Sannsynlighetsregning Normative modeller Rasjonelle vurderinger Deskriptive modeller Faktiske vurderinger

Sannsynlighetsregning i hverdagen Når noe skal skje ”rettferdig” lar vi ofte ”tilfeldighetene råde” Slå mynt og kron LOTTO-trekning Sannsynlighet og gunstige valg

Utfallsrom En opplisting av hvilke utfall som er mulige S = det totale utfallsrom Mulige utfall kalles elementer Eksempler: Terningkast: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Kaste en mynt: S = {mynt, kron} LOTTO-tall: S = {1, 2, 3,…, 32, 33, 34}

Generelt Det totale utfallsrommet S består av m elementer P(A) = sannsynligheten for at begivenhet A skal inntreffe Begivenheten A består av k elementer 0  P(A)  1 P(S) = 1

Uniforme sannsynlighetsmodeller Alle utfall har like stor sannsynlighet for å inntreffe Symmetriske utfallsrom

Beregning av sannsynlighet ved symmetriske utfallsrom P(A) = k m P(A) = sannsynligheten for at hendelse A skal inntreffe k = antall elementer i hendelse A m = antall mulige utfall i S

Eksempel: terningkast Utfallsom: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, m = 6 A = terningen viser like antall øyne Like antall øyne: A = {2, 4, 6}, k = 3 P(A) = k = 3 1 = 0.5 m 6 2

Mengdelære Union: A union B: S Union: A union B: alle elementer som er med i A, eller B, eller i begge Snitt: A snitt B: alle elementer som samtidig er med i både A og B A B S A B x

alle utfall som ikke er med i A _ A komplement: ikke A: alle utfall som ikke er med i A S _ A A

Regneregler Når A og B er gjensidig utelukkende: P(A union B) = p(A) + P(B) P(A snitt B) = Ø Ø = den tomme mengde Når A og B ikke er gjensidig utelukkende: P(A union B) = p(A) + P(B) – P(A snitt B) A B S A x B

Forts. regneregler _ P(A) = 1 – P(A) => P(A) = 1 – P(A) S _ A A P(S) = 1 _ P(S) = P(A) + P(A) = 1 ___ => P(A) = 1 – P(A) S _ A A

Sannsynlighet for samtidige eller påfølgende hendelser Generelt: P(A snitt B) = P(A) · P(B) Gjelder når A og B er statistisk uavhengige To hendelser er statistisk uavhengige hvis: P(A|B) = P(A) eller hvis P(B|A) = P(B)

”Tre-diagram” Andre kast Utfall M MM .50 MK K KM KK Første kast K KM KK P(MM) = P(M)P(M) = 0.25

Ordnede versus ikke-ordnede utvalg uten tilbakelegging Ordnede utvalg: rekkefølgen av uttrekkingen av utvalget har en betydning Eksempel: trekking av 1. og 2. premie Ikke-ordnede utvalg: rekkefølgen av uttrekningen har ikke betydning Eksempel: trekking av LOTTO-tall

Trekking med og uten tilbakelegging Med tilbakelegg. Uten tilbakelegg. R RR B RB R = rød kule B = blå kule S = sort kule S RS BR BB BS SR SB SS

Regneregler for antall kombinasjonsmuligheter ved trekking uten tilbakelegging Antall ordnede utvalg: (n)r = n(n – 1)…(n – r + 1) (1) Antall ikke-ordnede utvalg: ( n ) = (n)r = n(n – 1)…(n – r + 1) (2) r r! r(r – 1) …2 · 1 n = antall objekter, r = antall trekkinger

Tre kandidater: Tor, Odin og Loke Eksempel: Valg av styre: antall mulige styrer versus antall styresammensetninger Tre kandidater: Tor, Odin og Loke Antall styrer (ikke-ordnet) Antall styre sammensetninger (ordnet: leder-sekretær) Tor - Odin Odin - Tor Tor - Loke Loke - Tor Odin - Loke Loke - Odin

Betinget sannsynlighet Sannsynligheten for B gitt A: sannsynligheten for B gitt at A har inntruffet P(BA) = P(A snitt B) P(A) der P(A) > 0

Eksempel: betinget sannsynlighet Heltid Deltid Sum K 80 40 120 M 60 20 140 200 A: heltidsstudent B: kvinne P(B|A) = P(A snitt B) = 0.57 P(A)