningen viser 5 øyne? Hvor stor er sannsynligheten for å få 8? Hvor stor er sannsynligheten for å få 8, gitt at den røde terningen viste 5 øyne?

p(summe på 8, gitt at den røde viste 5 øyne) = # gunstige utfall # mulige utfall = # utfall med summe 8 OG 5 på rød # utfall med 5 på rød = (# utfall med summe 8 OG 5 på rød) / 36 (# utfall med 5 på rød) / 36 = p(summe 8 OG 5 på rød) p(5 på rød)

Formel for betinget sannsynlighet Vi betrakter to utfall A og B, som kan forekomme samtidig. Vi skriver p(A|B) for sannsynligheten for A gitt at B skjer. Da gjelder p(A|B) = p(A og B) p(B). Nå beregner vi igjen sannsynligheten for at summen er 8, gitt at den røde terningen viser 5 øyne.

“Motsatt oppgave”: Hvor stor er sannsynligheten for at den røde terningen viser 5 øyne, gitt at summen er 8? Oppgave 6 (vi) på regnetreningsarket.